湖南省岳陽市達標名校2025屆高二上數(shù)學期末綜合測試試題含解析

湖南省岳陽市達標名校2025屆高二上數(shù)學期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時2．甲、乙兩名同學8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞3．設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.4．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進球數(shù)的極差比乙隊小5．設數(shù)列的前項和為，若，，，則、、、中，最大的是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若是等腰三角形，且，則的周長為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，過點E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.49．已知，，，，則（）A. B.C. D.10．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.11．已知向量，，則（）A. B.C. D.12．設.若，則＝（）A. B.C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對某市“四城同創(chuàng)”活動中100名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在的人數(shù)為________14．命題“若，則”的否命題為______15．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______16．設實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.19．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊的垂直平分線所在的直線的方程；（2）若面積為5，求點的坐標20．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于兩點.求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實數(shù)、的值；（2）設，若不等式，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結合函數(shù)的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實際應用，屬于基礎題.2、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.3、D【解析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別，此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況，本題屬于基礎題.4、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5，甲、乙進球中位數(shù)相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C5、C【解析】求出的表達式，解不等式可得結果.【詳解】由已知可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，令可得.因此，當時，最大.故選：C.6、A【解析】設，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得設，．則，，所以，因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長故選：A【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關鍵.7、A【解析】根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結合余弦型函數(shù)的性質(zhì)、極值的定義進行求解即可.【詳解】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A8、B【解析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，則有△與△相似，相似比為，則，點E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B9、D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】因為，故，故，又，在上的增函數(shù)，故，故，故選：D.10、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.11、D【解析】按空間向量的坐標運算法則運算即可.【詳解】.故選：D.12、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先根據(jù)頻率分布直方圖計算出年齡在的頻率，從而可計算出年齡在的人數(shù).【詳解】年齡在的頻率為，所以年齡在的人數(shù)為.故答案為：.14、若，則【解析】否命題是對命題的條件和結論同時否定，同時否定和即可.命題“若，則”的否命題為:若，則考點：四種命題.15、9【解析】過A、、作準線的垂線且分別交準線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進而可求出的結果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標為，如圖，過點A作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.16、5【解析】畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標函數(shù)如圖所示：根據(jù)平移知，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，有最小值為5.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解析】(1)根據(jù)題意和橢圓的定義可知點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，，進而得出橢圓標準方程；(2)設，聯(lián)立動直線方程和橢圓方程并消元得出關于的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可得點P和Q的坐標，結合，利用平面向量的坐標表示列出方程組，即可解出點M的坐標.【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設，則，，故，，由可得：由對，恒成立∴故存在使得以為直徑的圓恒過定點18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標，繼而得出直線的方程，令可得的坐標，即可求出直線的斜率并得出定值.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，由，得，所以，從而，，直線的斜率為，故直線的方程為.令，得，直線斜率.所以直線的斜率為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.19、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程（2）根據(jù)面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點的坐標為，又設邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設邊上的高為即點到直線的距離為且解得解得或，點的坐標為或20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值521、（1）（2）【解析】（1）設橢圓的左，右焦點分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當直線的斜率存在時，設，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式得到弦長的表達式，再通過換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問1詳解】依題意，設橢圓的左，右焦點分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設，，，，由得由得由，得設，則，當直線的斜率不