《1.2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》講義

《1.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》講義一、教學(xué)目標(biāo)1、讓同學(xué)們理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程。2、掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。二、教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和理解。熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。2、難點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法。如何根據(jù)實(shí)際問題判斷并正確運(yùn)用公式。三、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入（3分鐘）同學(xué)們，咱們之前學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，那大家想一想，如果有一個(gè)等差數(shù)列，咱們想求它前n項(xiàng)的和，該怎么求呢？比如說，1，3，5，7，9這個(gè)等差數(shù)列，前5項(xiàng)的和大家能快速算出來嗎？（可以讓同學(xué)們先試著口算一下，然后提問幾位同學(xué)說說自己的想法）（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)（12分鐘）1、故事引入（2分鐘）給大家講個(gè)小故事啊。有個(gè)叫高斯的小朋友，他的數(shù)學(xué)老師給他出了個(gè)題目，讓他計(jì)算1＋2＋3＋．．．＋100。高斯特別聰明，他發(fā)現(xiàn)1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，這樣兩兩組合，一共有50組，所以結(jié)果就是101×50＝5050。那咱們能不能從這個(gè)故事里得到一些啟發(fā)，來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式呢？2、公式推導(dǎo)（10分鐘）對(duì)于等差數(shù)列\(zhòng)（a_{1}，a_{2}，a_{3}，＼cdots,a_{n}＼），它的前n項(xiàng)和\（S_{n}＝a_{1}＋a_{2}＋a_{3}＋＼cdots+a_{n}＼）。咱們把這個(gè)和倒過來寫一遍，就得到\（S_{n}＝a_{n}＋a_{n1}＋a_{n2}＋＼cdots+a_{1}＼）。然后把這兩個(gè)式子相加，就得到\（2S_{n}＝（a_{1}＋a_{n}）＋（a_{2}＋a_{n1}）＋（a_{3}＋a_{n2}）＋＼cdots+（a_{n}＋a_{1}）＼）。因?yàn)檫@是等差數(shù)列，所以\（a_{1}＋a_{n}＝a_{2}＋a_{n1}＝a_{3}＋a_{n2}＝＼cdots\），一共有n組。所以\（2S_{n}＝n(a_{1}＋a_{n}）＼），那\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）。這就是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的第一個(gè)公式。那還有沒有其他形式呢？我們知道\（a_{n}＝a_{1}＋（n1)d\）（這里的d是等差數(shù)列的公差），把\（a_{n}＼）代入到\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）中，就得到\（S_{n}＝＼frac{na_{1}＋a_{1}＋（n1)d}｛2}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）。這就是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的第二個(gè)公式。（三）公式的理解與記憶（5分鐘）1、咱們一起看看這兩個(gè)公式啊。＼（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）這個(gè)公式呢，需要知道首項(xiàng)\（a_{1}＼）和末項(xiàng)\（a_{n}＼）以及項(xiàng)數(shù)n就能求出前n項(xiàng)和。而\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）這個(gè)公式呢，只要知道首項(xiàng)\（a_{1}＼）、項(xiàng)數(shù)n和公差d就能求前n項(xiàng)和。2、大家可以自己在心里默默記一下這兩個(gè)公式，然后我找同學(xué)來背一背或者說一說這兩個(gè)公式是怎么來的。（找兩三位同學(xué)回答）（四）公式的應(yīng)用（15分鐘）1、基礎(chǔ)例題（5分鐘）例1：已知等差數(shù)列\(zhòng)（＼｛a_{n}＼｝＼）中，＼（a_{1}＝3\），＼（n＝10\），＼（a_{10}＝21\），求前10項(xiàng)和\（S_{10}＼）。解：根據(jù)公式\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼），這里\（n＝10\），＼（a_{1}＝3\），＼（a_{10}＝21\），那么\（S_{10}＝＼frac{10\times(3＋21)｝｛2}＼）＼（＝＼frac{10\times24}｛2}＼）＼（＝120\）。2、互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）現(xiàn)在我出一道類似的題目，大家在自己的本子上做一下。已知等差數(shù)列\(zhòng)（＼｛b_{n}＼｝＼）中，＼（b_{1}＝2\），＼（n＝8\），＼（b_{8}＝16\），求前8項(xiàng)和\（S_{8}＼）。（同學(xué)們做的時(shí)候下去巡視，看看同學(xué)們的做題情況，然后找一位同學(xué)上臺(tái)來寫解題過程）3、提高例題（5分鐘）例2：已知等差數(shù)列\(zhòng)（＼｛a_{n}＼｝＼）的首項(xiàng)\（a_{1}＝5\），公差\（d＝3\），求前20項(xiàng)和\（S_{20}＼）。解：根據(jù)公式\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼），這里\（a_{1}＝5\），＼（n＝20\），＼（d＝3\），那么\（S_{20}＝20\times5+＼frac{20\times(201)＼times3}｛2}＼）＼（＝100+＼frac{20\times19\times3}｛2}＼）＼（＝100＋570\）＼（＝670\）。（五）課堂小結(jié)（3分鐘）1、今天咱們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式，一個(gè)是\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼），另一個(gè)是\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）。2、大家要理解這兩個(gè)公式的推導(dǎo)過程，這樣才能更好地記住和運(yùn)用它們。3、在做題目時(shí)，要根據(jù)題目給出的條件，選擇合適的公式來解題。（六）課后作業(yè)1、基礎(chǔ)題已知等差數(shù)列\(zhòng)（＼｛c_{n}＼｝＼）中，＼（c_{1}＝1\），＼（n＝15\），＼（c_{15}＝29\），求前15項(xiàng)和\（S_{15}＼）。（答案：＼（S_{15}＝＼frac{15\times(1＋29)｝｛2}＝225\））已知等差數(shù)列\(zhòng)（＼｛d_{n}＼｝＼）的首項(xiàng)\（d_{1}＝4\），公差\（d＝2\），求前12項(xiàng)和\（S_{12}＼）。（答案：＼（S_{12}＝12\times4+＼frac{12\times(121)＼times2}｛2}＝192\））2、提高題一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和\（S_{n}＝3n^｛2}＋2n\），求這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)\（a_{1}＼）和公差d。（答案：當(dāng)\（n＝1\）時(shí)，＼（a_{1}＝S_{1}＝3\times1^｛2}＋2\times1＝5\）；當(dāng)