




版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
PAGE第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理必備學問·自主學習1.正弦定理(1)定理的內容.條件三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c文字語言在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等符號語言QUOTE=QUOTE=QUOTE(2)本質:正弦定理反映的是三角形邊角之間的數(shù)量關系.該比值是此三角形外接圓的直徑.(3)作用:①求三角形的邊和角;②實現(xiàn)三角形邊角之間的互化;③求三角形外接圓的半徑.正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE只適用于銳角三角形嗎?提示:正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE適用于隨意三角形.2.三角形中的元素與解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三個角及其對邊.(2)解三角形:已知三角形的幾個元素求其他元素的過程.已知三角形的哪幾個元素,可以用正弦定理解相應三角形?提示:①已知三角形的隨意兩角和一邊,求其他兩邊和另一角.②已知三角形的隨意兩邊和其中一邊的對角,求另一邊及另兩角.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ()(2)對于隨意△ABC總有bsinA=asinB. ()(3)在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B;反之,若A>B,則sinA>sinB. ()(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2QUOTE,則B=60°. ()提示:(1)×.已知三角形的兩邊和這兩條邊的夾角,無法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即bsinA=asinB.(3)√.在△ABC中,sinA>sinB?a>b?A>B.(4)×.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,則B=60°或120°,又因為b>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次開發(fā):練習改編)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,則b= ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.4QUOTE D.QUOTE【解析】選C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.3.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,b=1,則sinB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.關鍵實力·合作學習類型一已知兩角及一邊解三角形(數(shù)學運算)1.(2024·石家莊高一檢測)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,則邊c= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE2.在△ABC中,若tanA=QUOTE,C=150°,BC=1,則AB等于.
3.在△ABC中,已知a=2QUOTE,A=30°,B=45°,解三角形.【解析】1.選D.因為b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.2.因為tanA=QUOTE,0°<A<180°,所以sinA=QUOTE.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.因為C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+2QUOTE.已知兩角及一邊解三角形的一般步驟【補償訓練】已知一個三角形的兩個內角分別是45°,60°,它們所夾邊的長是1,求最小邊長.【解析】設在△ABC中,A=45°,B=60°,則C=180°-(A+B)=75°.因為C>B>A,所以最小邊為a.又因為c=1,由正弦定理得,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1,所以最小邊長為QUOTE-1.類型二已知兩邊及一邊的對角解三角形(數(shù)學運算)【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=QUOTE,c=2,解三角形.四步內容理解題意條件:B=30°,b=QUOTE,c=2,結論:求角A、角C和邊a思路探求依據(jù)題目條件及正弦定理可得sinC=QUOTE,求出角C,進而可以計算A,a.書寫表達由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)當C=45°時,A=105°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1,(2)當C=135°時,A=15°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.留意書寫的規(guī)范性:①③④處正確應用正弦定理的變形是解題的關鍵;②處依據(jù)三角函數(shù)值求角時,要留意結合角的范圍.題后反思利用正弦定理求角時,一方面要留意由正弦值求角有可能出現(xiàn)兩解的狀況,另一方面要留意三角形內角和定理的應用已知兩邊及一邊的對角解三角形的步驟(2024·深圳高一檢測)在△ABC中,A=60°,AC=QUOTE,BC=QUOTE,則C= ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.設A,B,C的對邊分別為a,b,c.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,又因為a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.【拓展延長】在△ABC中,已知a,b和A,以點C為圓心,以邊長a為半徑畫弧,此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).解的個數(shù)見下表:A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個數(shù)一解兩解無解一解無解【拓展訓練】依據(jù)下列條件,推斷△ABC有沒有解?若有解,推斷解的個數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(4)a=20QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(5)a=4,b=QUOTE,A=60°.【解析】(1)(2)中因為a>b,所以只有一解.(3)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以a=bsinA,所以只有一解.(4)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以bsinA<a<b,所以有兩解.(5)中bsinA=QUOTEsin60°=5,所以a<bsinA,所以無解.【補償訓練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=QUOTE,b=2,sinB+cosB=QUOTE,則角A的大小為.
【解析】由sinB+cosB=QUOTE,得sinQUOTE=1,由B∈(0,π),得B=QUOTE,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE,又a<b,所以A=QUOTE.答案:QUOTE類型三用正弦定理進行邊角互化(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1運算求解問題
【典例】(2024·駐馬店高二檢測)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知4bcosBsinC=QUOTEc,則B= ()A.QUOTE或QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE或QUOTE【思路導引】利用正弦定理化邊為角,建立關于角B的三角方程.【解析】選D.由4bcosBsinC=QUOTEc,得4sinBcosBsinC=QUOTEsinC,所以sin2B=QUOTE,又因為B為△ABC的內角,所以2B=QUOTE或QUOTE,所以B=QUOTE或QUOTE.將本例條件“4bcosBsinC=QUOTEc”改為“2asinB=QUOTEb”,求角A.【解析】因為2asinB=QUOTEb,由正弦定理可得,2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE,所以A=QUOTE或QUOTEπ.角度2化簡證明問題
【典例】在隨意△ABC中,求證:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【思路導引】方法一:邊化角,即由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R是△ABC外接圓的半徑).代入等式左邊進行化簡;方法二:角化邊,即由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入等式左邊進行化簡.【證明】方法一:由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.代入得:左邊=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=0=右邊,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入得:左邊=aQUOTE+bQUOTE+cQUOTE=QUOTE(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右邊,所以等式成立.角度3推斷三角形的形態(tài)
【典例】(2024·濮陽高二檢測)在△ABC中,QUOTE=QUOTE=QUOTE,則△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【思路導引】由QUOTE=QUOTE=QUOTE,利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC,即可得出.【解析】選D.由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanA=tanB=tanC,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=QUOTE,所以△ABC是等邊三角形.1.用正弦定理進行邊角互化的兩種方法2.推斷三角形形態(tài)的兩種途徑(1)利用正弦定理把已知條件轉化為邊的關系,通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而推斷三角形的形態(tài).(2)利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系,通過三角函數(shù)恒等變形得出內角的關系,從而推斷出三角形的形態(tài),此時要留意應用A+B+C=π這個結論.在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=QUOTEa,則QUOTE= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=QUOTEsinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=QUOTEsinA.所以sinB=QUOTEsinA.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知QUOTE=absinC.求證tanC=sinAsinB.【證明】因為QUOTE=absinC,所以c2=absinCcosC,由正弦定理得,sin2C因為C∈QUOTE,所以sinC>0,所以sinC=sinAsinBcosC,由題意知cosC≠0,所以tanC=sinAsinB.3.在△ABC中,若acosA=bcosB,試推斷△ABC的形態(tài).【解析】由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,由acosA=bcosB得,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=QUOTE,所以△ABC為等腰或直角三角形.【補償訓練】1.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則QUOTE的值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選D.因為QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.因為3a=2b,所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE-1=QUOTE.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A【解析】由sin2A=sinBsinC和正弦定理,得a2=bc.因為2a=b+c,所以a=QUOTE,所以QUOTE=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.從而a=QUOTE=b=c,故△ABC是等邊三角形.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列等式正確的是 ()A.a∶b=A∶B B.asinA=bsinBC.a∶b=sinB∶sinA D.a∶b=sinA∶sinB【解析】選D.由QUOTE=QUOTE可得,只有D成立.2.一個三角形的兩個角分別等于
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 6.1 生物有共同祖先的證據(jù)課件-高一下學期生物人教版(2019)必修2
- 2025企業(yè)辦公場所租賃合同樣本
- 六西格瑪綠帶AIC階段考試試題及答案
- 船政入學考試試題及答案
- 大班車司機考試試題及答案
- 海事船舶操作考試試題及答案
- 初級服務考試試題及答案
- 排水作業(yè)考試試題及答案
- 代運營抽成合同范例
- 2025年湖南省株洲市九年級下學期中考一模化學試卷(含答案)
- 北京法源寺話劇劇本
- 健康評估試題庫
- 被執(zhí)行人財產(chǎn)申報表
- 吊裝安全確認表及技術交底
- DBJ41∕T 228-2019 河南省房屋建筑施工現(xiàn)場安全資料管理標準
- 三級安全教育考試試題(的)
- DB13 5325-2021 生活垃圾焚燒大氣污染控制標準
- 芒針療法課件
- 鼓樂鏗鏘課件 (2)
- 小學二年級下冊科學課件1.《春夏秋冬》大象版(22張)ppt課件
- 鋼結構工程質量通病防治圖冊
評論
0/150
提交評論