數(shù)學(xué)課前導(dǎo)引：從力做的功到向量的數(shù)量積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§5從力做的功到向量的數(shù)量積課前導(dǎo)引問題導(dǎo)入【問題】向量的數(shù)量積與向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積之間有何區(qū)別？思路分析:兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算,其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量）；前面學(xué)習(xí)的向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積,其結(jié)果仍然是向量，這個(gè)區(qū)別應(yīng)引起重視。知識預(yù)覽一、兩平面向量的夾角兩向量正向之間的夾角叫做兩向量的夾角.1。如右圖，已知兩個(gè)向量a、b，作,=a，=b，則∠AOB叫做向量a、b的夾角.2.兩個(gè)向量a、b的夾角θ∈［0,π］。當(dāng)θ=0時(shí),a、b同向；當(dāng)θ=π時(shí)，a、b反向;當(dāng)θ=90°時(shí)，兩向量a與b垂直，并記作a⊥b。二、平面向量數(shù)量積的含義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b｜c(diǎn)osθ叫做a與b的數(shù)量積（linnerproduct）(或內(nèi)積）,記作a·b,即規(guī)定a·b=|a｜|b｜c(diǎn)osθ.其中θ是a與b的夾角，|a|cosθ（｜b|cosθ)叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影（projection）.并且規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0.三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1。已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，則有：(1）a·b=b·a；(2)（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb)；(3）（a+b)·c=a·c+b·c。2.運(yùn)算律的證明：(1）a·b=|a｜|b|cosθ=|b|｜a｜c(diǎn)osθ=b·a.(2)(λa）·b=λ｜a|｜b|cosθ=λ(｜b|｜a|cosθ）=λa·b，又λ|a||b|cosθ=aλbcosθ=a·（λb），∴（λa)·b=λ（a·b）=a·（λb）。（3)如右圖所示，任取一點(diǎn)O,作=a，=b，=c。因?yàn)閍+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和,即|a+b|cosθ=|a｜c(diǎn)osθ1+｜b｜c(diǎn)osθ2,∴|c｜|a+b|cosθ=｜c(diǎn)|｜a|cosθ1+｜c(diǎn)||b｜c(diǎn)osθ2。∴c·(a+b)=c·a+c·b.∴(a+b）·c=a·c+b·c.說明：①兩個(gè)向量的數(shù)量積是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量的夾角的余弦的乘積,其