224均值不等式及其應用（2知識點5題型鞏固訓練）（原卷版）

2.2.4均值不等式及其應用課程標準學習目標1、學會推導并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應用定理求最值.1、通過對均值不等式不同形式應用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當且僅當這兩個數(shù)相等。知識點01均值不等式（1）算術平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個正數(shù)的算術平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當且僅當”的含義：當a＝b且僅當a＝b時，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學校考階段練習）下列命題中正確的是（）A．當時，B．若，則的最小值是C．當時，D．的最小值是知識點02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數(shù)．(1)如果積xy是定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．可簡記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習）設正實數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2易錯：利用基本不等式求最值示例若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5【題型1：對均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學家處理數(shù)學問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）A．當時，B．當時，的最小值是C．當時，D．當時，的最小值為1變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學?？茧A段練習）（多選）下列推導過程，其中正確的是（）A．因為為正實數(shù)，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當且僅當時，等號成立變式3.（2024·全國·高一專題練習）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．變式4.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【方法技巧與總結(jié)】基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一?？计谥校┮阎?，，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8變式1.（2024·海南·高一?？计谥校┮阎鷶?shù)式的最大值為（）A．B．C．2D．變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學?？茧A段練習）若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知，則的最小值為.變式4．（2024·吉林·高三?？茧A段練習）設，則函數(shù)的最小值是.變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習）設，則函數(shù)，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學校考開學考試）已知，若，則的最小值為.變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學?？茧A段練習）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考階段練習）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學校考階段練習）若，，則的最小值為．【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬不要忽視等號成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知均為正數(shù)，且，求證：.變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數(shù)，，，求證：，當且僅當時等號成立．變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設，為正數(shù)，證明下列不等式：(1)；(2)．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？茧A段練習）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習）（1）設均為正數(shù)，且，證明：若，則：（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.變式5．（2024·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設均為正數(shù)，且，證明：．變式6.（2024·湖南長沙·高一?？计谀┮阎?，都是正數(shù).（1）若，證明：；（2）當時，證明：.【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時要注意對所給代數(shù)式通過添項配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應用．【題型4：均值不等式的恒成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一?？奸_學考試）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為．變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9變式6．（2024·吉林四平·高一?？茧A段練習）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.變式7．（2024·安徽阜陽·高二?？计谥校﹥蓚€正實數(shù)，滿足，若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現(xiàn)要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）A．B．C．D．變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學?？奸_學考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要小時.變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低.設住第層樓時，環(huán)境不滿意程度為.則此人應選第樓，會有一個最佳滿意度.變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設草坪，造價為每平方米80元．

(1)設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數(shù)關系式；(2)問：當x為何值時S最小，并求出這個S最小值.變式4．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習）中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產(chǎn)的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入生產(chǎn)成本促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)理解題意，設變量，設變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）若，使得成立是真命題，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．4 D．2．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．65．（2526高一上·上?！ふn后作業(yè)）若兩個正實數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2425高三上·廣東·開學考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．388．（2024·福建寧德·模擬預測）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4二、多選題10．（2425高三上·河南·開學考試）已知a，b為正實數(shù)，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為211．（2425高三上·湖南常德·階段練習）已知且，則下列不等式恒成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為212．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．13．（2425高三上·福建龍巖·開學考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值三、填空題14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，當時，取得最小值，則；．15．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買臺設備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備臺．16．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．18．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運轉(zhuǎn)時間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關系：，現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運行的時間t為年．19．（2425高三上·福建莆田·開學考試）若實數(shù)滿足，則的最大值為.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習）運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制（單位:千米/時），假設汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時18元.(1)求這次行車總費用關于的表達式;(2)當為何值時，這次行車的總費用最低?最低費用是幾元?21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．22．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，求的最大值．23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）（1）若，求的最大值；（2）求在時的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．24．（2024高三·全國·專題練習）已知，求函數(shù)的最大值．25．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知命題p：，；命題q：，(1)若p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若p與q有且只有一個為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.26．（2024高