2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.3計(jì)算導(dǎo)數(shù)學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE3計(jì)算導(dǎo)數(shù)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁[自主梳理]一、計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟1．通過自變量在x0處的變更量Δx，確定函數(shù)在x0處的變更量：Δy＝________________.2．確定函數(shù)y＝f(x)在x0處的平均變更率：eq\f(Δy,Δx)＝________________.3．當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)：f′(x0)＝________________.二、導(dǎo)函數(shù)一般地，假如一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)：f′(x)＝____________，則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的________，通常也簡稱為________．三、導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)y＝c(c是常數(shù))y′＝0y＝xα(α是實(shí)數(shù))y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特殊地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特殊地(lnx)′＝eq\f(1,x)y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝eq\f(1,cos2x)y＝cotxy′＝－eq\f(1,sin2x)[雙基自測(cè)]1．若f(x)＝eq\r(3,x)，則f′(x)等于()A.eq\f(1,\r(3,x2)) B.eq\f(1,3\r(3,x2))C.eq\f(\r(3,x2),3) D.eq\f(1,3x\r(x))2．f(x)＝0的導(dǎo)數(shù)是()A．0B．1C．不存在D．不確定3．若f(x)＝coseq\f(π,4)，則f′(x)＝()A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)4．給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－2x－3；④若y＝f(x)＝3x，則f′(1)＝3；⑤若y＝cosx，則y′＝sinx；⑥若y＝sinx，則y′＝cosx.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．65．若函數(shù)f(x)＝xn在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為12，則n＝________.[自主梳理]一、1.f(x0＋Δx)－f(x0)2.eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)3.eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)二、eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)[雙基自測(cè)]1．Bf(x)＝xeq\f(1,3)，∴f′(x)＝eq\f(1,3)xeq\f(1,3)－1＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3\r(3,x2)).2．A常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，故選A.3．Cf(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.4．B由求導(dǎo)公式可知，①③④⑥正確．5．3f′(2)＝n·2n－1＝12，所以n＝3.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第18頁探究一利用導(dǎo)函數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)[例1]求函數(shù)f(x)＝x2＋5x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)．[解析]f′(x)＝eq\f(x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x,Δx)＝eq\f(2Δx·x＋Δx2＋5Δx,Δx)＝(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.利用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的一般步驟：(1)確定函數(shù)y＝f(x)在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上每一點(diǎn)是否都有導(dǎo)數(shù)；(2)計(jì)算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).1．利用導(dǎo)數(shù)定義求f(x)＝1的導(dǎo)函數(shù)，并求f′(2)，f′(3)．解析：f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，eq\f(Δy,Δx)＝0.Δx趨于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)趨于0.所以f′(x)＝0.所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.探究二利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)[例2]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝eq\f(1,x3)；(3)y＝log2x.[解析](1)y′＝(x8)′＝8x7.(2)y′＝(eq\f(1,x3))′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.(3)y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2).1．用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，但運(yùn)算較煩瑣．利用常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以簡化求導(dǎo)過程，降低運(yùn)算難度．2．利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，應(yīng)依據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整．如將根式、分式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)．2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝xeq\f(3,2)；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x))；(3)y＝2e3；(4)y＝2cosx.解析：(1)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2).(2)y′＝(eq\f(1,\r(3,x)))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3).(3)y′＝(2e3)′＝0.(4)y′＝(2cosx)′＝2(cosx)′＝－2sinx.探究三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用[例3]點(diǎn)P是曲線y＝ex上隨意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離．[解析]依據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率為1，即f′(x0)＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的最值問題．解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)或切線的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)求解．3．已知直線y＝kx是y＝lnx的一條切線，求k的值．解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．∵y＝lnx，∴y′＝eq\f(1,x).∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝k.∵點(diǎn)(x0，y0)既在直線y＝kx上，也在曲線y＝lnx上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，①,y0＝lnx0，②))把k＝eq\f(1,x0)代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.∴k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).利用分類探討思想處理兩曲線的公切線問題[例4]求曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝x3的公切線的斜率．[解析](1)當(dāng)公切線切點(diǎn)相同時(shí)，對(duì)C1，C2分別求導(dǎo)得y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝eq\f(2,3).①當(dāng)x＝0時(shí)，2x＝3x2＝0；②當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)，2x＝3x2＝eq\f(4,3).此時(shí)C1的切線方程為y－eq\f(4,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))，而C2的切線方程為y－eq\f(8,27)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3))).明顯兩者不是同一條切線，所以x＝eq\f(2,3)舍去．(2)當(dāng)公切線切點(diǎn)不同時(shí)，在曲線C1，C2上分別任取一點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有y1′＝2x1，y2′＝3xeq\o\al(2,2)，因?yàn)锳B的斜率為kAB＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2)，所以有2x1＝3xeq\o\al(2,2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2).由2x1＝3xeq\o\al(2,2)，得x1＝eq\f(3,2)xeq\o\al(2,2)，代入3xeq\o\al(2,2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2)中，解得x2＝eq\f(8,9)，x1＝eq\f(32,27).此時(shí)公切線的斜率為2x1＝eq\f(64,27).綜上所述，曲線C1，C2有兩條公切線，其斜率分別為0，