2023版 大一輪 數學 人教A版 新教材（京津瓊魯鄂渝湘閩粵冀浙）第1節(jié) 隨機抽樣

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第1節(jié)隨機抽樣

知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.不放回簡單隨機抽樣

一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取MlVN)個個

體作為樣本，如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體

被抽到的概率都相等，把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.

2.最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法.

3.分層隨機抽樣的相關概念

(1)分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總

體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽

樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分

層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.

(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么

稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

4.樣本平均數的計算公式

在分層隨機抽樣中，如果層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為加

和N,抽取的樣本量分別為m和〃，第1層和第2層樣本的平均數分別為;和外

則樣本的平均數8=卓土五"=尚/+禰y

?—常用結論與微點提醒-S

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.

2.分層隨機抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘抽樣比.

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內打“J”或“X”)

(1)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.()

(2)抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大.()

(3)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣.()

(4)分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)X

??教材衍化

2.在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽

取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，5000名居民的閱讀

時間的全體是()

A.總體B.個體

C.樣本的容量D.從總體中抽取的一個樣本

答案A

解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中每1名居民

的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀

時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.

3.一個公司共有N名員工，下設一些部門，要采用等比例分層隨機抽樣的方法

從全體員工中抽取樣本容量為〃的樣本，已知某部門有機名員工，那么從該部

門抽取的員工人數是.

nm

答幺:安案R

解析每個個體被抽到的概率是與，設這個部門抽取了x個員工，則康=與，

nm

=獷

＞考題體驗

4.(2020?上饒一模)總體由編號為00,01,02,…，48,49的50個個體組成，

利用下面的隨機數表選取6個個體，選取方法是從隨機數表第6行的第9列和第

10列數字開始從左到右依次選取兩個數字，則選出的第3個個體的編號為()

附：第6行至第9行的隨機數表如下：

26357900337091601620388277574950

32114919730649167677873399746732

27486198716441487086288885191620

74770111163024042979799196835125

A.3B.16C.38D.20

答案D

解析按隨機數表法，從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始從左到右

依次選取兩個數字，超出00?49及重復的不選，則編號依次為33,16,20,38,

49,32,則選出的第3個個體的編號為20,故選D.

5.（2020?百校大聯(lián)考）在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都進行網上上課.我校

高一、高二、高三共有學生1800名，為了了解同學們對“釘釘”授課軟件的意

見，計劃采用分層隨機抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量為72的樣

本.若從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數，則我校

高三年級的人數為（）

A.800B.750C.700D.650

答案D

解析設從高三年級抽取的學生人數為2x人，則從高二、高一年級抽取的人數

分別為2x~2,2x~4.

由題意可得2x+（2x—2）+（2x—4）=72,/.x=13.

設我校高三年級的學生人數為N,且高三抽取26人，

由分層隨機抽樣，得］800=天,.,.N=650（人）.

6.（2018?全國HI卷改編）某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價

有較大差異.為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方

法有簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣，則最合適的抽樣方法是.

答案分層隨機抽樣

解析因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較大差異，所以需按年齡進行

分層隨機抽樣，才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一簡單隨機抽樣及其應用自主演練

1.下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是（）

A.在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的

方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎

B.某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，

稱其重量是否合格

C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學

校機構改革的意見

D.用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗

答案D

解析A,B不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡

單隨機抽樣，因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣.故選D.

2.用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，

其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別

是（）

1131

AA而mDB1015

1_3_3

C-5,10D10,10

答案A

解析在抽樣過程中，個體。每一次被抽中的概率是相等的，因為總體容量為

10,故個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為

故選A.

3.（多選題）（2021?聊城模擬）要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，利用隨機數

表法抽取50顆種子進行實驗.先將850顆種子按001,002,…,850進行編號，

如果從隨機數表第2行第2列的數開始并向右讀，下列選項中屬于最先檢驗的4

顆種子中一個的是（下面抽取了隨機數表第1行至第3行）.（）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

A.774B.946C.428D.572

答案ACD

解析依據題意可知：向右讀數依次為：774,946,774,428,114,572,042,

533,…所以最先檢驗的4顆種子符合條件的為：774,428,114,572,結合選

項知選ACD.

感悟升華1.簡單隨機抽樣需滿足：（1）被抽取的樣本總體的個體數有限；（2）逐個

抽?。唬?）是不放回抽??；（4）是等可能抽取.

2.簡單隨機抽樣常有抽簽法（適用于總體中個體數較少的情況）、隨機數法（適用

于個體數較多的情況）.

考點二分層隨機抽樣及其應用多維探究

角度1求某層入樣的個體數

【例11某電視臺在網上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調查，參加調查的

一共有20000人，其中各種態(tài)度對應的人數如下表所示：

最喜愛喜愛一般不喜歡

4800720064001600

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取100人進行詳細的調查,

為此要進行分層隨機抽樣，那么在分層隨機抽樣時，每類人中應抽取的人數分別

為（）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析法一因為抽樣比為界'=義，所以每類人中應抽取的人數分別為

4800X+=24,7200*;^=36,6400X+=32,1600X+=8.

法二最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800：7200：6400：1600=

6：9：8：2,所以每類人中應抽取的人數分別為X100=24,

b十V十3十，

6+9+8+2X100=36*6+9+8+2X100=32,6+9+8+2X100=8,

角度2求總體或樣本容量

【例2】（1）（2020?東北三省四校聯(lián)考）某中學有高中生960人，初中生480人，

為了了解學生的身體狀況，采用分層隨機抽樣的方法，從該校學生中抽取容量為

〃的樣本，其中高中生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

（2）（2021?重慶調研）甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件，采用分層隨機

抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測.若樣本中有50件產品

由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為件.

答案（1）D（2）1800

24

解析（1）根據分層隨機抽樣方法知麻M上記=言'解得〃=36.

vou-r^+ouyou

oni

（2）由題設，抽樣比為湍=*.

Y

設甲設備生產的產品為工件，則石=50,...LBOO。.

故乙設備生產的產品總數為4800-3000=1800.

角度3分層隨機抽樣的平均數

【例3】為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，按照分層隨機

抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級

干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況.現將這40名科級干部分為

正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行預測.經過預測后，兩

組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下表：

分組人數平均成績

正科級干部組a80

副科級干部組b70

(1)求a,b；

（2）求這40名科級干部預測成績的平均分x.

解（1）樣本量與總體中的個體數的比為赤40普而=今1，則抽取的正科級干部人

3ZUI1ZoU-U

數a=320X表=8,副科級干部人數b=l280X^=32.

80X8+70X32

(2)這40名科級干部預測成績的平均分工==72.

40

感悟升華1.求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算.

2.已知某層個體數量，求總體容量或反之求解：根據分層隨機抽樣就是按比例抽

樣，列比例式進行計算.

樣本容量

3.分層隨機抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比=訪經

各層樣本數量,,

各層個體數量

【訓練1](1)(2020?郴州二模)已知我市某居民小區(qū)戶主人數和戶主對戶型結構

的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用

分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居

室滿意的人數分別為()

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

(2)(2021?合肥模擬)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及

果蔬類分別有40種，10種，30種，20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進

行食品安全檢測，若采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果

蔬類食品種數之和是.

(3)總體由100人組成，按以往收入情況分成兩層，第一層(高收入層)20人；第二

層(低收入層)80人.從第一層隨機抽2人，得月收入的平均數為14000元；從第

二層抽8人，得月收入的平均數為3500元，估計100人的月收入的平均數為

________元.

答案(1)A(2)6(3)5600

解析(1)樣本容量/?=(250+150+400)X30%=240,抽取的戶主對四居室滿意

的人數為150X30%X40%=18.

（2）抽樣比為石匚懸在則抽取的植物油類種數是10X^=2,抽取的果

VUI1IDUI/UJJ

蔬類食品種數是20x1=4,所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是2+4

=6.

一2—Q—

（3）樣本平均數為勿=赤+務=5600元.所以估計100人的月收入的平均數為

5600元.

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.（多選題）（2021?武漢調研）下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是（）

A.從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本

B.某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質量檢查

C.某連隊從120名戰(zhàn)士中，挑選出50名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士去參加搶險救災活動

D.從10個手機中逐個不放回地隨機抽取2個進行質量檢驗（假設10個手機已編

號）

答案AC

解析對于A,平面直角坐標系中有無數個點，這與要求總體中的個體數有限不

相符，故A中的抽樣方法不是簡單隨機抽樣；對于B,一次性抽取與逐個不放

回地抽取是等價的，故B中的抽樣方法是簡單隨機抽樣；對于C,挑選的50名

戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡單隨機抽樣的等可能性，故C中的抽樣方法不是簡

單隨機抽樣；對于D,易知D中的抽樣方法是簡單隨機抽樣.

2.（多選題）（2020?泰安質檢）某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1500輛，

6000輛和2000輛.為檢驗該公司的產品質量，公司質監(jiān)部門要抽取57輛進行

檢驗，則下列說法正確的是（）

A.應采用分層隨機抽樣抽取

B.應采用抽簽法抽取

C.三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

答案ACD

解析因為是三種型號的轎車，個體差異明顯，所以采用分層隨機抽樣，選項A

正確；因為總體量較大，故不宜采用抽簽法，選項B錯誤；抽樣比為

573

13U/U八十o"O2OO-r2U0U=，=UU，三種型號的轎車依次應抽取9輛，36輛，12輛，選項

C正確.分層隨機抽樣中，每一個個體被抽到的可能性相同.故選項D正確.故

答案為ACD.

3.（2020?首都師范大學附屬中學月考）從某班50名同學中選出5人參加戶外活動，

利用隨機數表法抽取樣本時，先將50名同學按01,02,…，50進行編號，然后

從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始從左往右依次選取兩個數字，則選

出的第5個個體的編號為（）

（注：表為隨機數表的第1行與第2行）

03474373863696473661469863716297

74246792428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

答案A

解析由題知，從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始，由表可知依次選

取43,36,47,46,24.

4.（多選題）（2021?襄陽聯(lián)考）某中學高一年級有20個班，每班50人；高二年級有

30個班，每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學校計劃從這兩個年級中

共抽取235人進行視力調查，下列說法中正確的有（）

A.應該采用分層隨機抽樣法

B.高一、高二年級應分別抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力

答案ABD

解析由于各年級的年齡段不一樣，因此應采用分層隨機抽樣法.由于比例為

2351

20X50+30X45=10,因此高一年級10°。人中應抽取100人，高二年級1350

人中應抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是七，因此只有C不正確，故應

選ABD.

5.如圖是調查某學校高三年級男女學生是否喜歡數學的等高條形圖，陰影部分的

高表示喜歡數學的頻率.已知該年級男、女生各500名（所有學生都參加了調查），

現從所有喜歡數學的學生中按分層隨機抽樣的方式抽取32人，則抽取的男生人

數為（）

A.16

C.24

答案C

解析由題中等高條形圖可知喜歡數學的女生和男生的人數比為1：3,,所以抽

取的男生人數為24.故選C.

6.某中學400名教師的年齡分布情況如圖，現要從中抽取40名教師作樣本，若

用分層隨機抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取（）

A.40人B.200人C.20人D.10人

答案C

解析由題圖知，40歲以下年齡段的人數為400X50%=200,若采用分層隨機

4（）

抽樣應抽取200X布=20（人）.

7.（多選題）（2021?淄博模擬）港珠澳大橋是中國境內一座連接中國香港、廣東珠海

和中國澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造

技術聞名世界，為內地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡

統(tǒng)計了大橋落地以后，由香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為

5：2：3,現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取〃名，若青年旅客

抽到60人，則（）

A.老年旅客抽到100人

B.中年旅客抽到20人

C.n~~200

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人數之和超過200人

答案AC

解析由題意，香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為5：2：3,

若青年旅客抽到60人，現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取〃名，

所以解得〃=200人，則老年旅客抽到60X^=100人，中年旅客

n5十2十33

2

抽到60X?=40人，則老年旅客和中年旅客人數之和為160.

8.為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高為

1.60m；從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50m.由此可估計我國13歲男

孩的平均身高為()

A.1.57mB.1.56m

C.1.55mD.1.54m

答案B

解析由題意知這500名13歲男孩的平均身高是

擊(1.6X300+1.5X200)=1.56(m).

二'填空題

9.假設要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的三聚鼠胺是否超標，現從800袋

牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，將800袋牛奶按000,

001,…，799進行編號，若從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，則得到

的第4個樣本個體的編號是(下面摘取了隨機數表第7行至第9行).

87421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

答案068

解析由隨機數表知，前4個樣本的個體編號分別是331,572,455,068.

10.某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，

60件.為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層隨機抽樣方法抽取了

一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則〃=

答案13

一377

解析依題意得而=]20+80+60,故"=13.

11.（2020?海南質檢）《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢

五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以

錢數多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢,

丙帶了180錢，三人一起出關,共需要交關稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，

則乙應出（所得結果四舍五入，保留整數）錢數為.

答案32

解析因為甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，

關稅共100錢.要按照各人帶錢多少的比例進行關稅.

則乙應付：560+350+180*350=32瓶小32錢.

12.某企業(yè)三月中旬生產4B,C三種產品共3000件，根據分層隨機抽樣的結

果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格.由于不小心，表格中4。產品的有關

數據已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得/產品的樣本容量比。產品的樣本容量多

10件，根據以上信息，可得C產品的數量是_______.

產品類別ABC

產品數量（件）1300

樣本容量（件）130

答案800

解析設4c產品數量分別為x件、y件，

fx+y+1300=3000,（_