第14講二次函數(shù)的應(yīng)用（講義）

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)題型01最大利潤/銷量問題題型02方案選擇問題題型03拱橋問題題型04隧道問題題型05空中跳躍軌跡問題題型06球類飛行軌跡題型07噴泉問題題型08圖形問題題型09圖形運(yùn)動問題題型10二次函數(shù)綜合問題類型一線段、周長問題類型二面積周長問題類型三角度問題類型四特殊三角形問題類型五特殊四邊形問題考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測二次函數(shù)的應(yīng)用能用二次函數(shù)解決實(shí)際問題二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見，其中，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型;而利用二次函數(shù)圖象解決實(shí)際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計(jì)算數(shù)據(jù)較大，還需根據(jù)實(shí)際情況判斷所求結(jié)果是否有合適，需要考生在做題過程中更為細(xì)心對待。用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。利用二次函數(shù)解決動點(diǎn)問題的方法：首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．題型01最大利潤/銷量問題【例1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某商店以一定的價格購進(jìn)甲、乙兩種商品若干千克，銷售統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲商品從開始銷售至銷售的第x天總銷量y1（千克）與x的關(guān)系如圖1所示，且y1是x的二次函數(shù)．乙商品從開始銷售至銷售第x天的總銷量y2kg，y2=ωx(1)分別求出y1，y2與(2)甲、乙兩種商品購進(jìn)量相差多少；(3)分別求出甲、乙兩種商品哪天銷量最大，并求出最大銷售量是多少．【答案】(1)y1=-x(2)甲、乙兩種商品購進(jìn)量相差75(3)甲乙均在第1天銷量最大，分別是29kg、75【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)y1=ax2+bx，結(jié)合圖象上的點(diǎn)代入計(jì)算可以得解；又ω是關(guān)于x的一次函數(shù)，過0，60（2）依據(jù)題意，分別依據(jù)頂點(diǎn)式求出兩種商品的最大值，然后作差可以得解；（3）依據(jù)題意，設(shè)第t天，甲、乙商品銷量最大，表示出來后，求出最大值即可得解．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)y1∴4a∴y1又ω是關(guān)于x的一次函數(shù)，過0，60，設(shè)ω=∴0=20k解得k=-3∴ω=-3∴y2（2）解：由題意得，y1∵-1<0∴當(dāng)x=15時，甲商品的最大值為225又y2∵-3<0∴當(dāng)x=10時，乙商品的最大值為300∴y乙-y即甲、乙兩種商品購進(jìn)量相差75kg（3）解：第t天，乙商品銷量：-=3=-6t∴當(dāng)t=1時，ω此時甲商品銷量：-==-2t∴當(dāng)t=1時，ω答：甲乙均在第1天銷量最大，分別是29kg、75【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．【變式11】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）深圳某公司生產(chǎn)A、B兩種玩具，每個B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)B種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個，請解答下列問題：(1)A、B兩種玩具每個的成本分別是多少元？(2)某大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上銷售B玩具，物價部門規(guī)定每個售價不低于進(jìn)貨價且每個的利潤不允許高于進(jìn)貨價的50%．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是8元時，每天的銷售量為120件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少20【答案】(1)A、B兩種玩具每個的成本分別是4元和6元(2)當(dāng)銷售單價為9元時利潤最大為300元【分析】（1）設(shè)A玩具每個的成本為x元，B玩具每個的成本為1.5x元，根據(jù)“公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)B種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個”（2）設(shè)銷售單價為a元，則銷售量為：120-20a-8【詳解】（1）解：設(shè)A玩具每個的成本為x元，B玩具每個的成本為1.5x根據(jù)題意得：1600解得：x經(jīng)檢驗(yàn)x=4∴答：A、B兩種玩具每個的成本分別是4元和6元．（2）解：設(shè)銷售單價為a元，則銷售量為：120-20a-8件；由題可知∴根據(jù)題意得：w∵???-20<0∴????當(dāng)銷售單價為9元時利潤最大為300【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023·安徽六安·?？级＃┠硰S家生產(chǎn)一種兒童電動玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售價y（元/個）和銷量t（個）的數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234售價y/（元/個）30323436銷量t/個100120140160從第5天開始工廠對外調(diào)整價格為28元一個，據(jù)統(tǒng)計(jì)第5天以后兒童電動玩具銷量t（個）和第x天的關(guān)系為t=-x2+50x(1)直接寫出銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少？(2)若成本價為20元，求該工廠這些天（按20天計(jì)）出售兒童電動玩具得到的利潤W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出第幾天的利潤最大及其最大值．【答案】(1)銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為t=20x+80（1≤x≤4(2)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為W=40(x+4)【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出銷量t與第x天滿足的關(guān)系式，并根據(jù)第5天以后兒童電動玩具銷量t（套）和第x天的關(guān)系式，由函數(shù)性質(zhì)求出最值；（2）根據(jù)單件利潤×銷售量＝總利潤分段列出函數(shù)解析式，即可由函數(shù)性質(zhì)得到答案．【詳解】（1）解：由表格可知，前4天銷量t與第x天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)t＝kx+k+解得k=20∴銷量t與第x天滿足的關(guān)系式為t=20∵第5天以后兒童電動玩具銷量t（個）和第x天的關(guān)系為t=-∵-1<0∴當(dāng)x<25時，t隨x∵5≤x∴當(dāng)x=20時，t有最大值，最大值為-∴銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為t=20x+80（1≤x≤4（2）解：設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=把(1,30),(2,32)代入得：m+解得m=2∴y與x的函數(shù)解析式為y=2①當(dāng)1≤x≤4時，當(dāng)x=4時，W有最大值，最大值為40×②當(dāng)5≤x≤20時，∵-8<0,5≤∴當(dāng)x=20時，W有最大值，最大值為-∴第20天時W的最大值為4000元．∴W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為W=40(x+4)【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系求分段函數(shù)的解析式．題型02方案選擇問題【例2】（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價為每件20元，設(shè)第x天（0<x≤15）每件產(chǎn)品的成本價是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7，任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人小王第x天生產(chǎn)產(chǎn)品P（件）與x(1)直接寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少？(3)最后，統(tǒng)計(jì)還發(fā)現(xiàn)，平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為288元，于是，工廠制定如下獎勵方案：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎金，請計(jì)算，在生產(chǎn)該批紀(jì)念過程中，小王能獲得多少元的獎金？【答案】(1)P(2)W=-x2+16(3)180元【分析】（1）結(jié)合圖象，分段計(jì)算，當(dāng)10≤x≤15時，P=40（2）根據(jù)題意有：W=P×20-y，結(jié)合（1）的結(jié)果和y=0.5x（3）根據(jù)題意可知：當(dāng)W>288時，即可獲得獎勵，當(dāng)0<x≤10時，令W=288，即有-x2+16x+260=288，解得x=2或者x=14，可得當(dāng)2<【詳解】（1）解：結(jié)合圖象，分段計(jì)算，當(dāng)10≤x≤15時，當(dāng)0<x≤10時，設(shè)P與x之間的函數(shù)關(guān)系為：∵10,40，0,20，∴b=2010k即此時P=2綜上：P=（2）根據(jù)題意有：W=∵P=2x∴W=整理得：W=當(dāng)0<x≤10時，即當(dāng)x=8時，W有最大值，最大值為W當(dāng)10≤x≤15時，即W隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x=10時，W有最大值，最大值為W∵320<324，∴當(dāng)x=8時，W有最大值，最大值為W∴小王第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元；（3）根據(jù)題意可知：當(dāng)W>288當(dāng)0<x≤10時，令W=288解得x=2或者x∵0<x≤10，函數(shù)∴當(dāng)W>288時，有2<即此時可以獲得獎勵為：20×10-2當(dāng)10≤x≤15時，即有：W=-20解得：10≤x即此時可以獲得獎勵為：20×2=40（元），∵第10天重復(fù)計(jì)算，∴總計(jì)獲得的獎勵為：160+40-20=180（元）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式等知識，明確題意，正確得出函數(shù)關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．【變式21】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）某公司在甲、乙兩城生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，受原材料產(chǎn)地，上、下游配套工廠等因素影響，生產(chǎn)成本不同．甲城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+c

(1)求a、b、k的值．(2)若甲、乙兩城一共生產(chǎn)50件產(chǎn)品，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，使得總生產(chǎn)成本最小．(3)從甲城把產(chǎn)品運(yùn)往A、B兩地的運(yùn)費(fèi)（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系式為：y甲A=nx，y甲B=3x；從乙城把產(chǎn)品運(yùn)往A、B兩地的運(yùn)費(fèi)（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系為：y乙A=x，y乙B【答案】(1)a=14，b(2)當(dāng)甲城生產(chǎn)4件，乙城生產(chǎn)46件時，總成本最??；(3)當(dāng)n=2時，總運(yùn)費(fèi)最小值為64萬元；當(dāng)n<2時，總運(yùn)費(fèi)最小值為4n+56萬元；當(dāng)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象過原點(diǎn)得到c=0，將2,3和1,（2）由（1）可得甲、乙的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)生產(chǎn)成本為w，則得到w=（3）設(shè)從甲城運(yùn)往A地區(qū)的產(chǎn)品數(shù)量為m件，甲、乙兩城總運(yùn)費(fèi)為p，則從甲城運(yùn)往B地的產(chǎn)品數(shù)量為4-m件，從乙城運(yùn)往A地的產(chǎn)品數(shù)量為40-m件，從乙城運(yùn)往B地的產(chǎn)品數(shù)量為10-4+m件，根據(jù)題意列出不等式求出m【詳解】（1）∵y=∴c=0將2,3和1,54代入解析式y(tǒng)=②×4-①得：代入①中得a=∴a=將2,6代入y=kx中得∴a=14，b（2）由（1）可得，甲：y=14設(shè)生產(chǎn)成本為w，則得到w=∴當(dāng)x=450-4=46，∴甲城生產(chǎn)4件，乙城生產(chǎn)46件，此時生產(chǎn)成本最??；（3）設(shè)從甲城運(yùn)往A地區(qū)的產(chǎn)品數(shù)量為m件，甲、乙兩城總運(yùn)費(fèi)為p，則從甲城運(yùn)往B地的產(chǎn)品數(shù)量為4-m件，從乙城運(yùn)往A地的產(chǎn)品數(shù)量為40-m件，從乙城運(yùn)往B地的產(chǎn)品數(shù)量為由題意可得：4-m解得：0≤m∴p==mn=mn=n當(dāng)0≤n≤2，0≤m≤4時，∴m=4時，p最小值為4n當(dāng)n>2，0≤m≤4時，p則m=0時，p的值最小，最小值為64∴當(dāng)0≤n≤2時，總運(yùn)費(fèi)為當(dāng)n>2時，總運(yùn)費(fèi)為64【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)在實(shí)際問題當(dāng)中的應(yīng)用，理解清楚題目中的數(shù)量關(guān)系并明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03拱橋問題【例3】（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）賽龍舟是中國端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是一項(xiàng)廣受歡迎的民俗體育運(yùn)動．某地計(jì)劃進(jìn)行一場劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）與到點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.01x-302(1)水面的寬度OA=_______m(2)要設(shè)計(jì)通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m【答案】(1)60(2)4條．【分析】（1）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案；（2）求出當(dāng)y=5時，x的值，即可求出可設(shè)計(jì)賽道的寬度，再根據(jù)每條龍舟賽道寬度為9【詳解】（1）解：令y=0，則-∴x-解得x=0或x∴A60∴OA=60故答案為：60；（2）解：令y=5，得-∴x解得x1=10，∴可設(shè)計(jì)賽道的寬度為50-10=40m∵每條龍舟賽道寬度為9m∴最多可設(shè)計(jì)賽道4條．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對d和h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，______是自變量，______是這個變量的函數(shù)；(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①求該函數(shù)的解析式：②公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米?（2≈1.41【答案】(1)d，h(2)見解析(3)①h=-0.5d2+2d+0.88；②【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可（2）①待定系數(shù)法求解析式即可；②令h=2【詳解】（1）解：由題意知，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)故答案為：d，h；（2）解：描點(diǎn)，連線，作圖如下；（3）①解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=把1，2.38，3，解得：a=-0.5∴二次函數(shù)的解析式為h=-0.5②解：令h=2，得：-解得dd≈0.7或d∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于正確的求二次函數(shù)解析式．【變式32】（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拱形橋的截面由矩形和拋物線組成，矩形長12m，寬4m，以當(dāng)前水面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．其中拱橋的最高點(diǎn)D到水面OB的距離為10m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若一艘貨輪寬為8m，要確保貨輪安全通過拱橋，求其裝完貨物后的最大高度；(3)若要在拱橋拋物線的左右兩側(cè)同樣的高度安裝兩個攝像頭，要求攝像頭到水面的距離不低于6m、不超過8m，請直接寫出兩個攝像頭水平距離的最大值．【答案】(1)y(2)22(3)46【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為6,10可設(shè)拋物線的解析式為y=ax-6（2）求出寬為8m（3）令y=6【詳解】（1）解：∵矩形AOBC的長為12m，寬為4m，點(diǎn)D到OB的距離為10m．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為6,10．設(shè)拋物線的解析式為y=把A0,4代入，得4=解得a=-∴y=-∴該拋物線的解析式為y=-（2）解：122當(dāng)x=2時，y∴要確保貨輪安全通過拱橋，其裝完貨物后的最大高度是223（3）解：由圖像可知，函數(shù)值越小，水平距離越大．當(dāng)y=6時，解得：x∴兩個攝像頭水平距離的最大值為：6+26-6-2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與拱橋問題．將實(shí)際問題與二次函數(shù)問題建立正確的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．題型04隧道問題【例4】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線BEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AD為8m，寬AB為2m．以AD所在直線為x軸，線段AD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為5

(1)求這條拋物線的解析式；(2)如果隧道是雙向通道，現(xiàn)有一輛貨車高3.6m，寬2.4m，這輛貨車能否通過該隧道？請通過計(jì)算進(jìn)行說明．【答案】(1)y(2)這輛貨運(yùn)卡車能通過該隧道，理由見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系中的特殊位置，可以設(shè)拋物線的一般式，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．（2）把x=±2.4代入（1）所求解析式中求出y【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax根據(jù)題意，得A-由c=5解得a=-∴所求的拋物線的解析式為y=-（2）解：這輛貨運(yùn)卡車能通過該隧道，理由如下：當(dāng)x=±2.4時，y∵3.92>3.6，∴這輛貨運(yùn)卡車能通過該隧道．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求拋物線解析式有幾種方法，一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，因題而異，靈活處理．確定拋物線的解析式的關(guān)鍵是會找拋物線上的幾個關(guān)鍵點(diǎn)．【變式41】（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，一個橫截面為拋物線形的公路隧道，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)該隧道設(shè)計(jì)為雙向通行道，如果規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應(yīng)為＿(3)在隧道修建過程中，需要搭建矩形支架AD-DC-CB（由三段組成）對隧道進(jìn)行裝飾，其中C、D在拋物線上，A，B在地面【答案】(1)y=-(2)3；(3)15．【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到拋物線解析式；（2）把x=2代入y=-x-6（3）設(shè)Dx,-16x-62+6，由題意可知，AD=BC=-16x【詳解】（1）解：由題意知：拋物線的頂點(diǎn)P6,6，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y將0,0代入y=ax∴a∴拋物線表達(dá)式為：y=-（2）解：把x=2或x=10代入y=-∵車輛頂部與隧道有不少于13∴限高為103故答案為：3；（3）解：設(shè)Dx∵矩形支架AD-∴DC∥x∴D與C關(guān)于直線x∴DC∴Z∵∴當(dāng)x=3時，Z有最大值15【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式42】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）按要求解答(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2①此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為________．（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高_(dá)_______米．③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于+【答案】(1)原計(jì)劃每天修20米(2)①y=-0.3x2+10.8；【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天修x米則根據(jù)題意可得：2400解得：x=-25或經(jīng)檢驗(yàn)，x=20答：原計(jì)劃每天修20米．（2）解：①根據(jù)題意可得：C設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y由題意可得：0=36a-所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y②∵車的寬度為4米，車從正中通過，∴令x=4時，y∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6-0.5=5.5（米）．③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為令y=0.3，則有：0.3=-0.3x2∴人行道臺階的寬度為：FG∴人行道寬度設(shè)計(jì)達(dá)標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．題型05空中跳躍軌跡問題【例5】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）已知某運(yùn)動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運(yùn)動狀態(tài)，如圖，以起跳點(diǎn)為原點(diǎn)O，水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，我們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關(guān)系，記點(diǎn)A為該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B為該運(yùn)動員的成績達(dá)標(biāo)點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)

水平距離x（米）5102030空中飛行的高度y（米）4.560-(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式______；(2)若該運(yùn)動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足y=-0.05x2+1.1x，則他第二次跳躍落地點(diǎn)與起跳點(diǎn)平面的水平距離為d=______【答案】(1)y=-0.06(2)d=11+【分析】（1）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax（2）求出當(dāng)函數(shù)y=-0.05x2+1.1x【詳解】（1）解：由題意，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=∵OA∴A將點(diǎn)A20,0,B10,6代入解得a=-0.06則該二次函數(shù)的解析式為y=-0.06故答案為：y=-0.06（2）解：對于二次函數(shù)y=-0.05當(dāng)y=-18時，-解得x=11+481或則d=11+∵11+481∴11+481即d>30故答案為：d=11+【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式51】（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）“兔飛猛進(jìn)”諧音成語“突飛猛進(jìn)”．在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，“兔飛猛進(jìn)”名副其實(shí)．野兔跳躍時的空中運(yùn)動路線可以看作是拋物線的一部分．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．通過對某只野兔一次跳躍中水平距離x（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進(jìn)行的測量，得到以下數(shù)據(jù)：水平距離x00.411.422.42.8豎直高度y00.480.90.980.80.480根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：①野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為_________m，最大豎直高度為_________m；②求滿足條件的拋物線的解析式；(2)已知野兔在高速奔跑時，某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為3m，最大豎直高度為1m．若在野兔起跳點(diǎn)前方2m處有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍_________（填“能”或“不能”）躍過籬笆．【答案】(1)①2.8，0.98；②y(2)能【分析】（1）①根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；②根據(jù)①所求把拋物線解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）同理求出拋物線解析式，再求出當(dāng)x=2時，y【詳解】（1）解：①由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=2.8時，y∴野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為2.8m∴滿足題意的拋物線對稱軸為直線x=∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x=1.4，y∴由表格數(shù)據(jù)可知最大豎直高度為0.98m，故答案為：2.8，0.98；②由①可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為1.4，∴可設(shè)拋物線解析式為y=∴a0-1.4∴a=-0.5∴拋物線解析式為y（2）解：∵某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為3m，最大豎直高度為1m，∴此時滿足題意的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為1.5，同理可求出此時拋物線的解析式為y=-當(dāng)x=2時，y∵89∴野兔此次跳躍能躍過籬笆，故答案為：能．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對應(yīng)的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）跳臺滑雪是以滑雪板為工具，在專設(shè)的跳臺上以自身的體重通過助滑坡獲得的速度比跳躍距離和動作姿勢的一種雪上競技項(xiàng)目．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線C1:y=-112x2+76x+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運(yùn)動員從點(diǎn)O(1)求拋物線C2的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)運(yùn)動員與點(diǎn)A的水平距離是多少米時，運(yùn)動員和小山坡到水平線的高度相同；(3)運(yùn)動員從A點(diǎn)滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運(yùn)動員與小山坡的高度差最大是多少米？【答案】(1)y(2)12(3)8【分析】（1）根據(jù)題意將點(diǎn)(0,3)，(4,7)代入拋物線C2:y=-1（2）設(shè)運(yùn)動員與點(diǎn)A的水平距離是m米時，運(yùn)動員和小山坡到水平線的高度相同，根據(jù)題意得：-18m（3）運(yùn)動員與小山坡的高度差為h,則h=-【詳解】（1）把點(diǎn)(0,3)，(4,7)代入拋物線C2c=3解得：b=∴拋物線C2（2）設(shè)運(yùn)動員與點(diǎn)A的水平距離是m米時，運(yùn)動員和小山坡到水平線的高度相同，根據(jù)題意得：-1化簡得：m2解得：m=12或m故運(yùn)動員與點(diǎn)A的水平距離是12米時，運(yùn)動員和小山坡到水平線的高度相同；（3）設(shè)運(yùn)動員與小山坡的高度差為h,則h=-=-∵-1∴當(dāng)x=4時，h有最大值，最大值為8∴運(yùn)動員從A點(diǎn)滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運(yùn)動員與小山坡的高度差最大是83【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型06球類飛行軌跡【例6】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）擲實(shí)心球是某市中考體育考試的選考項(xiàng)目，如圖①是一名男生投實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點(diǎn)處高度為2米，當(dāng)水平距離92米時，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)：25

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于12.4米，此項(xiàng)考試得分為滿分17分，按此評分標(biāo)準(zhǔn)，該生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】(1)y(2)該生在此項(xiàng)考試中得不到滿分，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績就是實(shí)心球落地時的水平距離，令y=0【詳解】（1）根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=把(0,2)代入解析式得，2=a解得：a∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：（2）該生在此項(xiàng)考試中得不到滿分，理由：當(dāng)y=0，則，-解得：x1=12，∵12<12.4，∴該生在此項(xiàng)考試中得不到滿分．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程為題．【變式61】（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┠嘲嗉壴谝淮握n外活動中設(shè)計(jì)了一個彈珠投箱子的游戲（長方體無蓋箱子放在水平地面上）．同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意圖），某同學(xué)將彈珠從A1,0處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L:y=ax2+bx+32(單位長度為1

(1)求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)請判斷該同學(xué)拋出的彈珠是否能投人箱子．若能，請通過計(jì)算說明原因；若不能，在不改其它條件的情況下，調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，請直接寫出EF的取值范圍．【答案】(1)，y=-1(2)0<【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意可求出OE的長，將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入解析式．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，拋物線過點(diǎn)(-2,3將把點(diǎn)A(1,0)，(-2,32a+解得a=-∴拋物線L的解析式為y=-∵y∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)；（2）∵A∴OA∵DA∴DO即點(diǎn)D(-3.7,0)∵DE=1m∴OE∴點(diǎn)E(-2.7,0)，F(xiàn)(-2.7,0.6)，當(dāng)x=-2.7時，y∵0.6>0.555，∴該同學(xué)拋出的彈珠不能投入箱子；若調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，EF的取值范圍為0<EF【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊點(diǎn)解決問題．【變式62】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方的B處發(fā)出，球每次出手后的運(yùn)動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點(diǎn)C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點(diǎn)B高出1米，已知OB=m米，排球場的邊界點(diǎn)A距O點(diǎn)的水平距離OA為18米，球網(wǎng)EF高度為2.4米，且(1)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)m=2(3)當(dāng)m=2(4)若運(yùn)動員調(diào)整起跳高度，使球在點(diǎn)A處落地，此時形成的拋物線記為L1，球落地后立即向右彈起，形成另一條與L1形狀相同的拋物線L2，且此時排球運(yùn)行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=89米，若排球經(jīng)過向右反彈后沿L2的軌跡落入回收框MNPQ【答案】(1)6,(2)拋物線的表達(dá)式為y(3)球能越過球網(wǎng)，球不會出界，理由見解析(4)d【分析】（1）拋物線的最高點(diǎn)C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點(diǎn)B高出1米，OB＝m米，據(jù)此即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)m=2時，得到C6,3,B0,2，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y（3）由（2）知，當(dāng)m=2時，拋物線的表達(dá)式為y=-136x-62+3，由OA=18，OE=（4）求出L2的表達(dá)式為y=-136x-242+1，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為tt≥24，則Qt,0.5，Pt+2,89【詳解】（1）解：∵拋物線的最高點(diǎn)C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點(diǎn)B高出1米，OB＝m米，∴C6,m故答案為：6,m（2）當(dāng)m=2∴C6,3∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝將點(diǎn)B0,2代入，得2=解得：a=-∴拋物線的表達(dá)式為y=-（3）球能越過球網(wǎng)，球不會出界，理由如下：由（2）知，當(dāng)m=2時，拋物線的表達(dá)式為y∵OA=18米，OE∴OE=∵球網(wǎng)EF高度為2.4米，∴F9,2.4當(dāng)x=9時，y∵2.75>2.4，∴球能越過球網(wǎng)，當(dāng)y=0時，0=-解得：x1=6+63∴D6+6∵6+63∴球不會出界；（4）∵球每次出手后的運(yùn)動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點(diǎn)C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，又∵L2是與L1形狀相同的拋物線，此時排球運(yùn)行的最大高度為∴設(shè)L2的表達(dá)式為y將點(diǎn)A18,0代入，得解得：h1=12（舍去），∴L2的表達(dá)式為y設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為tt≥24，則Qt當(dāng)y=0.5時，0.5=-解得：t1=24+32當(dāng)y=89解得：t1∴24≤t∴d=24+3【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型07噴泉問題【例7】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.5m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度EF=0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍【答案】(1)y=-18(2)(2,0)(3)2≤【分析】（1）由頂點(diǎn)A(2,2)得，設(shè)y=a(x（2）過點(diǎn)H作HM∥x軸，交上邊緣拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)y解得：x1=4，x2=0，則M4,1.5（3）根據(jù)EF=0.5，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d【詳解】（1）解：由題意得A(2,2)設(shè)y=又∵拋物線過點(diǎn)(0,1.5)，∴1.5=4a∴a∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=-令y=0，則解得：x1=6∴OC=6（2）解：如圖，過點(diǎn)H作HM∥x軸，交上邊緣拋物線于點(diǎn)對于上邊緣拋物線y=-18則-解得：x1=4，則M4,1.5∵下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m∴點(diǎn)B是點(diǎn)C向左平移4m由（1）知OC=6∴OB=6-4=2(米∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)；（3）解：∵EF∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，∴0.5=-18(∵x∴x=2+2當(dāng)x>2時，y隨x∴當(dāng)2≤x≤6時，要使則x≤2+2∵當(dāng)0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x=0∴當(dāng)0≤x≤6時，要使y≥0.5∵DE∴d的最大值為2+2再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥∴d的最小值為2綜上所述，d的取值范圍是2≤d【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象的平移，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到24米（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．【答案】(1)y(2)7(3)80【分析】（1）利用軸對稱性質(zhì)可得水柱所在拋物線（第二象限部分）的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線函數(shù)為y=a(（2）根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式，代入y=1.8時求得x（3）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再二次函數(shù)圖像的性質(zhì)拋物線的形狀不變時，可設(shè)改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-15x2【詳解】（1）解：由題意得第一象限拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)，∵水柱關(guān)于y軸對稱，∴第二象限拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,5)設(shè)水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=將(-8,0)代入y=a(解得：a=-∴水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-（2）解：當(dāng)函數(shù)值y=1.8時，有-解得x1=-7，∴結(jié)合圖形可得，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)．（3）解：當(dāng)x=0時，y∵噴出水柱的形狀不變，水池的高度不變，設(shè)改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)(-12,0)，∴0=-1解得b=-∴改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-16故擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為809【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出當(dāng)時x的值；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式．【變式72】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模）消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結(jié)構(gòu)，頂端裝有消防炮，其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠(yuǎn)，流量大的特點(diǎn)．該車主要作業(yè)于油田、高層建筑、石化企業(yè)等地方的滅火救援和處置工作．在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距離大樓起火側(cè)面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側(cè)面5米，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求出水柱所在拋物線的解析式；(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度約2.4米，此時水柱能否射入該層窗口？(3)火勢已經(jīng)向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節(jié)伸縮臂CA按原來方向（與水平方向夾角約為53°）伸長了一截（不超過12米），為阻止火勢進(jìn)一步蔓延，伸縮臂應(yīng)該伸長幾米？（伸縮臂伸長時間忽略，sin53°≈0.8【答案】(1)拋物線解析式為：y(2)此時水柱能射入該層窗口，理由見解析(3)應(yīng)伸長75-255【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式，用代入法來求出解析式．（2）根據(jù)解析式求出最大值，再進(jìn)比較．（3）求出新的二次函數(shù)解析式，并根據(jù)一元二次方程來解決問題．【詳解】（1）由題意得到：B點(diǎn)坐標(biāo)：5,50，A點(diǎn)坐標(biāo)：20,35，設(shè)拋物線的解析式為：y=把A點(diǎn)坐標(biāo)代入得：35=a解得，a=-∴拋物線解析式為：y=-（2）當(dāng)x=0時，y第16層樓頂高度為：16×2.9=46.4m46.4+0.9=47.3m，46.4+2.4=48.8∵47.3<145∴此時水柱能射入該層窗口（3）過A作AF平行于x軸，

設(shè)CA伸長至A'處，AA'過A'作A'E⊥AF∴A'E=即相當(dāng)于將點(diǎn)A向左平移0.6t個單位長度，再向上平移0.8新拋物線的解析式：y'當(dāng)x=0時，y∴-1解得：t1=75+25∴應(yīng)伸長t=【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵用代入法來求出解析式，再轉(zhuǎn)化成一元二次方程解決問題．【變式73】（2023·廣東深圳·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）某公園要在小廣場上建造一個噴泉景觀.在小廣場中央O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置于柱子頂端A處的噴水向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距OA的水平距離為1米時到達(dá)最大高度，此時離地面2.25米．

(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，則d的取值范圍是______________；(3)在平面內(nèi)，把一個圖形上的任意一點(diǎn)與另一個圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值稱為這兩個圖形的距離．為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為【答案】(1)y(2)0.3<(3)2【分析】（1）由題意得，在第一象限內(nèi)的拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)1,2.25，故設(shè)拋物線解析式為y=ax-12+2.25（2）當(dāng)y=1.76時，-x-12+2.25=1.76，解得：（3）由題意知，OB=OP=4，∠OBP=45°，設(shè)平行于直線BP且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線l的解析式為y=-x+m，則聯(lián)立方程y=-x-12+2.25y=-x+m，整理得，x2-3x+【詳解】（1）解：由題意得，在第一象限內(nèi)的拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)1,2.25，故設(shè)拋物線解析式為y=將0,1.25代入得1.25=a解得，a=-1∴在第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=-（2）解：當(dāng)y=1.76時，-解得：x1=0.3，∴d的取值范圍是0.3<故答案為：0.3<d（3）解：∵直線BP的解析式為：y=-∴把x=0代入得：y把y=0代入得：-x+4=0∴B4,0，P∴OB=OP=4設(shè)平行于直線BP且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線l的解析式為y=-聯(lián)立y=-x-整理得：x2令△=b解得m=3.5∴直線l的解析式為y=-如圖，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D，把y=0代入得：-解得：x=3.5則D3.5,0

∴DB=∵∠OBP∴直線l到直線BP的距離為BD?根據(jù)題意得：光線與拋物線水流之間的距離為光線與拋物線水流之間的最小垂直距離，即直線l到直線BP的距離，∴光線與拋物線水流之間的距離為24【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)綜合，解直角三角形等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型08圖形問題【例8】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）如圖，某中學(xué)把五育并舉與減負(fù)延時服務(wù)相結(jié)合，勞動課準(zhǔn)備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園ABCD，讓學(xué)生在茶園里體驗(yàn)種茶活動．現(xiàn)已知校圍墻MN長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設(shè)AB長x米，矩形茶園ABCD的面積為S平方米．

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)矩形茶園ABCD的面積為200平方米時，求AB的長．【答案】(1)S=-2x(2)AB長10米【分析】（1）BC長可表示為40-2x≤25，于是（2）令s=200【詳解】（1）解：s=-2x40-2x≤25自變量的取值范圍為：7.5≤（2）根據(jù)題意，令s=200-解得x答：當(dāng)矩形茶園ABCD的面積為200平方米時，AB長10米．【點(diǎn)睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，一元二次方程的求解；理解方程和函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2022·北京海淀·人大附中?？寄M預(yù)測）數(shù)學(xué)活動課上，老師提出問題：如圖1，有一張長4dm，寬3

下面是探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)設(shè)小正方形的邊長為xdm，體積為ydm3，根據(jù)長方體的體積公式得到y(tǒng)和x(2)確定自變量x的取值范圍是______；(3)列出y與x的幾組對應(yīng)值．x…1131537195…y…1.32.22.73.02.82.51.50.9…（說明：表格中相關(guān)數(shù)值均精確到0.1）(4)為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系（圖2），以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接它們；(5)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：要使得長方體盒子的體積最大，小正方形的邊長約為______dm．（精確到0.1）【答案】(1)y(2)0<(3)3，2(4)見解析(5)0.6【分析】（1）根據(jù)長方體的體積公式=長×寬×高，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)盒子的長寬高為正數(shù)列出不等式組，求解即可得到答案；（3）分別計(jì)算出當(dāng)x=12時，當(dāng)x（4）描點(diǎn)、連線，即可畫出圖象；（5）根據(jù)圖象即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：y=∴y和x的關(guān)系式為：y=4故答案為：y=4（2）解：根據(jù)題意得：x>0解得：0<x∴自變量x的取值范圍是0<x故答案為：0<x（3）解：當(dāng)x=12當(dāng)x=1時，y故答案為：3，2；（4）解：畫出圖象如圖所示：；（5）解：由圖可得：當(dāng)x=0.6dm時，盒子的體積最大，最大值約為故答案為：0.6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)關(guān)系式、自變量的取值范圍、畫函數(shù)圖象，解答此題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【變式82】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了增加校園綠化，學(xué)校計(jì)劃建造一塊邊長為40m的正方形花壇種植“兩花一草”，如圖，取四邊中點(diǎn)，構(gòu)成正方形EFGH（甲區(qū)域），在四個角落構(gòu)造4

(1)經(jīng)了解，甲區(qū)域建造費(fèi)用為50元/m2，乙區(qū)城建造費(fèi)用為80元/m2，草坪建造費(fèi)用為10元/m2，設(shè)每個矩形的面積為xm2，建造總費(fèi)用為y(2)當(dāng)建造總費(fèi)用為74880元時，矩形區(qū)城的長和寬分別為多少米？(3)甲區(qū)域建造費(fèi)用調(diào)整為40元/m2，乙區(qū)域建造費(fèi)用調(diào)整為a元/m2（a為10的倍數(shù)），草坪建造單價不變，最后建造總費(fèi)用為55000元，求【答案】(1)y(2)矩形區(qū)域的長和寬分別為12米和8米(3)a的最小值是50．【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、種植草坪的面積，然后根據(jù)“費(fèi)用=單價×面積”即可解答；（2）設(shè)一個矩形區(qū)域的長和寬分別為m，n，則m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得x（3）先根據(jù)題意可得800×40+4x?a+101600-800-4【詳解】（1）解：由題意可知：正方形ABCD的面積為40×40=1600m2，正方形EFGH的面積為800m2，種植草坪的面積為1600-800-4x（2）解：設(shè)一個矩形區(qū)域的長和寬分別為m，n，則m+n=20依題意可得：280x+48000=74880，解得∴m20-m=96，解得∴m=12，答：矩形區(qū)域的長和寬分別為12米和8米．（3）解：依題意，800×40+4x∴a∵x∴當(dāng)m=10時，x最大=100∴a∴a的最小值是50【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系、一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·新疆·二模）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度

(1)求拋物線解析式；(2)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(3)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長．【答案】(1)y(2)96-32(3)20【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由四邊形EFGH是正方形得到GH=FG=2OG，設(shè)Ht,-1（3設(shè)Ht,-12t【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+8，把B4,0∴拋物線的解析式為：y=-（2）∵四邊形EFGH是正方形，∴GH=

設(shè)Ht∴-1解得：t1=-2+25∴此正方形的面積=F（3）如圖2，由（1）知：設(shè)Ht

∴矩形EFGH的周長=2FG+2GH=4∴當(dāng)t=2時，矩形EFGH的周長最大，且最大值為20【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．【變式84】（2023·安徽六安·校聯(lián)考一模）如圖，在邊長2為的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點(diǎn)（不含B，C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，(1)求證：△CMP(2)求△CNP(3)求線段AM長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)4(3)5【分析】（1）先證明∠CPM+∠APB（2）證明Rt△ADN≌（3）設(shè)PB=x，則CP=2-x．由△CMP∽△BPA，推出CM【詳解】（1）證明：由折疊知∠APB=∠APE∵點(diǎn)C，P，B共線，∴2∠CPM∴∠CPM∵∠APB∴∠CPM∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C∴△CMP（2）解：∵將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E∴AE=AB，∠AEP∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=∵AN是公共邊，∴Rt△∴DN=∴△CNP的周長=（3）解：設(shè)PB=x，則∵△CMP∴PBCM∴CM=∵AM=∴當(dāng)DM最小時，AM最?。逥M=∴當(dāng)x=1時，DM的最小值為3∴AM的最小值=4+【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)最值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．題型09圖形運(yùn)動問題【例9】（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動．以PA為一邊作∠APQ=90°，另一邊PQ與射線AC相交于點(diǎn)Q，以AP,

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時，AQ的長為____________cm；(用含x的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，求x的值；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)5(2)60(3)y【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到AC=12（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，如圖1，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PM=AQ=5x，（3）當(dāng)0<x≤6041，6041<x≤125，125<x【詳解】（1）解：在△ABC中，∠ACB∴AC=∵∠APQ=∠ACB∴△QAP∴AQAB由題意得AP=4∴AQ解得：AQ故答案為：5x（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，如圖1，

∵四邊形APMQ是平行四邊形，∴PM=AQ=5x,∴△BMP∴PM∴5x解得x=（3）當(dāng)0<x≤60

∵四邊形APMQ是平行四邊形，∴∠M由sinM=sin∵cos∴PQ∴PQ∴y當(dāng)6041<x

設(shè)QM,CB交于點(diǎn)E，PM,則y=1=-當(dāng)125<x

y==-96∴y【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式91】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C方向以1cm/s的速度運(yùn)動到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè)），設(shè)點(diǎn)P

(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時，x=_______(2)求點(diǎn)M落在AD上時x的值；(3)若M點(diǎn)在AD下方時，求重疊部分面積y與運(yùn)動時間x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)4；(2)163(3)y=【分析】（1）先證明四邊形APQM是正方形，則AP=PQ，由△ABC是等腰直角三角形得到∠C=45°，則△（2）由等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，得到∠DAC=45°=∠C，△ACD是等腰直角三角形，得到CD=42cm，由PQ∥AB，∠BAC=90°得到∠APQ=90°，則△PQM（3）分Q在D下方和Q在D上方兩種情況，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時，如圖①：

∵∠BAC=90°，PQ∥∴∠BAC=∠APQ∴四邊形APQM是正方形.∴AP=∵△ABC∴∠∴△CPQ是等腰直角三角形∴CP=∴CP=∴x=故答案為：4；（2）點(diǎn)M落在AD上時，如圖②：

∵等腰直角三角形ABC中，AD⊥∴∠DAC=45°=∠C∵AC=8∴CD=4∵PQ∥AB，∴∠APQ∵△PQM∴∠QPM∴∠APM∴∠C又∵∠CAD∴△CAD∴APAC=設(shè)CP=PQ=∴8-m解得：m=∴AP=∴x=（3）i）當(dāng)Q在D下方時，如圖③：

∵∠APQ=90°，∴∠APT∴△APK，△∴KT=∴y=∵∠ATP=90°=∠ADC∴△PAT∴yS∵CD=∴S△∵AP=x，∴y16∴y=ii）當(dāng)Q在D上方時，如圖④：

∵AC=8，AP∴CP=8-∴QM=8-x，在等腰直角三角形APW中，PW=∴MW=∴y==-7綜上所述，y【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、求函數(shù)解析式等知識，熟練掌握相似三角形的判定和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式92】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，動點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線AB-BC-CD運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連結(jié)AP，PQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，t=________s；(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)CP=CQ時，直接寫出【答案】(1)7(2)S(3)2或4【分析】（1）先計(jì)算出點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時運(yùn)動的路程，再根據(jù)運(yùn)動速度即可求出運(yùn)動時間；（2）分情況討論：當(dāng)0<t≤2時，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，證得△AQE∽△ACB，即可求出QE的長，從而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；當(dāng)2<t≤72時，過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，證得△PCF∽△（3）用含t的式子表示CP、CQ，然后列出方程求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程是：AB+∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線AB∴t=故答案為：72（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D在Rt△ABC中由勾股定理得∵點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC向點(diǎn)C∴0<t由題意知，AQ=tcm，AP=2當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，即0<t≤2，如圖

過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)∴∠QEA又∠QAE∴△AQE∴AQAC∴t5∴QE=∴S=當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時，即2<t≤7

此時CP=(7-2t)過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)∴∠PFC又∠PCF∴△PCF∴PFAB∴PF4∴PF=-∴S=當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即72<t

此時CP=(2過點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)∴∠PGC又∠PCG∴△PGC∴PGAD∴PG3∴PG=∴S=綜上，S=（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，即0<t此時CQ=(5-t)cm，BP∵CP∴CP=(5-t在Rt△CBP中，由勾股定理得，∴(5-解得，t1=0(舍去)，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時，即2<t此時CP=(7-2t)∵CP∴7-2t∴t=2(舍去當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即72此時CP=(2∵CP∴2t∴t綜上，t的值為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，三角形的面積與函數(shù)關(guān)系，學(xué)會用分類討論思想思考問題是解題的關(guān)鍵，屬于壓軸題．【變式93】（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考三模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M沿邊AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，（點(diǎn)M不與A，B

(1)求證：△AMN(2)當(dāng)x為何值時，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切(3)把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x【答案】(1)證明見解析(2)x(3)當(dāng)x=43時，【分析】（1）欲證△AMN∽△ABC（2）MN為直徑的⊙O與直線BC相切，則圓心O到直線BC的距離等于半徑，列出函數(shù)關(guān)系式，求出x（3）因?yàn)椤螦=90°，△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積分為兩種情況：①等于S△PMN，②等于S△MNP-S△PEF【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)M，點(diǎn)N同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M沿邊AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點(diǎn)設(shè)運(yùn)動時間為xs，則AM∵AB=8cm，∴AMAN∵∠A∴△AMN（2）解：過A作AH⊥BC于

在Rt△ABC中，由（1）知△AMN∴MNBC=AM∴MN∴⊙O的半徑r由（1）知△AMN∽△ABC∴MN∵AH⊥∴AH⊥MN∴由等面積法可知AL=12∴圓心O到直線BC的距離d=∵⊙O與直線BC∴245-12x5=52x，解得（3）解：折疊如圖所示：

當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)題意，以點(diǎn)在直線BC上為分界線分兩種情況討論：①當(dāng)0<x≤1時（當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上方），∴當(dāng)x=1時，y②當(dāng)1<x<2時（當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC下方），設(shè)MP交BC于E，NP交BC于F，MB=8-4∴PE∴y=∴當(dāng)x=43綜上所述，當(dāng)x=43時，y【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長，等面積法求線段長，切線的性質(zhì)，折疊，三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型10二次函數(shù)綜合問題類型一線段、周長問題【例10】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax+12-4a經(jīng)過點(diǎn)D-2,3，與

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找到一點(diǎn)E，使得△BCE(3)連接AC，在第一象限的拋物線上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到x軸的距離和點(diǎn)P到直線AC的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y(2)3(3)P【分析】（1）直接將點(diǎn)D坐標(biāo)代入求解即可；（2）由題意，B點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A，故連接AC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，則此時△BCE的周長最小．求解點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，利用勾股定理求得AC、BC（3）過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，延長FP交AC延長線于于點(diǎn)G．先求得直線AC的解析式y(tǒng)AC=x+3，設(shè)Pm,-m2-2m+3，則Gm,m+3【詳解】（1）解：（1）將D-2,3代入3=a解得a=-1∴二次函數(shù)解析式為y=-（2）解：由題意，B點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A，故連接AC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，則AE=BE，此時

∵二次函數(shù)解析式為y=-∴由-x2-2x+3=0解得x1∴A-3,0，B1,0∴AO=3，CO=3，又∴AC=3∵∠BOC=90°，BO=1∴BC=故△BCE周長的最小值為CE（3）解：過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，延長FP交

∵點(diǎn)P到x軸的距離和點(diǎn)P到直線AC的距離相等，∴PE=∵由y=-x+12+4∴yAC設(shè)Pm,-m2-∴PF=-m2-2m+3∴AG=∵∠PEG=∠AFG∴△PEG∴PEAF=PG解得m∵-m∴P2-【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、解方程等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．【變式101】（2023·廣東湛江·校考一模）拋物線y=ax2+bx+2與x

(1)(2)求拋物線的解析式(3)在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)M，使△MBC的周長最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和△(4)若點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點(diǎn)【答案】(1)拋物線的解析式為y(2)當(dāng)△MBC的周長最小時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為-1,43，(3)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,2或-1-【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線對稱軸為直線x=-1，連接AC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，此時△MBC的周長取最小值，由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)可得出BC，AC的長度及直線AC的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)圖象對稱軸的橫坐標(biāo)和直線AC的解析式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)和（3）由點(diǎn)B，C，P的縱坐標(biāo)可得出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或-2，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)Q【詳解】（1）解：解：將A-3,0,B1,0解得：a=-∴拋物線的解析式為y=-（2）解：當(dāng)x=0時，y∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2．∵拋物線的解析式為y=-∴拋物線的對稱軸為直線x=-1連接AC，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=-1∴MA∴MB∴此時△MBC∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2∴AC=13，BC=5當(dāng)x=-1時，y∴當(dāng)△MBC的周長最小時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為-1,43，（3）解：∵以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)B，P的縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或-2，如圖2

當(dāng)y=2時，2=-解得：x1∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,2當(dāng)y=-2時，-解得：x1∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-1-7,-2∴在拋物線上存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,2或-1-7【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短，找出點(diǎn)M的位置；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或-2【變式102】（2023·廣東潮州·一模）如圖，直線y=-2x+3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線y=-x(1)求拋物線的解析式．(2)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過P作PH⊥BC于H，求(3)M是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，連接MB，把線段MB沿著直線BC翻折，M的對應(yīng)點(diǎn)M'恰好落在拋物線上，求M【答案】(1)y(2)當(dāng)t=1時，PH+2(3)M點(diǎn)坐標(biāo)為1，17+5【分析】（1）先求出C0（2）過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，交x軸于E，過點(diǎn)H作HF⊥PD于F，過點(diǎn)B作BG⊥HF于G，設(shè)Pt，-t2+2t+3，則Dt，-2t（3）設(shè)M1，m，M'n，-n2+2n+3，由翻折可得MM'的中點(diǎn)Ln+12，m-n2+2n+32在直線BC上，即m=n2-【詳解】（1）解：∵直線y=-2x+3交x軸于點(diǎn)B，交y∴當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時，-∴B32∵拋物線y=-x2+bx∴-1-解得：b=2∴該拋物線的解析式為y=-（2）解：過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，交x軸于E，過點(diǎn)H作HF⊥PD于F，過點(diǎn)B作BG⊥，設(shè)Pt，-t2∴PD∵B32∴OB=3在Rt△BCO中，∵PH∴∠PHD∴△PDH∴PHOB=∴PH∴PH∵HF∴∠PFH∴△PHF∴PFOB=∴PF∴EF∵∠BGF∴四邊形BEFG是矩形，∴BG=EF∴∠HBG∵∠BGH∴△BHG∴BH∴BH∴PH∵-5∴當(dāng)t=1時，PH+2HB（3）解：設(shè)M1，m∵線段MB沿著直線BC翻折，M的對應(yīng)點(diǎn)M'∴MM'的中點(diǎn)Ln∴-2×n化簡得：m=當(dāng)點(diǎn)M在BC的上方時，如圖2，過點(diǎn)M'作M'R∥x軸交拋物線的對稱軸于R，則MR=∵M(jìn)T∴∠MTL∵∠M∴∠MTL∴∠MTL∴sin∴ML∴MM∴M∴1-n解得：n=聯(lián)立①②得：m=解得：m=∵m∴m∴M當(dāng)點(diǎn)M在BC的下方時，如圖3，，同理可得：m=∴M綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為1，17+5201【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，解直角，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及知識點(diǎn)多，難度較大，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解此題的關(guān)鍵．【變式103】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=14x+h2+k．點(diǎn)A-1,2在拋物線的對稱軸上，B0,(1)直接寫出h，k的值；(2)如圖，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為3,m，點(diǎn)Q為y軸上一動點(diǎn)，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足為點(diǎn)K．探求DK+KQ(3)如圖，連接AD，AC，若∠DAC=60°，求點(diǎn)【答案】(1)h=1，(2)存在，最小值為74+1，(3)D【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析，即可得到答案；（2）由（1）可知y=14x+12+1，求得D3,5，作C點(diǎn)關(guān)于直線x=-12的對稱點(diǎn)C'，連接C'D交拋物線對稱軸于點(diǎn)K，連接CQ，當(dāng)C'、K、D三點(diǎn)共線時，C（3）如圖，過D作DE⊥AC于E，設(shè)Dm,14m2+12m+5【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A-∴拋物線的對稱軸為直線x=∴h=1∴y∵B0,5∴1∴k（2）解：存在最小值，理由如下：由（1）可知，y=∵點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，坐標(biāo)為3,m∴m∴D作C點(diǎn)關(guān)于直線x=-12的對稱點(diǎn)C'，連接C'

由對稱性可知，C'∴DK當(dāng)C'、K、D三點(diǎn)共線時，C'D∵拋物線的對稱軸為直線x=-1∴KQ∵D3,5，∴C∴C∴C'∴DK+KQ設(shè)直線C'D的解析式為∴-解得：k=∴直線C'D的解析式為令x=-1∴K∴Q（3）∵y=如圖，過D作DE⊥AC于E，設(shè)Dm∴CD

∵∠DAC∴DE2=∴D=m而CD解得：m=±2∵D在第二象限，則m>0∴m=2∴D2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，最值問題，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型二面積周長問題【例11】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于A，B

(1)求B，(2)如圖②，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接OD，BC，BD，OD交BC于點(diǎn)E，當(dāng)【答案】(1)B6,0，(2)當(dāng)S△DBES△OBE的值最大時，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)題意，可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線，與聯(lián)立b-（2）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B到OD的距離為h，可得S△DBES△OBE=DEOE，則S△DBES△OBE的最大值即DE【詳解】（1）解：∵拋物線y=-12x2+bx+c與x∴A-∴-12×∵b-∴聯(lián)立方程組得，-2b+∴拋物線的解析式為y=-令y=0，則-12x2+2x∵A-∴B6,0令x=0，則y∴C0,6∴B6,0，C（2）解：設(shè)點(diǎn)B到OD的距離為h，∴S△DBES△OBE如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交BC與點(diǎn)

∵B6,0，C0,6，設(shè)BC所在直線的解析式為∴6k+n∴直線BC的解析式為