教案4-不定積分new

PAGEPAGE18第四章不定積分第四章不定積分§4。1不定積分概念微分學的基本問題是:已知一個函數(shù),求它的導數(shù)。但是,在科學技術(shù)領(lǐng)域中往往還會遇到與此相反的問題：已知一個函數(shù)的導數(shù)，求原來的函數(shù),由此產(chǎn)生了積分學?！胺e分”是“微分”的逆運算。原函數(shù)原函數(shù)定義我們在討論導數(shù)的概念時，解決了這樣一個問題：已知某物體作直線運動時，路程隨時間變化的規(guī)律為,那么，在任意時刻物體運動的速度為。現(xiàn)在提出相反的問題：已知某物體運動的速度隨時間變化的規(guī)律為，要求該物體運動的路程隨時間變化的規(guī)律。顯然，這個問題就是在關(guān)系式中，當為已知時，要求的問題.已知曲線上任意點處的切線的斜率為，要求此曲線方程，這個問題就是要根據(jù)關(guān)系式，求出曲線。從數(shù)學的角度來說，這類問題是在關(guān)系式中，當函數(shù)已知時，求出函數(shù)。由此引出原函數(shù)的概念.定義4。1:設(shè)是定義在某區(qū)間I內(nèi)的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)，對于每一點,都有：或則稱函數(shù)為已知函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)的一個原函數(shù)。例如，由于，所以在內(nèi)，是的一個原函數(shù)；又因為，所以在內(nèi)，是的一個原函數(shù);更進一步,對任意常數(shù)，有，所以在內(nèi)，都是的原函數(shù)。原函數(shù)性質(zhì)(1)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),則在區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù);（2）若，則對于任意常數(shù)，都是的原函數(shù).即如果在上有原函數(shù),則它有無窮多個原函數(shù)；(3）若和都是的原函數(shù),則，（為任意常數(shù)）。即任意兩個原函數(shù)只相差一個常數(shù)。不定積分不定積分定義定義4。2：若是在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)，則稱(為任意常數(shù))為在區(qū)間內(nèi)的不定積分,記為，即.其中：-—為積分號，—-被積函數(shù),——被積表達式，——積分變量，-—積分常數(shù)。由不定積分的定義可知，計算一個函數(shù)的不定積分時,就歸結(jié)為“求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)再加上任意的常數(shù)”即可。例1計算下列不定積分。（1）； (2）； （3)。解(1)因為，所以是的一個原函數(shù)，由不定積分的定義知:。(2）因為，所以是的一個原函數(shù),由不定積分的定義知。（3）因為，所以是的一個原函數(shù)，由不定積分的定義知。例2求。解：①當時,∵，即是的一個原函數(shù)∴②當時，∵，∴兩式合并，當時，有：.由上述例題可以看出,求不定積分就是求被積函數(shù)的全體原函數(shù),這個“全體”就體現(xiàn)在任意常數(shù)C上,因此，求不定積分時,積分常數(shù)不能丟。由于“積分”和“微分”互為逆運算，故檢驗一個積分結(jié)果是否正確，只須對積分結(jié)果求導，看他是否等于被積函數(shù)。不定積分性質(zhì)由不定積分的定義，有：性質(zhì)⑴：先積分后微分，兩種互逆運算相抵消.；性質(zhì)⑵：先微分后積分,兩種互逆運算抵消后，相差常數(shù).或。由此可見，微分運算與求不定積分的運算是互逆的.例3利用性質(zhì)求下列不定積分。（1）； （2）。解（1）利用“先積后微,結(jié)果等于被積函數(shù)"得：(2）利用“先微后積，結(jié)果等于被積函數(shù)+”得：此處繪圖圖4-1此處繪圖圖4-1不定積分的圖形是由所表示的無窮多條積分曲線所組成的“積分曲線簇”。（如圖5—1所示）每一條積分曲線對應于同一橫坐標處的切線互相平行。不定積分幾何意義：不定積分表示的一簇積分曲線，而正是積分曲線的切線的斜率.例4求過點，且其切線的斜率為的曲線方程。解：由得：的曲線簇將代入得:∴為過點且其切線的斜率為的曲線方程。由圖5-2可以看出：表示無窮多條拋物線,這些拋物線就構(gòu)成一條關(guān)于的積分曲線簇。簇中每一條曲線對應于同一橫坐標處有相同的斜率。故對應處，這簇曲線的切線互相平行，任兩條曲線的縱坐標之間相差一個常數(shù)。故確定一條曲線，其它各曲線便可由沿軸方向上、下移動而得到?！?.2基本積分公式基本積分公式（背！)由不定積分的定義，從導數(shù)公式可得到相應的積分公式。為了計算方便,下面列出基本積分公式：（8）；（9）；（10）； （8）；（9）；（10）； （11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；這些基本積分公式是求不定積分時常用的公式，同學們必須熟練地掌握！不定積分運算法則法則⑴:函數(shù)代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和。；推廣：法則⑵：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以移到積分號的外面。（）。現(xiàn)在利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，可以求一些函數(shù)的不定積分。例1計算下列不定積分：（1）; (2）；(3）； (4）.解（1）；（2）；（3）。(4）。注意：檢驗積分結(jié)果是否正確，只要對結(jié)果求導，看它的導數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯誤的。直接積分法所謂直接積分法，就是利用不定積分的基本積分公式和法則，來求一些簡單函數(shù)的不定積分.例2計算下列不定積分。（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：當被積函數(shù)不能直接用公式時，需先進行一些恒等變形或拆分，將其化為積分基本公式的形式，再求積分即可。例3計算下列不定積分：（1)； （2）；(3)；解(1);（利用三角恒等變形：）（2）。（利用三角函數(shù)降冪公式:）（3）（利用三角函數(shù)降冪公式：)§4。3換元積分法第一類換元法（湊微分法)前面已經(jīng)學習了直接積分法，但是僅利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)所能計算的積分是非常有限的。例如計算不定積分：,這個積分看上去很簡單，與基本積分公式相似,但不能用直接積分法。區(qū)別在于中的被積函數(shù)是由復合而成的。如何求出這類復合函數(shù)的積分呢?利用復合函數(shù)的求導法則可推導出計算不定積分的一種常用方法——湊微分法.先看一例子：例如:求解：上述例題中求積分的方法就是換元法。此法關(guān)鍵：被積函數(shù)具有形式，設(shè)法將其湊成的形式。故此類換元法又稱為“湊微分法”。定理：設(shè)是的一個原函數(shù)且可導，則。湊微分法的名稱來源于把被積函數(shù)分為復合函數(shù)與中間變量的導數(shù)兩部分，再把湊成。第一類換元法常做如下描述：例1求解:例2求解：由上述例題看出,第一類換元法關(guān)鍵是:如何將湊成微分注:熟練以后，可以省去分析過程和設(shè)新變量的過程,而可以直接“湊”成基本公式形式,求出最后結(jié)果即可。例3計算下列不定積分（直接湊微分）（1）； （2);（3）；(4)。解：當運算熟練之后，可以不寫出中間變量，直接計算。（1)(2）(3)（4)。例4計算不定積分解法一：解法二：解法三：此題三個結(jié)果均為的原函數(shù)。注:檢驗積分結(jié)果正確與否,只要把結(jié)果求導,如果倒數(shù)等于被積函數(shù)，則說明結(jié)果正確！說明同一道不定積分題可出現(xiàn)不同結(jié)果。例5計算不定積分(1）；（2）解：(1）；=（2）注：①當被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積時，一般拆開“奇次項”去湊微分;②當被積函數(shù)是三角函數(shù)偶數(shù)次冪時，常用半角公式通過降冪的方式來計算。有些積分，需要先將被積函數(shù)進行“恒等變形”，然后再用“湊微分”法求積分。例6計算下列不定積分：（1）； （2）。解（1)；(2）由此例題得兩公式如下:；。例7求解：由此例題得公式如下：湊微分法在積分學中是經(jīng)常用的，這種方法的特點是“湊微分”，要掌握這種方法,需要熟記一些函數(shù)的微分公式，為了做題方便，下面列出一些常用的湊微分格式:(1）（為常數(shù)，且）;(2）； (3）；（4）； （5）;（6）； (7）；（8）; （9）；（10）； （11）;（12）;（12）。例8計算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）；（2）；（3）(4）(用到“誘導公式”：名稱變余函數(shù)，符號看象限）補充積分公式⒈；⒈；⒉；⒊；⒋；⒌；⒍；7.；8.。例9計算下列不定積分（利用補充公式直接求解）（1）； （2）（3)解:（1）；(2)；（3)第二類換元法第二類換元法中，是“引入新變量，將表示為的一個連續(xù)函數(shù)”，從而簡化積分計算的。例8求。解：積分中含有根式,無法用湊微分法,故用第二類換元法。令,則。于是。注意當被積函數(shù)中含有根式時，通常作變量代換消去根式，便于計算。第二類換元法常做如下描述：例1求。解:令,即，則。于是例2求解：令，即，則:，有:§4。4分部積分法應用兩個函數(shù)乘積的求導法則可推出分部積分法.分部積分法設(shè)，都是的可導函數(shù)，由乘積的微分法則，有：移項：兩邊積分:即：定理：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導數(shù),則。分部積分公式用法此公式作用：在于把求的問題轉(zhuǎn)化為求的問題,即：較之容易求得。分部積分法常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分，如被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等）的乘積,三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等。例1求。解被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法。設(shè),于是若選取，則.于是（結(jié)果比原積分還難求解，不可?。┧?，在使用分部積分法時要特別注意和的選取,關(guān)鍵是：恰當?shù)剡x取和。選取和原則:①要容易求得，②且使比易積出。例2求。解被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，用分部積分法。設(shè)，則。于是小結(jié)：①當被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積或冪函數(shù)與三角函