第一章 空間向量與立體幾何單元測試（基礎卷）（解析版）

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁第一章空間向量與立體幾何單元過關基礎A版解析版學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】關于軸對稱，縱坐標不變，橫坐標、豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)．【詳解】關于軸對稱的兩點的縱坐標相同，橫坐標、豎坐標均互為相反數(shù)．所以點關于軸對稱的點的坐標是．故選：A．【點睛】本題考查空間平面直角坐標系，考查關于坐標軸、坐標平面對稱的問題．屬于基礎題．2．如圖所示，在一個長、寬、高分別為2、3、4的密封的長方體裝置中放一個單位正方體禮盒，現(xiàn)以點D為坐標原點，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則正確的是（）A．的坐標為 B．的坐標為C．的長為 D．的長為【答案】D【分析】根據(jù)坐標系寫出各點的坐標分析即可.【詳解】由所建坐標系可得：，，，.故選：D.【點睛】本題考查空間直角坐標系的應用，考查空間中距離的求法，考查計算能力，屬于基礎題.3．空間直角坐標系中，已知點，則線段的中點坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】點，由中點坐標公式得中得為：，即.故選A.4．已知空間中三點，，，則（）A．與是共線向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關性質判斷.【詳解】對于A項，，，所以，則與不是共線向量，所以A項錯誤；對于B項，因為，所以的單位向量為，所以B項錯誤；對于C項，向量，，所以，所以C項錯誤；對于D項，設平面的法向量是，因為，，所以，則，令，則平面的一個法向量為，所以D項正確.故選:D.【點睛】本題考查共線向量的判斷，單位向量的求法，夾角的求法，平面法向量的求法，屬于空間向量綜合題.5．兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是A． B． C． D．【答案】B【解析】兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.6．下圖是棱長為2的正方體木塊的直觀圖，其中分別是，，的中點，平面過點且平行于平面，則該木塊在平面內(nèi)的正投影面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意平面可以平移至平面，即木塊在平面內(nèi)的正投影即可看成是在平面的正投影，根據(jù)投影的性質可得投影為正六邊形，最后根據(jù)正六邊形面積公式可求出投影的面積．【詳解】解：根據(jù)題意可知平面過點且平行于平面PQF，則平面可以平移至平面，木塊在平面內(nèi)的正投影即可看成是在平面的正投影，根據(jù)投影的性質可得投影為正六邊形如圖所示，因為正方體棱長為2，所以，則投影面內(nèi)正六邊形的邊長為：根據(jù)正六邊形面積公式可得投影的面積為：故投影面積為：故選：A【點睛】本題主要考查空間幾何體和正投影得概念，考查面積公式是計算，考查空間想象力和推導能力，屬于難題．7．如圖，已知正方體棱長為3，點在棱上，且，在側面內(nèi)作邊長為1的正方形，是側面內(nèi)一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當點運動時，的最小值是（）A．21 B．22 C．23 D．13【答案】D【分析】建立空間直角坐標系,根據(jù)在內(nèi)可設出點坐標，作,連接,可得，作，根據(jù)空間中兩點間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示：

作交于M,連接，則作交于N，則即為點P到平面距離.設,則∵點到平面距離等于線段的長∴由兩點間距離公式可得，化簡得,則解不等式可得綜上可得則在中所以（當時取等）故選:D【點睛】本題考查了空間直角坐標系的綜合應用，利用空間兩點間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題.8．如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數(shù)（）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)圖像得出，然后將轉化為，最后根據(jù)棱長為以及即可得出結果.【詳解】由圖像可知，，則，因為棱長為，，所以，，故集合中的元素個數(shù)為，故選：A.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關鍵是能夠利用平面向量線性運算將所求向量數(shù)量積轉化為已知模長的向量和有垂直關系向量的數(shù)量積的運算問題，考查了轉化與化歸的思想，考查集合中元素的性質，是中檔題.二、多選題9．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構成空間的一組基底C．，，，是空間四點，若，，不能構成空間的一組基底，則，，，共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底【答案】BCD【分析】選項A、B中，根據(jù)空間基底的概念，可判斷；選項C中，可得共面，又由過相同點B，可得四點共面，由此可判斷；選項D中：基向量與向量一定不共面，由此可判斷．【詳解】選項A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以A不正確；選項B中，根據(jù)空間基底的概念，可得B正確；選項C中，由不能構成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點B，可得四點共面，所以C正確；選項D中：由是空間的一個基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構成空間另一個基底，所以D正確．故選：BCD.10．已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項中，正確的是（）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥βC．∥?l∥α D．⊥?l∥α【答案】AB【分析】根據(jù)線面直線的位置關系逐一判斷即可.【詳解】解：為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則∥?α∥β，⊥?α⊥β，∥?l⊥α，⊥?l∥α或l?α.因此AB正確.故選：AB.11．在長方體中，，，，以為原點，以分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面的一個法向量為D．二面角的余弦值為【答案】ACD【分析】由向量法對每一選項進行逐一計算驗證，可得答案.【詳解】由題意可得,選項A:所以，則A正確.選項B:,,所以所以異面直線與所成角的余弦值為，則B不正確.選項C：設平面的一個法向量為由,，則所以，取，得，則C正確.選項D：由上可得平面的一個法向量為又平面的法向量為則所以二面角的余弦值為，則D正確.故選：ACD12．若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點，則（）A． B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【分析】以為正交基底建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，計算值即可判斷A；分別求出平面，平面的法向量，判斷它們的法向量是否共線，即可判斷B；利用等體積法，求出三棱錐的體積即可判斷C；三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故求出長方體的外接球的表面積即可判斷D.【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，因為，所以與不垂直，故A錯誤；，設平面的一個法向量為，則由，得，所以，不妨取，則，所以，同理可得設平面的一個法向量為，故不存在實數(shù)使得，故平面與平面不平行，故B錯誤；在長方體中，平面，故是三棱錐的高，所以，故C正確；三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確.故選：CD.【點睛】本題主要考查用向量法判斷線線垂直、面面平行，等體積法的應用及幾何體外接球的表面積.三、填空題13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則______．【答案】【分析】由已知可知，直線的方向向量與平面的法向量平行，根據(jù)空間向量平行的充要條件可得到一個關于和的方程組，解方程組即可得到答案.【詳解】解：，直線的方向向量為，平面的法向量為，直線的方向向量與平面的法向量平行.則存在實數(shù)使，即，.故答案為：.【點睛】本題考查向量語言表述線面垂直，直線的方向向量與平面的法向量平行是解本題的關鍵，屬于基礎題.14．若同方向的單位向量是________________【答案】【解析】試題分析：，與同方向的單位向量是考點：空間向量的坐標運算；15．如圖，在正四面體中，分別為的中點，是線段上一點，且，若，則的值為_______．【答案】【分析】利用基向量表示,結合空間向量基本定理可得.【詳解】所以，所以.【點睛】本題主要考查空間向量的基本定理，把目標向量向基底向量靠攏是求解的主要思路.16．如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出目標的表達式，從而可得最小值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則,設,,.,.,當且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.【點睛】本題主要考查空間向量的應用，利用空間向量求解距離的最值問題時，一般是把目標式表示出來，結合目標式的特征，選擇合適的方法求解最值.四、解答題17．如圖，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，設.（1）試用表示；（2）已知為對角線的中點，求的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可表示出來；（2）由可計算出.【詳解】（1）；（2）由題意知，，，，.【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查利用向量計算長度，屬于基礎題.18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為中點，O為中點，.（1）證明：//平面；（2）異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）連接，得到O為中點，然后利用中位線定理，可得，根據(jù)線面平行的判定定理，可得結果.（2）通過建系，可得，然后利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】（1）證明：連接，則O為中點，又E為中點，∴//.∵平面，平面，∴//平面（2）以A為原點建立空間直角坐標系，如圖，則，∴，∴即異面直線與所成角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的判定定理以及建系通過利用向量的方法解決線線角，將幾何問題用代數(shù)方法來解決，化繁為簡，屬基礎題.19．如圖，在多面體中，底面是邊長為的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，為線段的中點．（1）求到平面的距離及三棱錐的體積；（2）求證：平面．【答案】（1）到平面的距離為，；（2）證明見解析.【分析】（1）設，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離，計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積；（2）利用向量法證明出，，可得出，，再利用線面垂直的判定定理可證得平面.【詳解】（1）設，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．易知軸在平面內(nèi)，且軸，則、、、，，，，設平面的一個法向量，則，取，得，到平面的距離，又，因此，三棱錐的體積；（2）證明：由（1）易知，則，，，，，，，平面.【點睛】本題考查利用空間向量法計算點到平面的距離、三棱錐體積的計算，同時也考查了利用空間向量法證明線面垂直，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20．如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側面是邊長為的正三角形，且平面底面，為的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【分析】取的中點，連接，證明出平面，然后以點為坐標原點，、所在的直線分別為、軸建立空間直角坐標系.（1）寫出、的坐標，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）求得平面的一個法向量，并寫出，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】取的中點，連接，為正三角形，為的中點，則．又平面平面，平面平面，平面，平面．以點為坐標原點，、所在的直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、.（1）設異面直線與所成的角為，為的中點，，，，，，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為；（2）設直線與平面所成的角為，易知平面的一個法向量為，.因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查利用空間向量法計算異面直線所成角的余弦值以及線面角的正弦值，考查計算能力，屬于中等題.21．如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點.（1）證明：平面；（2）設，菱形的面積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交于點，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長，取中點，可證，如圖建系，求得點坐標及坐標，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點，連接，則、E分別為、的中點，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長為，取中點，連接，因為，所以，以點為原點，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標系.則所以設平面的法向量，由得，令，則所以一個法向量，因為，，所以平面PAD，所以平