專題04 直線與圓綜合（考題猜想易錯必刷38題17種題型）（教師版） 2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題04直線與圓綜合（易錯必刷38題17種題型專項訓練）題型大集合直線與圓位置關系判斷直線與圓位置關系求參直線與“殘圓”交點阿圓與直線直線與圓交點坐標直線與圓相交弦直線與圓相交：韋達定理型切線：圓上點切線切線：圓外點切線切線長最值切點弦切點弦最值范圍切點弦面積型角度最值中點弦圓的弦長與定值定圓圓的動切線題型大通關一．直線與圓位置關系判斷（共3小題）1．（24-25高三·四川成都·期中）在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置不可能為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由圓的位置和直線所過定點，判斷直線與圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，直線過圓內(nèi)定點，斜率可正可負可為0，ABD選項都有可能，C選項不可能.故選：C.2．（23-24高二上·四川樂山·期中）已知直線，圓，點在圓內(nèi)，則A．直線l與圓C相交 B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C相離 D．不確定【答案】C【分析】由題意結合點到直線的距離公式，判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關系，即得答案.【詳解】由題意知點在圓內(nèi)，故，故圓心到直線的距離，故直線l與圓C相離，故選：C3．（24-25高三上·江蘇南通·期中）在同一坐標系中，直線與圓的圖形情況可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立，可得，當時可判斷BC；圓心為，由原點與圓的位置關系求出的范圍，根據(jù)圓心所在象限及的符號即可判斷AD.【詳解】聯(lián)立，可得，解得,當，則方程組無解，即直線與圓無交點，故BC錯誤.化為標準方程為,其圓心為，半徑為.由選項可得，將化為斜截式可得.對于A，圓心在第一象限，則，解得.由原點在圓外，可得，故.由直線方程可得，矛盾，故A錯誤.對于D，圓心在第二象限，則，解得.由原點在圓外，可得，故，由直線方程可得，故D正確.故選:D.直線與圓位置求參（共小題）4．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知直線恒過點，曲線表示圓心，半徑為2的半圓，畫出圖形，由圖可知，從而可求出結果.【詳解】直線恒過點，由，得，所以曲線表示圓心，半徑為2的半圓，如圖所示，由圖可知，當時，曲線與直線有兩個相異的交點，因為，，所以，因為直線與半圓相切，所以，解得，所以，故選：B5．（23-24高二上·山東淄博·期中）已知圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知圓的圓心到直線的距離小于或等于2，進而可得.【詳解】由題意可知，由得，圓心為，半徑為因，故根據(jù)題意圓的圓心到直線即的距離小于或等于2，所以得，即得，可得，故選：D6．（23-24高二上·江蘇常州·期中）若存在實數(shù)使得直線與圓無公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)直線和圓的位置關系求得正確答案.【分析】圓，即，由，解得或，直線，即，所以直線過，要使直線和圓沒有公共點，則點在圓外，即，綜上所述，的取值范圍是.故選：D三．直線與“殘圓”型交點（共3小題）7．（23-24高二上·四川·期中）直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】畫出直線與曲線的圖象，數(shù)形結合可得答案.【詳解】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，當直線與曲線相切時，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當直線過、時，，如圖，直線與曲線恰有兩個交點，則.故選：C.

8．（23-24高二上·河南商丘·期中）方程有兩相異實根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，則問題轉化為與有兩個交點，數(shù)形結合即可求出的取值范圍.【詳解】由，則，令，則，所以曲線表示以為圓心，為半徑的圓在軸及軸下方的半圓，因為方程有兩相異實根，即與有兩個交點，其中表示過點的直線，作出直線與曲線的圖象如圖，其中，且，當時直線與曲線有且只有一個交點，結合圖象可知的取值范圍是．故選：A．9．（22-23高二·全國·期中）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為，再由直線恒過定點，結合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.【詳解】由曲線，可得，又由直線，可化為，直線恒過定點，作出半圓與直線的圖象，如圖所示，結合圖象，可得，所以，當直線與半圓相切時，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.四．阿圓與直線（共3小題）10．（23-24高二上·山東臨沂·期中）我們都知道：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】根據(jù)軌跡方程的求法求出圓的方程，確定圓心坐標，進而可得，再利用基本不等式求解.【詳解】設，因為，所以，整理得：，表示以為圓心的圓，又因為點P的軌跡關于直線對稱，所以，即，所以，當且僅當，即時取得等號，所以的最小值是3，故選:C.11．（23-24高二上·全國·期中）數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點M的軌跡是阿氏圓．直線l：與圓恒有公共點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點，求出動點的軌跡圓的方程，根據(jù)直線與圓的位置關系列出不等式，即可求出的取值范圍．【詳解】由題意，設點，∵，，∴，即，所以動點M的軌跡圓C的方程為，圓心，半徑，∵直線l：與圓恒有公共點，∴圓心到直線l的距離，即，解得，則的取值范圍是．故選：A．.12．（22-23高二上·福建泉州·期中）已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由直線方程可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，得到的軌跡方程為，即，可得，取，則，結合，可得，進而求解.【詳解】由已知過定點，過定點，因為，，所以，即，所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.五．直線與圓交點坐標（共2小題）13．（22-23高二上·山東煙臺·期中）已知直角的斜邊長為4，以斜邊的中點O為圓心作半徑為3的圓交直線于M，N兩點，則的值為（

）A．78 B．72 C．68 D．62【答案】D【分析】運用數(shù)形結合的思想，用點A的坐標表示出需要求解的代數(shù)式，再計算求解其值即可.【詳解】如圖，以線段BC的中點O為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系

根據(jù)題意，圖中各點的坐標分別表示為設點A的坐標為，則.故選：D.14．（20-21高二上·北京·期中）在平面直角坐標系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】首先根據(jù)圖形得到為點到直線的距離，，又根據(jù)得到為等腰直角三角形，即，設，根據(jù)，解方程即可.【詳解】如圖所示：因為為圓的直徑，所以，所以為點到直線的距離，即.又因為，所以.所以為等腰直角三角形，即.設，且，所以，解得或（舍去）.所以點的橫坐標為.故選：B六．直線與圓相交弦（共2小題）15．（2023·江蘇淮安·二模）已知圓與軸交于兩點，點的坐標為．圓過三點，當實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則此定直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，由題設可得，若圓為，易求、、，進而可得含參數(shù)的圓的方程，要使變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則直線、圓都過相同的兩定點，即可確定直線.【詳解】令代入圓得：，若，∴，若圓為，由都在圓上，∴易知，，∴圓：，整理得，∵當實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，∴直線一定過圓上的兩個定點且與無關，不妨設，則，解得或，即圓過定點，，∴所得兩點一定在直線上，代入各選項驗證可知B正確.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：要使變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則必有直線、圓都過相同的兩定點，將所得圓的方程轉化為關于的直線方程形式.16．（22-23高二上·四川廣安·期中）已知圓經(jīng)過，兩點，且在軸上截得的線段的長為，半徑小于5.若直線，且與圓交于點，，且以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】先求出圓的方程，設出直線的方程為，，，與圓的方程聯(lián)立消去可得、用表示，由以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，將、，代入即可求出的值，進而可得直線的方程.【詳解】因為，，所以，所以直線的方程為：，即，設圓心，半徑為，直線的垂直平分線為：，即，所以①，由于在軸上截得的線段的長為，所以②，又因為③，由①②③可得：或（舍），所以圓的方程為：，設直線的方程為：，，，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則，，由得：，所以，，所以，即，解得：或，所以直線的方程為或，即直線的方程為或，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是利用待定系數(shù)法求出圓的方程，由以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，得出，，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，即可得、用表示，代入，即可求出的值，進而求解.直線與圓相交：韋達定理型（共2小題）17．（22-23高三上·山東菏澤·期中）已知圓的方程為，圓與直線相交于兩點，且（為坐標原點），則實數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程代入圓的方程，利用韋達定理，以AB為直徑的圓過原點即OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，可得關于a的方程，即可求解．【詳解】由直線x+2y﹣4=0與圓x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，消去y，得5x2﹣8x﹣16+4a=0①設直線l和圓C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是①的兩個根．∴x1x2=，x1+x2=．

②由題意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（4﹣x1）（4﹣x2）=0，即x1x2﹣（x1+x2）+4=0③將②代入③得：a=．故選A．【點睛】本題綜合考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于基本知識的考查與應用．18．（2024·湖北·模擬預測）直線與圓交于M、N兩點，O為坐標原點，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先聯(lián)立方程，結合韋達定理可求出，根據(jù)向量數(shù)量積可求答案.【詳解】聯(lián)立,得，則，即，所以，設，則：，，故選：C八．切線：圓上點切線（共2小題）19．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）過原點的圓的圓心為，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】設圓心為，即可求出，從而得到，再由誘導公式及傾斜角的定義判斷即可.【詳解】設圓心為，則，依題意，所以，又，所以直線的傾斜角為3．.故選：A20．（23-24高三上·全國·期中）已知圓在點處的切線上一點在第一象限內(nèi)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圓的切線方程及基本不等即可求解．【詳解】易知圓在點處的切線的方程為，所以，，，所以，當且僅當，時，等號成立．所以的最小值為.故選：C.九．切線：圓外點切線（共2小題）21．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，當直線AB與l平行時，（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)跟定條件，利用圓的切線的性質，結合面積法求解作答.【詳解】

連接，由切圓于A，B知，，因為直線AB與l平行，則，，而圓半徑為1，于是，由四邊形面積，得，所以.故選：A.22．（22-23高三上·河北滄州·期中）已知圓：，為圓上位于第一象限的一點，過點M作圓的切線.當?shù)臋M縱截距相等時，的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，直線經(jīng)過一、二、四象限，所以，再依據(jù)直線與圓相切，且在坐標軸上的截距相等，即可求得直線方程.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，所以設過點的切線方程為，因為的橫縱截距相等，所以，，又因為直線與圓相切，所以，所以，所以直線方程為.故選：D十．切線長最值（共2小題）23．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點P是直線上的動點，過點P引圓的兩條切線PM，PN，M，N為切點，則PM的最小值為時，r的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】當時最小，最小，求出最小值即得的值.【詳解】由題得，當時，最小時，最小.由題得，所以.故選：B.24．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知圓的半徑為2，過圓外一點作圓的兩條切線，切點為，，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，根據(jù)長度表示出，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計算公式求解，結合基本不等式求解出的最小值.【詳解】如圖，設，則，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，故選：C.十一．切點弦（共2小題）25．（2023高三·全國·期中）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點作圓的兩條切線，設切點分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.26．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知是上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當直線與平行時，（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線的性質，結合面積法求解作答.【詳解】連接，由切圓于知，，因為直線與平行，則，，而圓半徑為，于是，由四邊形面積，得，所以.

故選：C十二．切點弦最值范圍（共2小題）27．（23-24高三上·北京順義·期中）過直線上一動點，向圓：引兩條切線，、為切點，則圓上的動點到直線距離的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設，由圓的切線性質可得點、在以為直徑的圓上，聯(lián)立兩個圓的方程可得直線的方程，結合的坐標可得直線過定點，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，點在直線上，設，則，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則，，則點、在以為直徑的圓上，又由，則以為直徑的圓的方程是，圓的方程為，聯(lián)立兩個圓的方程可得：直線的方程為，即，因為，所以，代入直線的方程，得，即，當且，即，時該方程恒成立，所以直線過定點，點到直線距離的最大值即為點，之間的距離加上圓的半徑，即點到直線距離的最大值為．動點到直線距離的最大值為，故選：B28．（21-22高二上·湖北武漢·期中）已知點M作拋物線上運動，圓過點，過點M引直線與圓相切，切點分別為P，Q，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設圓的方程為：,將點代入求得方程圓的方程為，由題意，得到求解.【詳解】解：設圓的方程為：,將點代入得，解得，則圓的方程為，即，如圖所示：

易知，又，所以，當最小時，最小，設，則，當時，，當時，趨近圓的直徑，所以的取值范圍為，故選：B十三．切點弦面積型（共2小題）29．（23-24高三上·全國·期中）已知圓過點，，，點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】求出圓的圓心和半徑，再借助切線長定理求出四邊形面積關于的函數(shù)關系即可得解.【詳解】顯然過點，2,0的直線斜率為1，過點，的直線斜率為，即點，2,0，為頂點的三角形為直角三角形，因此圓的圓心為，半徑為2，

點到直線的距離，而點在直線上，則，由過點作圓的兩條切線，切點分別為，得四邊形面積：，所以四邊形面積的最小值為4.故選：C30．（23-24高二上·山東濰坊·期中）已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后得到四邊形面積為，利用切線長公式可知，當最短時，四邊形面積最小，求解即可得到答案.【詳解】

將化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C十四．角度最值（共2小題）31．（22-23高三上·湖北黃岡·期中）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大．”如圖，其結論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點P在x軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【分析】根據(jù)題意得出滿足條件的過三點的圓的方程，由已知當取最大值時，圓必與軸相切于點，得出對應的切點分別為和，并依據(jù)定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，舍棄，得到滿足條件的，從而得出答案.【詳解】解：，則線段的中點坐標為，易知，則經(jīng)過兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設圓心為，則圓的方程為，當取最大值時，圓必與軸相切于點（由題中結論得），則此時P的坐標為，代入圓的方程得，解得或，即對應的切點分別為和，因為對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點為所求，即點的橫坐標為.故選：A32．（23-24高二上·浙江·期中）已知圓，對于直線上的任意一點，圓上都不存在兩點、使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖形，考慮、都與圓相切，設，則，分析可知，當時，最大，此時，最大，計算出圓心到直線的距離，分析可得，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】如下圖所示：圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，考慮、都與圓相切，此時，由切線長定理可知，，又因為，，則，設，則，因為，則，故當時，最大，此時，最大，因為對于直線上的任意一點，圓上都不存在兩點、使得，則，可得，則，可得，解得或.故選：B.十五．中點弦（共2小題）33．（2024·湖北·二模）過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結合圖形可知，當時AB取得最小值，然后可解.【詳解】將圓化為，圓心C?2,0，半徑，因為，所以點在圓C內(nèi)，記圓心C到直線l的距離為d，則，由圖可知，當，即時，AB取得最小值，因為，所以AB的最小值為.故選：A

34．（23-24高三上·江蘇泰州·期中）已知直線與x，y軸分別交于M，N兩點，與圓交于A，B兩點，弦的中點為，則（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】由向量同向，則只需求出其模長即可，又題意結合圓中的垂徑定理結合勾股定理可得出答案.【詳解】直線與x，y軸分別交于M，N兩點,則所以又圓心到直線的距離為由題意,由，則向量同向，則故選：C

十六．圓的弦長與定值定圓（共2小題）35．（22-23高二上·江蘇徐州·期中）已知圓與軸交于兩點，點的坐標為．圓過三點，當實數(shù)變化時，存在一條定直線被圓截得的弦長為定值，則此定直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設圓為，根據(jù)圓與圓