浙江省衢州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

衢州市2024年6月高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁(yè)，有4大題，19小題.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫在試卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目的要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用交集的運(yùn)算即可求出.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，結(jié)合充分不必要條件的定義，即可得到答案；【詳解】，當(dāng)，“”是“”的充分不必要條件，故選：A4.將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C5.已知向量，，且與的夾角為，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】由題意知，，所以在上的投影向量為.故選：B6.如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，于，于，則下列結(jié)論不正確的是（）A平面平面 B.平面C.平面 D.平面平面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的判定定理得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，依題意有平面，平面，所以平面平面，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，平面，平面，則有，是圓的直徑，為圓周上不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，則有，，平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，平面，平面，，又于，，平面，所以平面，平面，則，又于，平面，，所以平面，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，平面平面，平面，于，若平面平面，則必有平面，而平面，則必有，因?yàn)槠矫?，平面，則有，又平面，則必有，由于垂直于圓所在的平面，，則，而于，則為中點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的直徑，為圓周上不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，，于，則不是中點(diǎn)（否則會(huì)得到，但這與矛盾），不成立，所以平面平面的結(jié)論不正確，即D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得的解析式，分別求得當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，和的表達(dá)式，結(jié)合題意，即可求得的范圍，綜合即可得答案.【詳解】由題意知：,當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)椋裕划?dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意求得的解析式，分類討論，將和進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查分類討論的思想，屬中檔題.8.美國(guó)數(shù)學(xué)家JackKiefer于1953年提出0.618優(yōu)選法，又稱黃金分割法，是在優(yōu)選時(shí)把嘗試點(diǎn)放在黃金分割點(diǎn)上來(lái)尋找最優(yōu)選擇.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚于20世紀(jì)60、70年代對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化、補(bǔ)充，并在我國(guó)進(jìn)行推廣，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式，則與的關(guān)系式正確的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式可求進(jìn)而解方程即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又所以，化?jiǎn)得，可得，解得（負(fù)值舍去），所以.故選：B.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角的對(duì)邊分別為，已知且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的取值范圍為C.的最大值為4 D.若為的中點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用正弦定理和余弦定理求出；B選項(xiàng)，由正弦定理得到，結(jié)合，得到答案；C選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和，求出的最大值；D選項(xiàng)，，兩邊平方，結(jié)合求出，得到D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，故，A正確；B選項(xiàng)，由正弦定理得，故，因?yàn)椋?，，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由A得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，求出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)，若為的中點(diǎn)，則，，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，又，故，故，即的取值范圍為，D錯(cuò)誤.故選：AC10.一學(xué)生在求解以下問(wèn)題“已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，且，求的值”時(shí)，思路如下：令（，），由對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可求得，再由對(duì)稱軸求，對(duì)稱中心求，根據(jù)以上信息可得（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件可求得，結(jié)合周期的性質(zhì)可求，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，可得，解得，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，可得周期，所以，解得，又時(shí)，，解得，又，可得，所以，所以，，，所以，.故選：ABD.11.如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段中點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.周長(zhǎng)的最小值為C.三棱錐的外接球的體積為D.平面與平面的夾角正弦值的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可判斷A；如圖，確定三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，進(jìn)而判斷B；如圖，確定球心和半徑即可判斷C；利用空間向量法求解面面角即可判斷D.【詳解】A：由題意知，，又平面，所以平面，由平面，得；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，又四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，所以，由平面，所以平面，故A正確；B：將平面和平面沿鋪成一個(gè)平面，如圖，連接，交于，此時(shí)三點(diǎn)共線，取得最小值，即的周長(zhǎng)取得最小值，又，所以的周長(zhǎng)的最小值為，故B錯(cuò)誤；C：易知中，，取的中點(diǎn)，過(guò)作平面，如圖，則三棱錐的外接球的球心必在上，且，所以球的半徑為，其體積為，故C正確；D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：.13.已知，且，則的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求其最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的解集為_________.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以，又在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，從而可化為,,即故答案為四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱中心為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式可得，可求周期與對(duì)稱中心；（2）由，可得，可求值域.【小問(wèn)1詳解】，由，得函數(shù)的最小正周期為，令，得，，函數(shù)的對(duì)稱中心為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，，，函數(shù)的值域?yàn)?16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與底面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，先證明，再通過(guò)線面平行的判斷定理即可；（2）先證明平面，即為三棱錐高，再通過(guò)三棱錐的體積公式計(jì)算即可；（3）取中點(diǎn)，連接，，證明底面，即為直線與底面所成角的平面角，求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，底面是正方形，為中點(diǎn)，又是線段的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)?，且平?,所以平面.所以根據(jù)三棱錐的體積公式：.【小問(wèn)3詳解】取中點(diǎn)，連接，，，分別為，中點(diǎn)，，又底面，底面，為直線與底面所成角的平面角，，，，直線與底面所成角的正切值為.17.2023年起我國(guó)旅游按下重啟鍵，寒冬有盡，春日可期，先后出現(xiàn)了“淄博燒烤”，“爾濱與小土豆”，“天水麻辣燙”等現(xiàn)象級(jí)爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平臺(tái)發(fā)布了衢州的宣傳片：孔子，金庸，擱袋餅紛紛出場(chǎng).現(xiàn)為進(jìn)一步發(fā)展衢州文旅，提升衢州經(jīng)濟(jì)，在5月份對(duì)來(lái)衢旅游的部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿，交通，服務(wù)等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度采用百分制，統(tǒng)計(jì)的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中.（1）求圖中的值并估計(jì)滿意度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若有超過(guò)的人滿意度在75分及以上，則認(rèn)為該月文旅成績(jī)合格.衢州市5月份文旅成績(jī)合格了嗎？（3）衢州文旅6月份繼續(xù)對(duì)來(lái)衢旅游的游客發(fā)起滿意度調(diào)查.現(xiàn)知6月1日6月7日調(diào)查的4萬(wàn)份數(shù)據(jù)中其滿意度的平均值為80，方差為75；6月8日6月14日調(diào)查的6萬(wàn)份數(shù)據(jù)中滿意度的平均值為90，方差為70.由這些數(shù)據(jù)計(jì)算6月1日—6月14日的總樣本的平均數(shù)與方差.【答案】（1），79.5（2）合格（3）平均值為86，方差為96【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征求出a，進(jìn)而即可求出平均數(shù)；（2）先確定40%分位數(shù)的位置，再由頻率分布直方圖求出百分位數(shù)，即可下結(jié)論；（3）求出總樣本平均數(shù)，根據(jù)方差的定義，即可求出總樣本方差.【小問(wèn)1詳解】由題意知，估計(jì)滿意度得分的平均值【小問(wèn)2詳解】超過(guò)60%的人滿意度在75分及以上，即為40%分位數(shù)大于等于75又由滿意度在的頻率為，滿意度在的頻率為知40%分位數(shù)位于由可以估計(jì)40%分位數(shù)為有超過(guò)60%的人滿意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成績(jī)合格了【小問(wèn)3詳解】把6月1日—6月7日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，把6月8日—6月14日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，則總樣本平均數(shù)由方差的定義，總樣本方差為總樣本平均值為86，總樣本方差為9618.如圖，三棱臺(tái)中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，且，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱臺(tái)所得的截面面積為.當(dāng)二面角為銳二面角時(shí)，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得、，確定為二面角的平面角，解三角形即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又四邊形是等腰梯形，且為的中點(diǎn)，又，，平面，平面，又平面，【小問(wèn)2詳解】解法一：延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足為，，連，由（1）易知平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面，又平面，，又，為二面角的平面角，則易知過(guò)，，三點(diǎn)的截面為梯形，設(shè)梯形的高為，則，解得，，又四邊形是等腰梯形，且，，為正三角形，，，，為正三角形；為中點(diǎn)，，，即二面角的正弦值為；解法二：過(guò)，分別作，，，垂足為，，，連接.由（1）易知平面平面，平面平面，平面平面，又平面，又，且，平面，平面，又平面，，又為二面角的平面角過(guò)，，三點(diǎn)的截面為梯形，則，，，，，，，，即二面角的正弦值為.19.利普希茲條件是數(shù)學(xué)中一個(gè)關(guān)于函數(shù)光滑性的重要概念，設(shè)定義在上的函數(shù)，若對(duì)于中任意兩點(diǎn)，都有，則稱是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)，在上是否為“1利普希茲條件函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；（3）設(shè)，若存在，使是“2024利普希茲條件函數(shù)”，且關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上是，函數(shù)在上不是（2）1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義，令k=1，作差，與0比較大小即可.（2）根據(jù)定義，轉(zhuǎn)化為恒成立即可.（3）先求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題知，函數(shù)，定義域，所以，所以函數(shù)在上是“1利普希茲條件函數(shù)”.函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上不是“1