代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-2021年中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)

專(zhuān)題五代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

類(lèi)型U方程（組）應(yīng)用題

1.（2019?百色）一艘輪船在相距90千米的甲、乙兩地之間勻速航行，從甲地到乙地順流

航行用6小時(shí)，逆流航行比順流航行多用4小時(shí).

（1）求該輪船在靜水中的速度和水流速度；

（2）若在甲、乙兩地之間建立丙碼頭，使該輪船從甲地到丙地和從乙地到丙地所用的航行

時(shí)間相同，問(wèn)甲、丙兩地相距多少千米.

解：（1）設(shè)該輪船在靜水中的速度是x千米/小時(shí)，水流速度是y千米/小時(shí).

,J6(x+y)=90,x=12

依題意華(6+4)解得1

(x-y)=90.[y=3.

答：該輪船在靜水中的速度是12千米/小時(shí)，水流速度是3千米/小時(shí).

（2）設(shè)甲、丙兩地相距a千米.

a90—a解得等.

依題意，得?a=

12+312-3,

225

答：甲、丙兩地相距二千米.

2.（2020?揚(yáng)州）如圖，某公司會(huì)計(jì)欲查詢(xún)乙商品的進(jìn)價(jià)，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單已被墨水污染.

進(jìn)貨單

商品采購(gòu)員李阿姨和倉(cāng)庫(kù)保管員王師傅對(duì)采購(gòu)情況回憶如下:

李阿姨：我記得甲商品進(jìn)價(jià)比乙商品進(jìn)價(jià)每件高50%.

王師傅：甲商品比乙商品的數(shù)量多40件.

請(qǐng)你求出乙商品的進(jìn)價(jià)，并幫助他們補(bǔ)全進(jìn)貨單.

解：設(shè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，則甲商品的進(jìn)價(jià)為L(zhǎng)5x元/件，根據(jù)題意，得

72003200

解得

1.5x------=40,x=40.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解.

包7200

.,.1.5x=60,=80,=120.

1.5x

補(bǔ)全進(jìn)貨單如下:

進(jìn)貨單

商品進(jìn)價(jià)（元/件）數(shù)量（件）總金額（兀）

甲601207200

乙40803200

3.（2019?大連）某村2016年的人均收入為20000元，2018年的人均收入為24200元.

⑴求2016年到2018年該村人均收入的年平均增長(zhǎng)率；

（2）假設(shè)2019年該村人均收入的增長(zhǎng)率與前兩年的年平均增長(zhǎng)率相同，請(qǐng)你預(yù)測(cè)2019年

該村的人均收入是多少元？

解：⑴設(shè)2016年到2018年該村人均收入的年平均增長(zhǎng)率為X.

根據(jù)題意，20000（1+x）2=24200,

解得xi=0.1=10%,X2=-Z1（舍去）.

答：2016年到2018年該村人均收入的年平均增長(zhǎng)率為10%.

（2）24200X（1+10%）=26620（元）.

答：預(yù)測(cè)2019年該村的人均收入是26620元.

4.“水是生命之源”，市自來(lái)水公司為鼓勵(lì)用戶節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費(fèi):

用水量/月單位(元/噸)

不超過(guò)40噸的部分1

超過(guò)40噸的部分1.5

另：每噸用水加收0.2元的城市污水處理費(fèi)

⑴某用戶1月份共交水費(fèi)65元，問(wèn)1月份用水多少?lài)崳?/p>

(2)若該用戶水表有故障，每次用水只有60%記入用水量，這樣在2月份交水費(fèi)43.2元,

該用戶2月份實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)多少元？

W：(1)V40Xl+0.2X40=48<65,

用水超過(guò)40噸.

設(shè)1月份用水x噸，由題意得：

40Xl+(x-40)X1.5+0.2x=65,

解得：x=50.

答：1月份用水50噸.

(2)V40X1+0.2X40=48>43.2,

用水不超過(guò)40噸.

設(shè)2月份實(shí)際用水y噸，由題意，得：

lX60%y+0.2X60%y=43.2,

解得：y=60.

40X1+(60-40)X1.5+60X0.2=82(元).

答：該用戶2月份實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)82元.

5.為發(fā)展校園足球運(yùn)動(dòng)，雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)決定購(gòu)買(mǎi)一批足球運(yùn)動(dòng)裝備，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲、

乙兩商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同種品牌的足球隊(duì)服和足球，已知每套隊(duì)服比每個(gè)足球多50

元，兩套隊(duì)服與三個(gè)足球的費(fèi)用相等.經(jīng)洽談，甲商場(chǎng)優(yōu)惠方案是：每購(gòu)買(mǎi)十套隊(duì)服，

送一個(gè)足球；乙商場(chǎng)優(yōu)惠方案是：若購(gòu)買(mǎi)隊(duì)服超過(guò)80套，則購(gòu)買(mǎi)足球打八折.

(1)求每套隊(duì)服和每個(gè)足球的價(jià)格是多少；

(2)若購(gòu)買(mǎi)100套隊(duì)服和a個(gè)足球(a>10),請(qǐng)用含a的式子分別表示出到甲商場(chǎng)和乙商場(chǎng)

購(gòu)買(mǎi)裝備所花的費(fèi)用；

(3)在(2)的條件下，假如你是本次購(gòu)買(mǎi)任務(wù)的負(fù)責(zé)人，你認(rèn)為到哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)比較合算？

解：(1)設(shè)每個(gè)足球的定價(jià)是x元，則每套隊(duì)服是(x+50)元，根據(jù)題意得

2(x+50)=3x.

解得x=100.

x+50=150.

答：每套隊(duì)服150元，每個(gè)足球100元.

(2)到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)所花的費(fèi)用為：100a4-14000(元),

到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)所花的費(fèi)用為：80a+15000(元).

(3)由100a+14000=80a+15000,得：a=50,所以：

①當(dāng)a=50時(shí)，兩家花費(fèi)一樣；

②當(dāng)a<50時(shí)，到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更合算：

③當(dāng)a>50時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更合算.

類(lèi)型回函數(shù)應(yīng)用題

1.(2020?成都)在“新冠”疫情期間，全國(guó)人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將

一個(gè)月獲得的利潤(rùn)全部捐贈(zèng)給社區(qū)用于抗疫.已知商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件,

擬采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷(xiāo)售.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷(xiāo)量y(單位：件)與線下售價(jià)

x(單位：元/件，12WxV24)滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x(元/件)1213141516

y(件)120011001000900800

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若線上售價(jià)始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷(xiāo)量固定為400件.試問(wèn)：當(dāng)x為

多少時(shí)，線上和線下月利潤(rùn)總和達(dá)到最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn).

解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=1?+1).

將x=12,y=1200：x=13,y=1100代入，得

1200=12k+b,fk=-100,

i,解得彳

[1100=13k+b,[b=2400.

Ay與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-100x+2400.

(2)設(shè)商家線上和線下的月利潤(rùn)總和為w元，則可得w=400(x—2—10)+y(x-10)=—

100(X-19)2+7300.

.?.當(dāng)線下售價(jià)定為19元/件時(shí)，月利潤(rùn)總和達(dá)到最大，此時(shí)最大利潤(rùn)為7300元.

2.(2019?遼陽(yáng))我市某化工材料經(jīng)銷(xiāo)商購(gòu)進(jìn)一種化工材料若干千克，成本為每千克30元，

物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于成本價(jià)的2倍，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，日銷(xiāo)售量

y(千克)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

140

100

3050久/元

(2)若在銷(xiāo)售過(guò)程中每天還要支付其他費(fèi)用450元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少時(shí)，該公司日獲利

最大？最大獲利是多少元？

解：(1)設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(kWO).由圖象可得，當(dāng)x=30時(shí)，y=140;x=50

時(shí)，y=100

140=30k+b,fk=-2,

：.\,解得

[100=50k+b.1b=200.

與x之間的關(guān)系式為y=-2x+200(30^x^60).

⑵設(shè)該公司日獲利為W元，由題意得

W=(x—30)(-2x+200)-450=-2(x-65)2+2000.

Va=-2<0,二拋物線開(kāi)口向下.

,對(duì)稱(chēng)軸x=65,

，當(dāng)x<65時(shí)，W隨著x的增大而增大.

?.,30<x<60,...x=60時(shí)，W有最大值，

W*大值=-2X(60-65)2+2000=1950.

答：銷(xiāo)售單價(jià)為每千克60元時(shí)日獲利最大，最大獲利為1950元.

3.(2019?包頭)某出租公司有若干輛同一型號(hào)的貨車(chē)對(duì)外出租，每輛貨車(chē)的日租金實(shí)行淡

季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每輛貨車(chē)的日租金比淡季上漲;.據(jù)統(tǒng)計(jì)，淡季該公司平均每

天有10輛貨車(chē)未出租，日租金總收入為1500元；旺季所有的貨車(chē)每天能全部租出，日

租金總收入為4000元.

(1)該出租公司這批對(duì)外出租的貨車(chē)共有多少輛？淡季每輛貨車(chē)的日租金是多少元？

(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在旺季如果每輛貨車(chē)的日租金每上漲20元，每天租出去的貨車(chē)就會(huì)

減少1輛，不考慮其他因素，每輛貨車(chē)的日租金上漲多少元時(shí)，該出租公司的日租金總

收入最高？

解：(1)設(shè)貨車(chē)出租公司對(duì)外出租的貨車(chē)共有x輛.

如報(bào)班工，.人工。

根據(jù)題意，得1笆5600（1+3尸4000

解得x=20.經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是所列方程的根.

:.1500+（20-10）=150（元）.

答：貨車(chē)出租公司對(duì)外出租的貨車(chē)共有20輛，淡季每輛貨車(chē)的日租金是150元.

（2）設(shè)當(dāng)旺季每輛貨車(chē)的日租金上漲a元時(shí)，貨車(chē)出租公司的日租金總收入為W元.根據(jù)

題意，得

W=a+150X（1+3卜（20一知

.,.W=-^7a2+10a+4000=-^7（a-100）2+4500.

/U/U

V-^<0,，當(dāng)a=100時(shí)，W有最大值.

答：當(dāng)旺季每輛貨車(chē)的日租金上漲100元時(shí)，貨車(chē)出租公司的日租金總收入最高.

4.（2019?舟山）某農(nóng)作物的生長(zhǎng)率p與溫度t（C）有如下關(guān)系：p

如圖，當(dāng)100W25時(shí)可近似用函數(shù)p=*t—/刻畫(huà)；當(dāng)二二彳、

25Wt/37時(shí)可近似用函數(shù)p=L/i\.

（）102537，（七）

一看（t—h）2+0.4刻畫(huà).

（1）求h的值.

（2）按照經(jīng)驗(yàn)，該作物提前上市的天數(shù)m（天）與生長(zhǎng)率p之間滿足已學(xué)過(guò)的函數(shù)關(guān)系，部

分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

生長(zhǎng)率P0.20.250.30.35

提前上市的天數(shù)m（天）051015

求：①m關(guān)于p的函數(shù)表達(dá)式;

②用含t的代數(shù)式表示m；

③天氣寒冷，大棚加溫可改變農(nóng)作物生長(zhǎng)速度.大棚恒溫20°C時(shí)每天的成本為100元,

計(jì)劃該作物30天后上市.現(xiàn)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每提前一天上市售出(一次售完)，銷(xiāo)售額可

增加600元.因此決定給大棚繼續(xù)加溫，但加溫導(dǎo)致成本增加，估測(cè)加溫到20WtW25

時(shí)的成本為200元/天，但若欲加溫到25<tW37,由于要采用特殊方法，成本增加到400

元/天.問(wèn)加溫到多少度時(shí)增加的利潤(rùn)最大，并說(shuō)明理由.(注：農(nóng)作物上市售出后大棚暫

停使用)

解：(1)把(25,0.3)代入p=一肅(t-hy+O.%得0.3=一擊(25-h)2+0.4.

解得h=29或h=21,T25WhW37,Ah=29.

(2)①由表格可知m是p的一次函數(shù)，設(shè)皿=1^)+1),把(0.2,0),(0.3,10)代入，得

f0=0.2Xk+b,fk=100,

i,解得<

ll0=0.3Xk+b.[b=-20.

Am=100p—20.

②由(1)得：當(dāng)10近tW25時(shí)，把p代入m得

-20=2t-40：

當(dāng)25WtW37時(shí),p=一擊(t—h)2+0.4,

(t-h)2+0.4-20=-1(t-29)2+20.

o

2t-40,104W25

.?.m=j5

近

-8(t-29)2+20,25tW37

③設(shè)利澗為y元，貝U當(dāng)20Wt<25時(shí)，y=600m+[100X30-200(30-m)]=800m-3000

=1600t-35000.

當(dāng)20Wt<25時(shí)，y隨t的增大而增大，當(dāng)t=25時(shí)，最大值y=l600X25—35000=5000.

當(dāng)25<tW37時(shí)，y=600m+[100X30-400(30-m)]=1000m-9000=-625(t-29)2+11

000.

Va=-625<0,

:.當(dāng)t=29時(shí)，最大值y=11000.

VII000>5000,

當(dāng)加溫到29℃時(shí)，利潤(rùn)最大.

5.（2019?荊門(mén)）為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”精神，市農(nóng)科院專(zhuān)家指導(dǎo)李大爺利用坡前空地種植優(yōu)

質(zhì)草莓.根據(jù)場(chǎng)調(diào)查，在草莓上市銷(xiāo)售的30天中，其銷(xiāo)售價(jià)格m（元/公斤）與第x天之間

f3x+15（1WXW15）,

滿足m=_一"、（x為正整數(shù)），銷(xiāo)售量n（公斤）與第x天之間的函數(shù)關(guān)系

[-x+75（15<xW30）.

如圖所示：

如果李大爺?shù)牟葺谏鲜袖N(xiāo)售期間每天的維護(hù)費(fèi)用為80元.

（1）求銷(xiāo)售量n與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求在草莓上市銷(xiāo)售的30天中，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；（日銷(xiāo)

售利潤(rùn)=日銷(xiāo)售額一日維護(hù)費(fèi)）

（3）求日銷(xiāo)售利潤(rùn)y的最大值及相應(yīng)的x.

12=k+b,k=2,

解：（1）當(dāng)IWXWIO時(shí)，設(shè)n=kx+b,由圖知可知V,解得<

30=10k+b.b=10.

.'.n=2x+10.

同理，當(dāng)10<xW30時(shí)，n=-1.4x4-44.

2x+10(IWXWIO),

l-1.4x+44(10vxW30).

(2)Vy=mn—80,

，y=

(2x+10)(3x4-15)-80(l〈x《10),

(-1.4x4-44)(3x4-15)-80(10<x<15),

(-1.4x4-44)(-x+75)-80(15WxW30).

即

(6X2+60X+70(IWXWIO),

y=<-4.2x2+lllx+580(10<x<15),

11.4x2-149x+3220(15Wx<30).

(3)當(dāng)l《x〈10時(shí)，

*/y=6x2+60x+70的對(duì)稱(chēng)軸為x=-5.

Z.y的最大值是yio=l270.

當(dāng)10<x<15時(shí)，

,.,y=-4.2x2+lllx+580的對(duì)稱(chēng)軸是

x=^^=13.2vl3.5,

0.4

Ay的最大值是yu=l313.2.

149

當(dāng)15Wx/30時(shí)，Vy=1.4x2-149x+3220的對(duì)稱(chēng)軸為x=jQ>30.

Ay的最大值是yis=l300.

綜上，草莓銷(xiāo)售第13天時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)y最大，最大值是1313.2元.

類(lèi)型自方程與不等式應(yīng)用題

1.(2020?常州)某水果店銷(xiāo)售蘋(píng)果和梨，購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果和3千克梨共需26元，購(gòu)買(mǎi)2

千克蘋(píng)果和1千克梨共需22元.

⑴求每千克蘋(píng)果和每千克梨的售價(jià)；

⑵如果購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果和梨共15千克，且總價(jià)不超過(guò)100元，那么最多購(gòu)買(mǎi)多少千克蘋(píng)果？

|x+3y=26,

解：(1)設(shè)每千克蘋(píng)果的售價(jià)為x元，每千克梨的售價(jià)為y元.依題意，得：］,

,2x+y=22.

x=8,

解得：，

ly=6.

答：每千克蘋(píng)果的售價(jià)為8元，每千克梨的售價(jià)為6元.

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)m千克蘋(píng)果，則購(gòu)買(mǎi)(15—m)千克梨.

依題意，得：8m+6(15-m)^100.

解得：mW5.

答：最多購(gòu)買(mǎi)5千克蘋(píng)果.

2.(2019?福建)某工廠為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，投資組建了日

廢水處理量為m噸的廢水處理車(chē)間，對(duì)該廠工業(yè)廢水進(jìn)行無(wú)害化處理.但隨著工廠生產(chǎn)

規(guī)模的擴(kuò)大，該車(chē)間經(jīng)常無(wú)法完成當(dāng)天工業(yè)廢水的處理任務(wù)，需要將超出日廢水處理量

的廢水交給第三方企業(yè)處理.已知該車(chē)間處理廢水，每天需固定成本30元，并且每處理

一噸廢水還需其他費(fèi)用8元；將廢水交給第三方企業(yè)處理，每噸需支付12元.根據(jù)記錄，

5月21日，該廠產(chǎn)生工業(yè)廢水35噸，共花費(fèi)廢水處理費(fèi)370元.

⑴求該車(chē)間的日廢水處理量m；

(2)為實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，走綠色發(fā)展之路，工廠合理控制了生產(chǎn)規(guī)模，使得每天廢水處理

的平均費(fèi)用不超過(guò)10元/噸，試計(jì)算該廠一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍.

解：（l）：35X8+30=310（元），310070,

，m<35.依題意，得30+8m+12(35-m)=370,解得m=20.

答：該車(chē)間的日廢水處理量為20噸.

⑵設(shè)一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量為x噸.

①當(dāng)0<x<20時(shí)，依題意，得8x+30W10x,解得x215,所以15WxW20;

②當(dāng)x>20時(shí)，依題意，得12(x-20)+8X20+30W10x.解得xW25,所以20Vx近25.

綜上所述，15WxW25.

故該廠一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍在15噸到25噸之間.

3.(2019?柳州)小張去文具店購(gòu)買(mǎi)作業(yè)本，作業(yè)本有大、小兩種規(guī)格，大本作業(yè)本的單價(jià)

比小本作業(yè)本貴0.3元，已知用8元購(gòu)買(mǎi)大本作業(yè)本的數(shù)量與用5元購(gòu)買(mǎi)小本作業(yè)本的數(shù)

量相同.

(1)求大本作業(yè)本與小本作業(yè)本每本各多少元；

(2)因作業(yè)需要，小張要再購(gòu)買(mǎi)一些作業(yè)本，購(gòu)買(mǎi)小本作業(yè)本的數(shù)量是大本作業(yè)本數(shù)量的

2倍，總費(fèi)用不超過(guò)15元.則大本作業(yè)本最多能購(gòu)買(mǎi)多少本？

解：(1)設(shè)小本作業(yè)本每本x元，則大本作業(yè)本每本(x+0.3)元.

QS

依題意，得：.解得x=0.5.

x+0.3x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.5是所列方程的解，且符合題意，

x+0.3=0.8.

答：大本作業(yè)本每本0.8元，小本作業(yè)本每本0.5元.

(2)設(shè)大本作業(yè)本購(gòu)買(mǎi)m本，則小本作業(yè)本購(gòu)買(mǎi)2m本.

依題意，得：0.8m+0.5X2m《15.解得mW磐.

；m為正整數(shù)，m的最大值為8.

答：大本作業(yè)本最多能購(gòu)買(mǎi)8本.

4.（2019?玉林）某養(yǎng)殖場(chǎng)為了響應(yīng)黨中央的扶貧政策的號(hào)召，今年起采用“場(chǎng)內(nèi)+農(nóng)戶”

養(yǎng)殖模式，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)蛋雞的科學(xué)管理，蛋雞的產(chǎn)蛋率不斷提高，三月份和五月份的產(chǎn)

蛋量分別是2.5萬(wàn)kg與3.6萬(wàn)kg,現(xiàn)假定該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月增長(zhǎng)率相同.

（1）求該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長(zhǎng)率；

（2）假定當(dāng)月產(chǎn)的雞蛋當(dāng)月在各銷(xiāo)售點(diǎn)全部銷(xiāo)售出去，且每個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)每月平均銷(xiāo)售量最多

為0.32萬(wàn)kg.如果要完成六月份的雞蛋銷(xiāo)售任務(wù)，那么該養(yǎng)殖場(chǎng)在五月份已有的銷(xiāo)售點(diǎn)

的基礎(chǔ)上至少再增加多少個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)？

解：（1）設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長(zhǎng)率為X.

根據(jù)題意，得2.5（1+x）2=3.6,

解得xi=0.2,X2=—2.2（舍去）.

答：該養(yǎng)殖場(chǎng)蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長(zhǎng)率為20%.

9

（2）設(shè)至少再增加y個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)，根據(jù)題意，得3.6+0.32y，3.6X（l+20%）.解得

?；y取整數(shù)，最小取3.

答：至少再增加3個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn).

類(lèi)型畫(huà)方程與函數(shù)應(yīng)用題

1.（2019?雅安）某超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，兩種商品的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：

商品甲乙

進(jìn)價(jià)（元/件）x+60X

售價(jià)（元/件）200100

若用360元購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)與用180元購(gòu)進(jìn)乙種商品的件數(shù)相同.

⑴求甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)是多少元；

(2)若超市銷(xiāo)售甲、乙兩種商品共50件，其中銷(xiāo)售甲種商品為a件(a，30),設(shè)銷(xiāo)售完50

件甲、乙兩種商品的總利潤(rùn)為w元，求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出w的最小值.

解：(1)依題意可得方程：黑^=攀.

解得x=60.

經(jīng)檢驗(yàn)x=60是所列方程的根，.?.x+60=120.

答：甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別是120元，60元.

(2),.,銷(xiāo)售甲種商品為a件(a230),

...銷(xiāo)售乙種商品為(50—a)件.

根據(jù)題意，得：w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000(a^30),

V40>0,w的值隨a值的增大而增大.

:.當(dāng)a=30時(shí)，w或小值=40X30+2000=3200(元).

2.為了抗擊新冠病毒疫情，全國(guó)人民眾志成城，守望相助，春節(jié)后某地一水果購(gòu)銷(xiāo)商安

排15輛汽車(chē)裝運(yùn)A,B,C三種水果共120噸銷(xiāo)售，所得利潤(rùn)全部捐贈(zèng)湖北抗疫.已知

按計(jì)劃15輛汽車(chē)都要裝滿且每輛汽車(chē)只能裝同一種水果，每種水果所用車(chē)輛均不少于3

輛，汽車(chē)對(duì)不同水果的運(yùn)載量和每噸水果銷(xiāo)售獲利情況如表.

水果品種ABC

汽車(chē)運(yùn)載量(噸/輛)1086

水果獲利(元/噸)80012001000

(1)設(shè)裝運(yùn)A種水果的車(chē)輛數(shù)為x輛，裝運(yùn)B種水果的車(chē)輛數(shù)為y輛，根據(jù)上表提供的信

息，

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②設(shè)計(jì)車(chē)輛的安排方案，并寫(xiě)出每種安排方案；

⑵若原有獲利不變的情況下，當(dāng)?shù)卣疵繃?0元的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)行運(yùn)費(fèi)補(bǔ)貼，該經(jīng)銷(xiāo)商打算

將獲利連同補(bǔ)貼全部捐出.問(wèn)應(yīng)采用哪種車(chē)輛安排方案，可以使這次捐款次數(shù)w(元)最大

化？捐款w(元)最大是多少？

解：(1)①由題意得裝C種水果的車(chē)輛是(15—x—y)輛

貝I10x+8y+6(15-x-y)=120

即10x+8y+90-6x-6y=120

則y=15—2x

f15-2x5=3

②根據(jù)題意得：

115-x-(15-2x)23

解得：3WxW6

?:x為正整數(shù)

.?.x=3,4,5,6

則有四種方案：A,B,C三種水果的車(chē)輛數(shù)分別是：3輛、9輛、3輛；或4輛、7輛、

4輛；或5輛、5輛、5輛；或6輛、3輛、6輛

(2)w=10X800x4-8X1200(15-2x)+6X1000[15-x-(15—2x)]+120X50=-5

200x+150000

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，

Vk=-5200<0,w隨x的增大而減小，

...當(dāng)x=3時(shí)，w有最大值，最大值為一5200X3+150000=134400(元)

應(yīng)采用A,B,C三種水果的車(chē)輛數(shù)分別是：3輛、9輛、3輛.

3.(2019?綿陽(yáng))辰星旅游度假村有甲種風(fēng)格客房15間，乙種風(fēng)格客房20間.按現(xiàn)有定價(jià):

若全部入住，一天營(yíng)業(yè)額為8500元；若甲、乙兩種風(fēng)格客房均有10間入住，一天營(yíng)業(yè)

額為5000元.

(1)求甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是多少元；

(2)度假村以乙種風(fēng)格客房為例，市場(chǎng)情況調(diào)研發(fā)現(xiàn)：若每個(gè)房間每天按現(xiàn)有定價(jià)，房間

會(huì)全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加20元時(shí)，就會(huì)有兩個(gè)房間空閑.如果游客居

住房間，度假村需對(duì)每個(gè)房間每天支出80元的各種費(fèi)用.當(dāng)每間房間定價(jià)為多少元時(shí),

乙種風(fēng)格客房每天的利潤(rùn)m最大，最大利潤(rùn)是多少元？

解：(1)設(shè)甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是x元、y元.

15x+20y=8500,

根據(jù)題意，得,

10x+10y=5000.

x=300,

解得

y=200.

答：甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是300元、200元.

(2)設(shè)每間房間定價(jià)為a元.根據(jù)題意，得

a-200

m=(a-80)(20—-X2)

=—需(a-240)2+2560.

,當(dāng)a=240時(shí)，m取得最大值，此時(shí)m=2560.

答：當(dāng)每間房間定價(jià)為240元時(shí)，乙種風(fēng)格客房每天的利潤(rùn)m最大，最大利澗是2560

元.

4.(2019?濰坊)扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了

市場(chǎng).與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克，每千克的平均批發(fā)價(jià)比去年

降低了1元，批發(fā)銷(xiāo)售總額比去年增加了20%.

(1)已知去年這種水果批發(fā)銷(xiāo)售總額為10萬(wàn)元，求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是多

少元；

(2)某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專(zhuān)營(yíng)這種水果.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為41

元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)每降低3元，每天可多賣(mài)出180千

克.設(shè)水果店一天的利潤(rùn)為w元，當(dāng)每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，該水果店一天的

利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)計(jì)算時(shí)，其他費(fèi)用忽略不計(jì).)

解：(1)設(shè)今年這種水果每千克的平均批發(fā)價(jià)是x元，由題意，得

100000(1+20%)100000

??----x-----^+r=1。。。，

解得x=24或x=-5(舍去).

答：今年這種水果每千克的平均批發(fā)價(jià)是24元.

(2)設(shè)每千克的平均售價(jià)為m元.依題意，得

(41—m,、,,

w=(m-24)1---X180+3001=-60(m-35)2+7260.

V-60<0,

/.當(dāng)m=35元時(shí)，w取最大值為7260.

答：每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為35元時(shí)，一天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是7260元.

類(lèi)型園方程、不等式與函數(shù)應(yīng)用題

1.(2019?內(nèi)江)某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A,B兩種商品，A種商品每件的進(jìn)價(jià)比B種商品每件的

進(jìn)價(jià)多20元，用3000元購(gòu)進(jìn)A種商品和用1800元購(gòu)進(jìn)B種商品的數(shù)量相同.商店將

A種商品每件的售價(jià)定為80元，B種商品每件的售價(jià)定為45元.

(1)A種商品每件的進(jìn)價(jià)和B種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？

⑵商店計(jì)劃用不超過(guò)1560元的資金購(gòu)進(jìn)A,B兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)量

不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進(jìn)貨方案？

(3)端午節(jié)期間，商店開(kāi)展優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，決定對(duì)每件A種商品售價(jià)優(yōu)惠m(10<m<20)元,

B種商品售價(jià)不變，在⑵條件下，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案.

解：(1)設(shè)A種商品每件的進(jìn)價(jià)是x元，則B種商品每件的進(jìn)價(jià)是(x—20)元.

七%省了30001800主尸

由四忌，彳于一斛彳等x—50.

xX—20

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是所列方程的解，且符合題意，

50-20=30.

答：A種商品每件的進(jìn)價(jià)是50元，B種商品每件的進(jìn)價(jià)是30元.

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種商品a件，則購(gòu)買(mǎi)B種商品(40—a)件.

50a+30(40-a)/1560,

由題意得,40—a

a2-2"

40

解得手WaW18.

Ta為正整數(shù)，.\a=14,15,16,17,18.

答：商店共有5種進(jìn)貨方案.

⑶設(shè)銷(xiāo)售A,B兩種商品共獲利w元.

由題意得：w=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600.

①當(dāng)10cme15時(shí)，15—m>0,w隨a的增大而增大，

.?.當(dāng)a=18時(shí)，獲利最大，即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)18件A商品，22件B商品；

②當(dāng)m=15時(shí)，15-m=0,w=600,(2)中所有進(jìn)貨方案獲利相同；

③當(dāng)15Vm<20時(shí)，15-m<0,w隨a的增大而減小，

.?.當(dāng)a=14時(shí)，獲利最大，即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)14件A商品，26件B商品.

2.（2019?荊州）為拓展學(xué)生視野，促進(jìn)書(shū)本知識(shí)與生活實(shí)踐的深度融合，荊州市某中學(xué)組織

八年級(jí)全體學(xué)生前往松滋潴水研學(xué)基地開(kāi)展研學(xué)活動(dòng).在此次活動(dòng)中，若每位老師帶隊(duì)

14名學(xué)生，則還剩10名學(xué)生沒(méi)老師帶；若每位老師帶隊(duì)15名學(xué)生，就有一位老師少帶

6名學(xué)生，現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示：

甲型客車(chē)乙型客車(chē)

載客量（人/輛）3530

租金（元/輛）400320

學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過(guò)3000元，為安全起見(jiàn)，每輛客車(chē)上至少要有

2名老師.

（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？

（2）既要保證所有師生都有車(chē)坐，又要保證每輛車(chē)上至少要有2名老師，可知租車(chē)總輛數(shù)

為8輛:

（3）學(xué)校共有幾種租車(chē)方案？最少租車(chē)費(fèi)用是多少？

解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的老師有x人，學(xué)生有y人.

14x+10=y,x=16,

依題意，得<解得

、“0=234.

答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的老師有16人，學(xué)生有234人.

（2）:（234+16）+35=7（輛）...5（人），

16+2=8（輛），

工租車(chē)總輛數(shù)為8輛;

⑶設(shè)租甲型客車(chē)m