湖南省瀏陽市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

2024年上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知向量，若，則的值為（）A.6B.4C.4D.62.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（）A.B.C.D.4.已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（）A.B.C.D.5.下列說法正確的是（）①已知為三條直線，若異面，異面，則異面；②若不平行于平面，且，則內(nèi)的所有直線與異面；③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；④若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則，三點共線.A.①②B.③④C.①③D.②④6.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A.B.C.D.7.如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，則的最小值為（）A.2B.4C.D.8.某工業(yè)園區(qū)有共3個廠區(qū)，其中，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.給定一組數(shù)，則（）A.平均數(shù)為3B.標準差為C.眾數(shù)為2D.分位數(shù)為510.有6個相同的小球，分別標有數(shù)字，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件A：為偶數(shù)，為偶數(shù)，，則（）A.B.與相互獨立C.與相互獨立D.與相互獨立11.正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)），是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個正八面體的棱長都是2（如圖），則（）A.平面B.直線與平面所成的角為C.若點為棱上的動點，則的最小值為D.若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，某學(xué)校共有教師200人，按老年教師?中年教師?青年教師的比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數(shù)為__________.13.拋兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)分別為，則能夠構(gòu)成三角形三邊長的概率為__________.14.在中，點分別在邊和邊上，且交于點，設(shè).用表示為__________；若為上一動點且__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭處出發(fā)，航行到位于河對岸（與河的方向垂直）的正西方向并且與相距的碼頭處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.16.（本小題15分）在某電視節(jié)目中，有5位歌手（1到5號）依次登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手.（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）表示3號歌手得到觀眾甲?乙?丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率.17.（本小題15分）為了落實習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水.計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.（1）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）；（2）設(shè)該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.18.（本小題17分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，且是的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正切值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題17分）任意一個復(fù)數(shù)的代數(shù)形式都可寫成復(fù)數(shù)三角形式，即，其中為虛數(shù)單位，.棣莫弗定理由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667~1754）創(chuàng)立.設(shè)兩個復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，則：.如果令，則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.（1）試將寫成三角形式；（2）試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：；（3）計算：的值.2024年上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測參考答案（高一數(shù)學(xué)）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.B2.D3.A4.C5.B6.A7.C8.B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.AD10.ACD11.AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.1813.14.；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.解：如圖，，，合速度的方向與水流的方向成的角設(shè)小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，小船航行速度的大小為.16.解：（1）設(shè)表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，則.事件與相互獨立，與相互獨立，則表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”..即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是.（2）設(shè)表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則，依題意，相互獨立，相互獨立，且彼此互斥.又.，，.17.解：（1）由頻率分布直方圖可得，又，則，該市居民用水的平均數(shù)估計為：；（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：，則月均用水量不低于2噸的頻率為：，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準（噸），，，解得，即標準為5.8噸.18.解：平面平面，又四邊形是矩形，，平面，平面，又是的中點，，，所以平面（2）解：底面是矩形，異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，由（1）得平面平面，平面為直角三角形，又是的中點，，在中，即為異面直線與所成角，故，異面直