2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點(diǎn)專題專題4平面向量的運(yùn)算學(xué)案文含解析

PAGE專題4平面對量的運(yùn)算1.若a為非零向量,則QUOTE是與a同向的單位向量,-QUOTE是與a反向的單位向量.2.三點(diǎn)共線:對于平面上的任一點(diǎn)O,,不共線,滿意=x+y(x,y∈R),則P,A,B共線?x+y=1.3.三角形的“四心”設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則(1)O為△ABC的外心?||=||=||=QUOTE.(2)O為△ABC的重心?++=0.(3)O為△ABC的垂心?·=·=·.(4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0.1.題中圖形為正方形、正三角形等規(guī)則圖形時,通?？紤]建系,用坐標(biāo)法解題.2.兩共起點(diǎn)向量中一個向量固定,另一個向量轉(zhuǎn)動時,差向量的軌跡為一個圓面,可將向量問題轉(zhuǎn)化成圓的相關(guān)問題.3.向量線性運(yùn)算通常用基底法,將要求的向量通過向量加減,數(shù)乘向量轉(zhuǎn)化為基底向量,得解.1.不理解投影的意義【案例】T6向量a在b上的投影為|a|cosθ=-QUOTE.2.簡單忽視向量夾角的范圍為QUOTE【案例】T7解得cos<a,b>=-QUOTE,因?yàn)?lt;a,b>∈QUOTE,所以<a,b>=QUOTE.3.忽視零向量的狀況【案例】T9對于⑤,若a∥b,b∥c,當(dāng)b=0時,a∥c不肯定成立,所以⑤錯誤.考向一平面對量的?！镜淅?2024·全國Ⅰ卷)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=________.

考向二平面對量的垂直【典例】(2024·全國Ⅱ卷)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是 ()A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b1.若向量a=(m,-1),b=(1,2),且a⊥b,則(2a-b)·(a+b)= ()A.5 B.-13C.-5 D.132.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與4b-2a平行,則實(shí)數(shù)x的值是 ()A.-2 B.0C.1 D.23.已知非零向量a,b滿意QUOTE=2QUOTE,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE4.若向量a,b的夾角為60°,且|a|=2,|b|=3,則|a-2b|= ()A.2QUOTE B.14C.2QUOTE D.85.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,c=3,且滿意QUOTEcosB=bcosC,則·的值為 ()A.2 B.3C.-1 D.-36.已知a,b為不共線的兩個單位向量,且a在b上的投影為-QUOTE,則|2a-b|= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE7.已知向量a=(-3,1),b=(1,-2),則向量a與b的夾角的大小等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.已知向量a,b是兩個不共線的向量,且=3a+5b,=4a+7b,=a+mb,若A,B,C三點(diǎn)共線,則m= ()A.1 B.-1C.2 D.-29.有下列命題:①兩個相等向量,若它們的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同;②若|a|=|b|,則a=b;③若,則四邊形ABCD是平行四邊形;④若m=n,n=k,則m=k;⑤若a∥b,b∥c,則a∥c;⑥有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中,假命題的個數(shù)是 ()A.2 B.3C.4 D.510.如圖,在△ABC中,=QUOTE,=QUOTE,BE和CD相交于點(diǎn)F,則向量等于 ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE11.已知在△ABC中,點(diǎn)O滿意++=0,點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的隨意一點(diǎn),且=m+n,則m+n的取值范圍是________.

12.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|+3|的最小值為________.

專題4平面對量的運(yùn)算///真題再研析·提升審題力///考向一【解析】因?yàn)閍,b為單位向量,所以QUOTE=QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,解得:2a·b=-1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE考向二D由已知可得:a·b=QUOTE·QUOTE·cos60°=1×1×QUOTE=QUOTE.A:因?yàn)?a+2b)·b=a·b+2b2=QUOTE+2×1=QUOTE≠0,所以本選項(xiàng)不符合題意;B:因?yàn)?2a+b)·b=2a·b+b2=2×QUOTE+1=2≠0,所以本選項(xiàng)不符合題意;C:因?yàn)?a-2b)·b=a·b-2b2=QUOTE-2×1=-QUOTE≠0,所以本選項(xiàng)不符合題意;D:因?yàn)?2a-b)·b=2a·b-b2=2×QUOTE-1=0,所以本選項(xiàng)符合題意.///高考演兵場·檢驗(yàn)考試力///1.A因?yàn)閍⊥b,所以有a·b=0,即m-2=0,所以m=2,故a=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=2a2+a·b-b2=2QUOTE+a·b-QUOTE=2×QUOTE+0-QUOTE=10-5=5.2.D因?yàn)閍=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由于a+b與4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.3.B因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以a與b的夾角為QUOTE.4.A|a-2b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.5.D因?yàn)镼UOTEcosB=bcosC,依據(jù)正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,又因?yàn)?<A<π,所以sinA>0,所以cosB=QUOTE,因?yàn)?<B<π,所以B=QUOTE,·=-·cosB=-accosQUOTE=-2×3×QUOTE=-3.6.D設(shè)a,b的夾角為θ,由已知,|a|=1,|b|=1,|a|cosθ=-QUOTE,所以cosθ=-QUOTE,所以a·b=|a||b|cosθ=-QUOTE,所以|2a-b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE.7.D由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得,cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,因?yàn)?lt;a,b>∈QUOTE,所以<a,b>=QUOTE.8.A由A,B,C三點(diǎn)共線,得=x+(1-x)=(4-x)a+(7-2x)b(x∈R),故QUOTE解得m=1.9.C對于①,兩個相等向量,它們的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同,①正確;對于②,若QUOTE,方向不確定,則a,b不肯定相同,所以②錯誤;對于③,若,,不肯定相等,所以四邊形ABCD不肯定是平行四邊形,③錯誤;對于④,若m=n,n=k,則m=k,④正確;對于⑤,若a∥b,b∥c,當(dāng)b=0時,a∥c不肯定成立,所以⑤錯誤;對于⑥,有向線段不是向量,向量可以用有向線段表示,所以⑥錯誤;綜上,假命題是②③⑤⑥,共4個.10.B過點(diǎn)F分別作FM∥AB交AC于點(diǎn)M,作FN∥AC交AB于點(diǎn)N,已知=QUOTE,=QUOTE,因?yàn)镕M∥AB,則△MFE∽△ABE和△MCF∽△ACD,則QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,則MC=8ME,所以AM=QUOTEAC,所以=QUOTE,同理FN∥AC,△NBF∽△ABE和△NFD∽△ACD,則QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,則NB=8ND,所以=8,即-=8(-),所以-=8,即-=2-8,得=QUOTE,因?yàn)樗倪呅蜛MFN是平行四邊形,所以由向量加法法則,得=+,所以=QUOTE+QUOTE.11.【解析】設(shè)=λ(0