期中檢測(cè)卷-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

期中檢測(cè)卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)北師大版一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?浙江期中）任意拋擲一枚均勻的骰子兩次，記兩次朝上的點(diǎn)數(shù)的和為m，則下列m的值中，概率最大的是（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2024秋?陵川縣月考）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝23．（2024春?貴州期末）青田林業(yè)局考查一種樹(shù)苗移植的成活率，將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖，則可估計(jì)這種樹(shù)苗移植成活的概率約是（）A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.804．（2024秋?南山區(qū)校級(jí)月考）方程x2+2x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根5．（2024秋?歷城區(qū)校級(jí)月考）為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某市2019年投入城市文化打造費(fèi)用2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2021年投入3600萬(wàn)元．設(shè)這兩年投入城市文化打造費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)百分率為x，則下列方程正確的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝36006．（2024春?北海期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線相等 B．平行四邊形的對(duì)角相等 C．有一個(gè)角是90°的菱形是正方形 D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分7．（2023秋?萊州市期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中點(diǎn)，∠AED＝120°，則AD長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．38．（2024?渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AB和BC邊的中點(diǎn)，連接DE、AF交于點(diǎn)P，連接CP和DF，若∠BCP＝α，則∠CPF的度數(shù)為（）A． B． C．90°﹣α D．90°﹣2α二．填空題（共8小題）9．（2024秋?義烏市期中）在一個(gè)不透明的袋中裝有40個(gè)紅、黃、藍(lán)三種顏色的球，除顏色外其他都相同，佳佳和琪琪通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則袋中紅球大約有．10．（2024秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）足球是一項(xiàng)非常古老的運(yùn)動(dòng)，最早起源于中國(guó)，是全球體育界極具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)之一，現(xiàn)從一批足球中隨機(jī)抽檢部分足球的質(zhì)量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：抽取的足球數(shù)n/個(gè)100200400600100015002000優(yōu)等品的頻數(shù)m/個(gè)9319238056193814131878優(yōu)等品的頻率0.930.960.950.9350.9380.9420.939據(jù)此推測(cè)，從這批足球中隨機(jī)抽取一個(gè)足球是優(yōu)等品的概率約是．（結(jié)果精確到0.01）11．（2024秋?襄汾縣校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程3x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根是a，則代數(shù)式6a2﹣4a+10的值為．12．（2024秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實(shí)惠農(nóng)政策，我國(guó)農(nóng)村燃?xì)馄占奥手鹉晟仙车貐^(qū)農(nóng)村2022年新開(kāi)通燃?xì)?0萬(wàn)戶(hù)，2024年新開(kāi)通燃?xì)?9.2萬(wàn)戶(hù)，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開(kāi)通燃?xì)獾哪昶骄鲩L(zhǎng)率是．13．（2024秋?江都區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CD以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)PQ＝10cm時(shí)，時(shí)間t＝．14．（2024?青秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將兩條寬度都是為2的紙條重疊在一起，使∠ABC＝45°，則四邊形ABCD的面積為．15．（2024?新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為．16．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O作OG⊥AC，交AB于點(diǎn)G，連接CG，若∠BOG＝16°，則∠BCG的度數(shù)是．三．解答題（共8小題）17．（2024秋?光明區(qū)月考）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0；（2）3x2+5x﹣2＝0．18．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1+x2+2x1x2＝1，求k的值．19．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)一模）人工智能是數(shù)字經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)．人工智能市場(chǎng)分為決策類(lèi)人工智能，人工智能機(jī)器人，語(yǔ)音類(lèi)人工智能，視覺(jué)類(lèi)人工智能四大類(lèi)型，將四個(gè)類(lèi)型的圖標(biāo)依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機(jī)抽取一張，抽到?jīng)Q策類(lèi)人工智能的卡片的概率為；（2）從中隨機(jī)抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，再隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率．20．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）某地今年種植12萬(wàn)千克的蓮藕，計(jì)劃在甲、乙兩店銷(xiāo)售，其中在乙店的銷(xiāo)售量為x（萬(wàn)千克），銷(xiāo)售情況如下表：甲店乙店利潤(rùn)（萬(wàn)元/萬(wàn)千克）2﹣0.2x+4.2（1）若在甲店銷(xiāo)售蓮藕2萬(wàn)千克，求銷(xiāo)售完這批蓮藕的獲利總數(shù)；（2）若該地銷(xiāo)售完所有蓮藕后，共獲利28.8萬(wàn)元，求x的值．21．（2024秋?東明縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝DC，連接CF．（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．22．（2024春?敘州區(qū)期末）如圖，ON為∠AOB中的一條射線，點(diǎn)P在邊OA上，PH⊥OB于H，交ON于點(diǎn)Q，PM∥OB交ON于點(diǎn)M，MD⊥OB于點(diǎn)D，QR∥OB交MD于點(diǎn)R，連接PR交QM于點(diǎn)S．（1）求證：四邊形PQRM為矩形；（2）若OP＝PR，試探究∠AOB與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．23．（2024春?韓城市期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點(diǎn)A，E之間的距離．24．（2024春?易門(mén)縣期末）如圖，已知正方形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝AB，M、N分別為AE、BC的中點(diǎn)，連DE交AB于O，MN交，ED于H點(diǎn)．（1）求證：AO＝BO；（2）求證：∠HEB＝∠HNB；（3）過(guò)A作AP⊥ED于P點(diǎn)，連BP，則的值．

期中檢測(cè)卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)北師大版參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?浙江期中）任意拋擲一枚均勻的骰子兩次，記兩次朝上的點(diǎn)數(shù)的和為m，則下列m的值中，概率最大的是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵5＜6＜7＜8，∴最大的數(shù)是：8．故選：D．2．（2024秋?陵川縣月考）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2【解答】解：A．的分母含未知數(shù)，故不是一元二次方程，不符合題意；B．x（x+6）＝0是一元二次方程，符合題意；C．a(chǎn)2x﹣5＝0未知數(shù)x的次數(shù)是1，故不是一元二次方程，不符合題意；D．4x﹣x3＝2中未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是3，故不是一元二次方程，不符合題意，故選：B．3．（2024春?貴州期末）青田林業(yè)局考查一種樹(shù)苗移植的成活率，將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖，則可估計(jì)這種樹(shù)苗移植成活的概率約是（）A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80【解答】解：這種樹(shù)苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計(jì)值約是0.9．故選：B．4．（2024秋?南山區(qū)校級(jí)月考）方程x2+2x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【解答】解：∵方程x2+2x+1＝0，∴a＝1，b＝2，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，∴方程x2+2x+1＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選：A．5．（2024秋?歷城區(qū)校級(jí)月考）為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某市2019年投入城市文化打造費(fèi)用2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2021年投入3600萬(wàn)元．設(shè)這兩年投入城市文化打造費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)百分率為x，則下列方程正確的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600【解答】解：由題意可知：2021年的投入為2500（1+x）2，∵2021年投入3600萬(wàn)元，∴2500（1+x）2＝3600．故選：C．6．（2024春?北海期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線相等 B．平行四邊形的對(duì)角相等 C．有一個(gè)角是90°的菱形是正方形 D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分【解答】解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故本選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；B、平行四邊形的對(duì)角相等，故本選項(xiàng)的說(shuō)法正確，不符合題意；C、有一個(gè)角是90°的菱形是正方形，故本選項(xiàng)的說(shuō)法正確，不符合題意；D、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故本選項(xiàng)的說(shuō)法正確，不符合題意；故選：A．7．（2023秋?萊州市期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中點(diǎn)，∠AED＝120°，則AD長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝ED＝EC，∵∠AED＝120°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝CD＝，故選：C．8．（2024?渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AB和BC邊的中點(diǎn)，連接DE、AF交于點(diǎn)P，連接CP和DF，若∠BCP＝α，則∠CPF的度數(shù)為（）A． B． C．90°﹣α D．90°﹣2α【解答】解：延長(zhǎng)AF，DC交于G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAE＝∠B＝90°，∵E，F(xiàn)是AB，BC的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝BC＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠APE＝90°＝∠DPG，∵∠B＝∠GCF＝90°，BF＝CF，∠AFB＝∠GFC，∴△ABF≌△GCF（ASA），∴AB＝CG，∴CG＝CD，∴CP為Rt△DPG斜邊上的中線，∴CP＝DG＝CG，∴∠CPF＝∠G，∵∠CPF+∠G+∠PCG＝180°，∴∠CPF+∠CPF+（α+90°）＝180°，∴∠CPF＝45°﹣；故選：A．二．填空題（共8小題）9．（2024秋?義烏市期中）在一個(gè)不透明的袋中裝有40個(gè)紅、黃、藍(lán)三種顏色的球，除顏色外其他都相同，佳佳和琪琪通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則袋中紅球大約有8個(gè)．【解答】解：設(shè)袋中紅球大約有x個(gè)，由題意知：＝0.2，解得x＝8，故答案為：8個(gè)．10．（2024秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）足球是一項(xiàng)非常古老的運(yùn)動(dòng)，最早起源于中國(guó)，是全球體育界極具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)之一，現(xiàn)從一批足球中隨機(jī)抽檢部分足球的質(zhì)量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：抽取的足球數(shù)n/個(gè)100200400600100015002000優(yōu)等品的頻數(shù)m/個(gè)9319238056193814131878優(yōu)等品的頻率0.930.960.950.9350.9380.9420.939據(jù)此推測(cè)，從這批足球中隨機(jī)抽取一個(gè)足球是優(yōu)等品的概率約是0.94．（結(jié)果精確到0.01）【解答】解：從這批足球中，任意抽取一只足球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.94．故答案為：0.94．11．（2024秋?襄汾縣校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程3x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根是a，則代數(shù)式6a2﹣4a+10的值為12．【解答】解：∵關(guān)于x的方程3x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根是a，∴3a2﹣2a﹣1＝0，∴3a2﹣2a＝1，∴6a2﹣4a+10＝2（3a2﹣2a）+10＝2×1+10＝12，故答案為：12．12．（2024秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實(shí)惠農(nóng)政策，我國(guó)農(nóng)村燃?xì)馄占奥手鹉晟仙车貐^(qū)農(nóng)村2022年新開(kāi)通燃?xì)?0萬(wàn)戶(hù)，2024年新開(kāi)通燃?xì)?9.2萬(wàn)戶(hù)，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開(kāi)通燃?xì)獾哪昶骄鲩L(zhǎng)率是40%．【解答】解：設(shè)該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開(kāi)通燃?xì)獾哪昶骄鲩L(zhǎng)率是x，由題意得：20（1+x）2＝39.2，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合題意，舍去），即該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開(kāi)通燃?xì)獾哪昶骄鲩L(zhǎng)率是40%，故答案為：40%．13．（2024秋?江都區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CD以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)PQ＝10cm時(shí)，時(shí)間t＝或．【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，AP＝3tcm，CQ＝2tcm，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H，∴四邊形APHD是矩形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD＝AB＝16cm，∠A＝∠D＝90°，∴PH＝BC＝6cm，∵四邊形APHD是矩形，∴DH＝AP＝3tcm，∴HQ＝CD﹣AP﹣CQ＝16﹣5t（cm）．∵PH2+HQ2＝PQ2，∴（16﹣5t）2+62＝102，解得，．故答案為：或．14．（2024?青秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將兩條寬度都是為2的紙條重疊在一起，使∠ABC＝45°，則四邊形ABCD的面積為4．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．則AE＝AF＝2．∵紙條的對(duì)邊平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都是2，∴S四邊形ABCD＝BC×2＝CD×2，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，即四邊形ABCD是菱形．∴四邊形ABCD的面積為2×2×＝4．故答案為：4．15．（2024?新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝6，BO＝DO，AC⊥BD，∴BO＝＝＝8，∴BD＝16，∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，∴DE＝＝，故答案為：．16．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O作OG⊥AC，交AB于點(diǎn)G，連接CG，若∠BOG＝16°，則∠BCG的度數(shù)是16°．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥DC，DO＝OA＝OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵OG⊥AC，∴OG是AC的垂直平分線，∴AG＝CG，∴∠OAG＝∠OCG，∵AB∥DC，∴∠OAG＝∠OCG，∵∠BOG＝16°，∠COG＝90°，∴∠COB＝74°，∵∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠OBC＝，∵∠BCD＝90°，∴∠OCD＝∠BCD﹣∠OCB＝90°﹣53°＝37°，∴∠OCD＝∠OAG＝∠OCG＝37°，∴∠BCG＝∠OCB﹣∠OCG＝53°﹣37°＝16°，故答案為：16°．三．解答題（共8小題）17．（2024秋?光明區(qū)月考）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0；（2）3x2+5x﹣2＝0．【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，（x﹣2）2＝3，∴，解得，；（2）3x2+5x﹣2＝0，（3x﹣1）（x+2）＝0，∴3x﹣1＝0或x+2＝0，解得，x2＝﹣2．18．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1+x2+2x1x2＝1，求k的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，∴k；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2+1，又∵x1+x2+2x1x2＝1，∴﹣2k﹣1+2（k2+1）＝1，解得k＝0或k＝1，由（1）得k，∴k＝1．19．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)一模）人工智能是數(shù)字經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)．人工智能市場(chǎng)分為決策類(lèi)人工智能，人工智能機(jī)器人，語(yǔ)音類(lèi)人工智能，視覺(jué)類(lèi)人工智能四大類(lèi)型，將四個(gè)類(lèi)型的圖標(biāo)依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機(jī)抽取一張，抽到?jīng)Q策類(lèi)人工智能的卡片的概率為；（2）從中隨機(jī)抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，再隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率．【解答】解：（1）∵共有4張卡片，∴從中隨機(jī)抽取一張，抽到?jīng)Q策類(lèi)人工智能的卡片的概率為；故答案為：；（2）解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的結(jié)果數(shù)為4，所以抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率為．20．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）某地今年種植12萬(wàn)千克的蓮藕，計(jì)劃在甲、乙兩店銷(xiāo)售，其中在乙店的銷(xiāo)售量為x（萬(wàn)千克），銷(xiāo)售情況如下表：甲店乙店利潤(rùn)（萬(wàn)元/萬(wàn)千克）2﹣0.2x+4.2（1）若在甲店銷(xiāo)售蓮藕2萬(wàn)千克，求銷(xiāo)售完這批蓮藕的獲利總數(shù)；（2）若該地銷(xiāo)售完所有蓮藕后，共獲利28.8萬(wàn)元，求x的值．【解答】解：（1）依題2×2+[﹣0.2×（12﹣2）+4.2]×（12﹣2）＝66（萬(wàn)元），∴銷(xiāo)售完這批蓮藕的獲利為66萬(wàn)元；（2）2×（12﹣x）+（﹣0.2x+4.2）x＝28.8，則x2﹣11x+24＝0，解得x1＝3，x2＝8，∴共獲利28.8萬(wàn)元，x的值為3或8．21．（2024秋?東明縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝DC，連接CF．（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【解答】證明：（1）∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE∵AF//BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE∴△AFE≌△DBE，∴AF＝BD又∵AF＝DC，∴BD＝DC，即D是BC的中點(diǎn)；（2）∵AF＝DC，AF//DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°∴四邊形ADCF是矩形．22．（2024春?敘州區(qū)期末）如圖，ON為∠AOB中的一條射線，點(diǎn)P在邊OA上，PH⊥OB于H，交ON于點(diǎn)Q，PM∥OB交ON于點(diǎn)M，MD⊥OB于點(diǎn)D，QR∥OB交MD于點(diǎn)R，連接PR交QM于點(diǎn)S．（1）求證：四邊形PQRM為矩形；（2）若OP＝PR，試探究∠AOB與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD，∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，∴四邊形PQRM是平行四邊形，∵PH⊥OB，∴∠PHO＝90°，∵PM∥OB，∴∠MPQ＝∠PHO＝90°，∴四邊形PQRM為矩形；（2）解：∠AOB＝3∠BON．理由如下：∵四邊形PQRM為矩形，∴PS＝SR＝SQ＝PR，∴∠SQR＝∠SRQ，又∵OP＝PR，∴OP＝PS，∴∠POS＝∠PSO，∵QR∥OB，∴∠SQR＝∠BON，在△SQR中，∠PSO＝∠SQR+∠SRQ＝2∠SQR＝2∠BON，∴∠POS＝2∠BON，∴∠AOB＝∠POS+∠BON＝2∠BON+∠BON＝3∠BON，即∠AOB＝3∠BON．23．（2024春?韓城市期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）