平面向量的應(yīng)用-2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元突破與檢測(cè)（人教A版必修4）（解析版）

10平面向量的應(yīng)用

一、必備知識(shí)：

1.向量￡=（jq,y）,B=（X2，y2），則a,5nxiZ+y%=0,4115nx一甚%=（）?

2.三角形“四心”的向量表示：

①在△ABC中，若|礪|=|而|=|反|或詆2=詼2=灰；2,則點(diǎn)。是△ABC的外心；

②在AABC中，^GA+GB+GC=0,則點(diǎn)6是4A8。的重心；

③在AA5C中，若。A—西萬+,配）,4e[0,+oo）,則直線AP過△ABC的重心；

2

④在△ABC中，若HA-H*=Ht=H（j-HA，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；

一一ABAC

⑤在AABC中，若°P=QA+4（,+田）（％>°），則直線AP通過AABC的內(nèi)心.

|明|AC|

二、題組：

題組一：向量法判形.

例題：

例1.（1）若在△ABC中，AB=AC=\,|AB+XC|=V2,則AABC的形狀是（）

A.正三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【詳解】|通+園=夜，則辟+園2=宿+/2+2被前=2,故而.恁=0，

故A3,AC,故三角形為等腰直角三角形.故選：D.

（2）若。為ZVWC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足（0%-&71（0%+02-2&）=0,則人鉆。的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【詳解】；（防-碼]防+注-2可=0,.?.可加/）=0,CBl^+Acj.

.?.△ABC的中線和底邊垂直，.?.△ABC是等腰三角形.故選：A.

（3）平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A8,C,。，已知（詼+玩一2虱q?CS=0,則AABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【詳解】V(DB+DC-QDA^1CB=,：.(DB-DA+DC-DAj(AB-AC)=O,

22

：.(AB+AC)(AB-AC)=0,,AAB-AC=0,即廊卜|相?AABC的形狀是等腰三角形，故選B.

TBAC

已知非等向量萬與滿足廣=[+廣=[.配=0,且匹卜西，貝以430為()

(4)ZAC〔網(wǎng)KI

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.三邊均不相等的三角形

【答案】A

—?ABAC__UUUUUU

【詳解】不妨設(shè)AP=鬲+謨?nèi)ィ碤為44C角平分線所在直線上的向量，又APJ.BC，

.?.AB=AC，又|配|=G|福卜也|福|,所以AABC為等腰非等邊三角形.故選：A.

(5)在AA8C中，已知|福卜|呼|=4,且而?而=8,則AABC的形狀為.

【答案】等邊三角形

【詳解】cosABAC=,因?yàn)镹84Ce(0,;r),所以ZBAC=巳，

\AB\-\AC\23

又因?yàn)锳B=AC=4,所以AA3C為等邊三角形.故答案為：等邊三角形

例2.⑴在四邊形ABCD中，ABBC=0,且入亙=阮，則四邊形ABCD是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】C

【解析】因?yàn)閮?反，所以AB=DC,AB〃DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又因?yàn)槿朐?前=0,

所以ABLBC,所以四邊形ABCD是矩形.選C.

(2)若通=3值,麗=-51,且|而|=|西，則四邊形488是()

A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

【答案】C

【詳解】'：AB=3a,CD=-5a,：.ABHCD-\AB\^\CD\，\AD\=\BC\,

...四邊形ABC。是等腰梯形，故選：C.

練習(xí)：

1.在AABC中，AB=a，3C=B，且則AABC是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

【答案】D

【詳解】由題意=|刑cos（%-B）>0,.?.cosQr-B）〉0,-cosB>0.cosB<0,又B是三角形

TT

內(nèi)角，...一〈B〈萬.△人與。是鈍角三角形.故選D.

2

2.若通廁SBC必定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【詳解】ABBC+AB2=A^（BC+AB）=ABAC<o,即I而IIACIcosA<0,.\cosA<0,

.?.A為鈍角,.二△ABC是鈍角三角形.故選B.

3.在AABC中，若|通+祠〈展一罔，則“BC的形狀為（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

【答案】B

【詳解】由題意可得（而+衣）2（（麗-恁）2,即通2+府2+2福.布〈麗?+急？-2福.布，

整理可得而./<（），則向量A%與公的夾角為鈍角，即N84C>90°，據(jù)此可知AAbC的形狀為鈍

角三角形.

4.若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且（加+配—2函）?（通—才。）=0,則△48<7是（）

A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形

【答案】C

【詳解】由（麗+玩—2礪）?（通—蔗）=0得（而+而）?（都一而）=0,.?.通2一而2=0,即?福

|=|ACb.,.AB=AC,即AABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形.選C.

5.AABC中，設(shè)血=己配=汗,回=5,若小G+萬—5）<0,則AABC的形狀是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

【答案】C

【詳解】+...而.（麗+及一畫）=布.2/<0,...角A為鈍角，故選C.

ABBC41

6.AABC中，已知（昌+禺）?阮=o,

W|田且畫園=一丁則尚0是（）

A.三邊互不相等的三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.頂角為鈍角的等腰三角形

【答案】C

ABAC—.AB7r

r【詳解】：（畫+麻［）.8C=0,西，7—^分別為單位向量，???ZA的角平分線與BC垂直,

\AC\

ABCBy[2JTJT

/.AB=AC,VcosB=?——iT=r="TT,.?.NB=-,.../B=NC=NA=一,三角形為等腰直角三角形.

|AB|\BC\243

故選C.

7.若M為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（而5-祝）?（礪+祝）=0,礪+就+2耐=6,則AABC

的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【詳解】v（MB-MC）-（MB+MC）=0,.\MB-MC=0,.\|說卜.點(diǎn)M在底邊BC的中垂線上,

又?.?麗+限+2MA=Q,:.MB+MC=-2MA=2麗7,所以點(diǎn)M在底邊BC的中線上，因而底邊BC的

中線與垂直平分線重合，所以AABC的形狀為等腰三角形.

8.在A4BC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊，若S.="一廠（其中5以品表示

4

AAB（詢面積），且?阮=0,則AABC的形狀是（）

A.有一個(gè)角為30的等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

使而=普，荏

【詳解】在邊AB,AC卜一分別取點(diǎn)D,E,以AD,AE為鄰邊作平行四邊形

網(wǎng)kl

?ABACABAC—?

ADFE,則：四邊形ADFE為菱形，連接AF,DE,AF，DE,且A尸=后AB云+A可C；：BC=0,：

\\ll1網(wǎng)|A刃

AFBC=0：.,.AF1BC；又DEJ_AF；；.DE〃BC,且AD=AE；/.AB=AC,即b=c；

1I22n22

,延長(zhǎng)AF交BC的中點(diǎn)于O,則：S^ABC=-aJc2--=a'+t）~C~,b=c；

2V44

2a12=a2：.2^c2-a;4c2-a2-a2;a2—2cl=b2+c2i

ZBAC=90°,且b=c；.?.△ABC的形狀為等腰直角三角形.

9.已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)任意ZGR有|麗+（k-1）而一k反閆礪一反I，則△ABC一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

【答案】A

【詳解】從幾何圖形考慮：：1赤+（A--1）0B-k0C^\0A-0C\,

■,■\OA-OB+l<bB-l<OC\>\OA-OC\>^\BA-kBC\>\CA\

I麗一人831日的幾何意義表示：在8c上任取一點(diǎn)￡，可得k》（j=B三，

?'?\BA-^BC\=\BA-BE\=\EA\>\CA\'又點(diǎn)E不論在任何位置都有不等式成立，

...由垂線段最短可得AC_LEC,即/C=90。，則4ABC一定是直角三角形.故選A.

10.已知△A8C中，AB=a>BC=b>B是小鉆。中的最大角，若￡/<0，試判斷AABC的形狀.

【詳解】如圖，設(shè)。是麗與心的夾角，則=|通口與4cos6<0,故cos6<0,所以6為鈍角,

故可得NABC為銳角.又角8是A48C中最大角，所以AABC為銳角二角形.

II.判斷題中AABC為什么三角形

（1）0為A4BC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),且滿足（加一反）?（礪+詼-204）=0.

（2）0為AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足\OB-OC\^\OB+OC-20A|.

【詳解】(l)AABC為等腰三角形.

山(麗-南)?(礪+詼-2麗=0,可得恒(而+恁)=0.

又因?yàn)槎蟆狝C=CA,

所以瓦?(通+而)=(而一碼?(而+而)=詬2—衣2=|通『一|而|2=o

B|J|AB|=|AC|,由此可得AABC是等腰三角形.

(2)A48C為直角三角形.

因?yàn)辂?雙一2況=礪—礪+花一麗=麗+/,而—1=而=而一恁，

所以|福+衣|=|而一而所以|麗+/『=|而一玩即福.就=0,從而AB_LAC.

故AA3C為直角三角形.

12.已知A(l,2),3(4,0),C(8,6),D(5,8),判斷由此四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的形狀.

【詳解】因?yàn)辂?(4,0)-(1,2)=(3,-2),加=(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以礪=反，所以四邊形A8CO是平行四邊形.

因?yàn)槌?(5,8)-(1,2)=(4,6),

所以福?而=3x4+(-2)x6=0.

所以通，亞.所以四邊形ABC。是矩形.

因?yàn)閨福|=舊,|而|=2舊,|而圖而|,

所以四邊形ABC。不是正方形.

綜上,四邊形A8C。是矩形.

題組二：向量法判心

例題：

例1.(1)在AABC中，若函.礪=礪.近=花.礪，則。是AABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【詳解】OAOB=dBOC'-OB(O^-OC)=^<.,-0504=0；.,.OBLAC,同理由

OAOB=OCOA'得到。A_LBC,...點(diǎn)。是AABC的二條高的交點(diǎn).故選。.

（2）設(shè)P是A46c所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若麗?（而+國）=2福?而且通2=/2_2而q則點(diǎn)「是

AA3C的

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】A

【解析】由福?（而+國）=2麗.麗，得麗?（聞+聲一2而）=0,即而｛（而-麗）+（聲-岳）］=0,

所以福?（而+西）=0,設(shè)。為43的中點(diǎn)，則A匣2Pzi=0，故入?yún)^(qū)P/5=0；

因?yàn)橥?=/2_2元q,所以（恁+而）（恁一砌=2方.麗，

所以瑟,（/+而-2而）=0,設(shè)BC的中點(diǎn)為E,同上可知石心.屋=0，

所以「為48與BC的垂直平分線的交點(diǎn).所以P是人鉆。的外心.選A.

練習(xí)：

1.設(shè)。是AABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若（而-前）?（而+元）=（前-序）?（萬+無）=0,

則點(diǎn)。是八鉆。的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【詳解】設(shè)BCAC的中點(diǎn)分別為O,E,OB+OC^2OD,OA+OC=2OE,（PB-PC）（OB+OC）=

CB-20D=0,:.CB10D,所以8八BC,點(diǎn)。在線段5C的垂直平分線上，同理點(diǎn)。在線段AC的垂

直平分線上，所以。為A43C的外心.故選B.

2.在三角形ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)H滿足ft42+BC2=HB2+C42=WC2+AB2則H點(diǎn)是三角形

ABC的.

【答案】垂心

【詳解】因?yàn)榕cd=阮一麗.瓦=麗一比,而=麗一而

所以際之+（比一語了="F+（成—碇）2

整理得沅?（而—麗）=0.近.通=0,即洞理可得

所以可知，為垂心.

題組三：向量法求長(zhǎng)度求面積.

例題：

例1.(1)在445。中，。為3。邊上的中點(diǎn)，且|同月|=1,衣|=2,/84。=120。，則4。的長(zhǎng)為()

A百13手

B.-C.-D.—

2244

【答案】A

【詳解】。為BC邊上的中點(diǎn),AD=-(AB+AC),

=出啟+XU?+2相碼=J；(F+22+2>I>2XCOS120)=",所以4。=乎，故選A.

(2)已知平面四邊形A8C。滿足AB?—AO?=5，BC=3,ACBD^-l，則CD的長(zhǎng)為()

A.2B.76C.幣D.2夜

【答案】B

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0),C(3,0),設(shè)A(x,y),,〃)，由AB?—AZP=5,則

x2+>>2-(x-m)2--n)2=5,所以2%加+2y〃一〃?2-〃2=5,又/.8方=一1，所以

xm+yn=1+3m,|CD|={m-3)2+n2=m2+rr-6m+9=2xm+2yn-5-2(xm+yn-1)+9=6,

即|前|=指，故選B.

例2.(1)已知AABC的面積為2,在AABC所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P、。，滿足用+無=6,7=2詼,

則A4PQ的面積為()

12

A.一B.一C.1D.2

23

【答案】B

（詳解】由題意通+無=6可知,P為AC的中點(diǎn),9=2BQ.可知。為AB的一個(gè)三等分點(diǎn),如圖:

1111?2

因?yàn)镾AAAP=—A3?ACsinA=2.所以S0p。=—AP-AQsinA=—x—A3?一ACsinA=—.故選：3.

2…22233

c

——2——1——一,21

（2）如圖，設(shè)P,Q為AABC內(nèi)的兩點(diǎn),,且==+二AC,AQ=-AB+-AC，則AABP的面

5534

積與AABQ的面積之比為（）

,上,

1411

A.-B.-C.—D.一

5543

【答案】B

_________9___?___

【詳解】連QP,延長(zhǎng)QP交AB于E，設(shè)施=4而，EP=AP-AE=^-^AB+-AC,

______2_1__—.—.——4—■SBpEP4

EQ=AQ-AE=（一^）AB+-AC,又AB,AC不共線，所以EP=-EQ.又01M=0八=<.

AEB

練習(xí)：

1.如圖，在AABC中，AB=4，AC，=20，ZBAC=135°,。為邊3C的中點(diǎn)，且前=礪，則

線段3M的長(zhǎng)為（）

A

“D,

A/26口5公C.叵或』D,叵或逑

A.D.

222222

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳B=4，AC=2j5，ZS4C=135°,所以而.無不=_8.

因?yàn)槊?加一通=—汨―通=一（而+衣）—通=一3通

24V>44

所以網(wǎng)=萍+；可*=點(diǎn)阿—河.而+得阿=平,故選B.

2.「是AA6C所在平面上的一點(diǎn)，滿足⑸+而+定=2通，若S^BC=6,則AftAB的面積為（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【詳解】???2<+聞+定=2油=2（兩—西），3PA=PB-PC=CB'：.PA\\CB,且方向相同.

題組四：向量法證明

例題：

例1.求證：三角形的三條高線交于一點(diǎn).

【詳解】如下圖所示，AA5c中4〃_1,3。,3￡_1_4。,428后交于點(diǎn)”，連接S.

2

CHAB=(CB+BH)(AC+CB)^CB.AC+CB+BH.AC+BH.CB

VBE1AC，ADYBC,???B//.AC=0'AHCB^Q)

-,-CHAB=CBAC+CB2+BHCB=CB(AC+CB+BH)^CBAH^O-即C〃_LA3.

...AA3c的三條高線交于一點(diǎn).

例2.如圖，CO是AA3C的中線，CD=LAB,用向量方法證明AA3C是直角三角形.

2

DB

【詳解】證明：設(shè)前=￡,DA=b>則球i=3+B，DB=-b>

J是CB-a-b-CA-CB=（a+b'）-（a—b'）=a—h-

因?yàn)镃0=LA8,所以C￡>=D4.

2

因?yàn)?=cr>2,片=”2,所以甌麗=o.

因此C4LC8.于是AABC是直角三角形.

例3.用向量方法證明：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

【詳解】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O且AC=BD,AB=AO+OB>AD=AO+6D,

所以需五5=（反（5+而）?（奉5+而）=而2+麗.而+麗反G+曲.麗=o,

所以福，而，即ABLAD，所以平行四邊形ABCD是矩形.

例4.如圖，在正方形A8CO中，民尸分別為A8,BC的中點(diǎn)，求證：AFLDE（利用向量證明）.

【詳解】證明：設(shè)麗=M，AD=b^則荏=之+,5,ED^b--a.

22

:.AF*ED-[a+-b--a\=-b'--a2+—a*b.

<2M2)224

又而_L亞，且|狎=|而I，./"，a-b=Q.

.,.AF*ED=O-:.AFYED

練習(xí)：

1.已知等腰AABC,AB=4C,點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，求證40，3c.

【詳解】如圖，為BC的中點(diǎn)，二不必=L瓶+*).

2

又就=恁—屈，在等腰AA8C中，AB^AC,

：.AMBC=^(\AC^-\AB^)=O.

■.AMIBC>即AML3C.

2.已知正方形ABC。,E、尸分別是CD、AO的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)尸，連接AP.用向量法證明:

(\)BE±CF;(2)AP=AB.

【詳解】證明：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系X。，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)A5=2，

則A(0,0),5(2,0),C(2,2),￡(1,2),F(0,l).

⑴；麗=礪一礪=(1,2)-(2,())=(-1,2),CF=OF-OC=((),l)-(2,2)=(-2,-l),

/.BECF=(-l)x(-2)+2x(-1)=0.

BE1CF.即跖_(tái)LC產(chǎn);

(2)設(shè)尸(x,y),則而=(羽y—1),BP=(x-2,y),由⑴知前=(一2,—1),BE=(-1,2),

'-,FP//CF>A-x--2(y-l),即x=2y—2.同理，由麗//屁，得y=—2x+4.

6

x=2y-2解得.解P（L），,而二6）=4=宿,

y=-2x+4355

\AP\=\AB\,即AP=AB.

3.如圖所示，已知AABC中，BE,分別為AC,A8邊上的高，而且8E與C尸相交于點(diǎn)0,連接A。

并延長(zhǎng)，與BC相交于點(diǎn)D.求證：ADYBC.

【詳解】因?yàn)锽E1AC，所以麗?*=0，即麗《0心一函）=0,因此礪.反=麗?①i①.

又因?yàn)镃b_LA3,所以詼.詬=0，即反?（而—礪）=0,

因此反?礪=反屈②.

由①-②可得歷.方一歷.囪=0，因此（而-反）.麗=0,

從而瓦?礪=0,故BC_LQ4,即AD_L3c.

4.如圖所示，已知ABCO是菱形，AC與3。是兩條對(duì)角線.求證：AC±BD.

【詳解】由己知可得衣=4萬+而，BD^AD-AB^

所以〃?麗=（通+亞）?（而—而）=|而『―|通

又因?yàn)锳BC。是菱形，所以AB=AD，QP|AB|=|AD|,因此而?麗=0,

UUUULUl

從而AC_LB。，故ACJ_3Z)-

5.在A48c中，AB=AC,。為AB的中點(diǎn)，E為AACD的重心，F(xiàn)為AABC的外心，證明：EFLCD.

【詳解】證明:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,勿，8(—a,0),C(a,0),

ab

,易知A4BC的外心/在y軸上，可設(shè)為(0,y).

2,2

-,—?io*_cT（zxb"*-Q—

由|A/|二|CF|,得（y—b9）2=（—。）2+/，.??__匕，即/0,

2bI2b

（cib、■■cia~

又?..七為AACD的重心，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為二=，，&,

62b

xg=0,￡F±CD,即￡FJ_CD.

BOCH

6.已知點(diǎn)，在AABC所在的平面內(nèi)，且滿足歷.麗=麗.阮=麻.而，求證：點(diǎn)”是AABC的垂

心(即三條高的交點(diǎn)).

【詳解】由雨?麗=麗.覺得：布?麗-麗?沅=麗?(福-沅］麗京=0

:.HB±CA

由“后方心=“6"乂同理可得：HCA.AB

由麗?麗=阮?蘇同理可得：HA1CB

是A46C的垂心

7.求證：以A(l,0),B(5,-2),。(8,4),。(4,6)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)矩形.

【詳解】證明:因?yàn)槎?(4,-2),方=(3,6),就=(4,一2),

AB=DC，及=(3,6)不為零向量，且不與福平行，所以以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

ABBC=O'45_1_8乙所以以A，B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

8.如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)(異于A、C兩點(diǎn))，PEA.AB，PFLBC,

垂足分別為E、