串講05 第5章 函數(shù)概念與性質(zhì)（考點串講）-2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019必修第一冊）

蘇教版(2019)必修第一冊

數(shù)學

期中考點大串講串講

05第5章函數(shù)概念與性質(zhì)考場練兵典例剖析010203目

錄考點透視01考點透視考點1.函數(shù)的概念函數(shù)的定義一般地，設A，B是_______________，如果對于集合A中的____________，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有________________和它對應，那么就稱____________為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)的記法____________________定義域x叫做_________，x的______________叫做函數(shù)的定義域函數(shù)值與_________相對應的y值值域函數(shù)值的集合___________叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集非空的實數(shù)集任意一個數(shù)x唯一確定的數(shù)y知識點(1)函數(shù)的概念f：A→By＝f(x)，x∈A自變量取值范圍Ax的值{f(x)|x∈A}考點1.函數(shù)的概念(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可．[點撥]

(1)集合A，B是非空實數(shù)集，值域C?B.(2)函數(shù)的定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性．(3)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定就是解析式．(4)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號來表示函數(shù)．考點2.區(qū)間的概念(1)設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：①滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做__________，表示為__________；②滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做__________，表示為__________；③滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做______________，分別表示為______________．閉區(qū)間[a，b]開區(qū)間(a，b)半開半閉區(qū)間[a，b)，(a，b]考點2.區(qū)間的概念這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的_________．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為______________，“∞”讀作“_________”，“－∞”讀作“___________”，“＋∞”讀作“___________”．滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數(shù)x的集合，用區(qū)間分別表示為___________，_____________，_____________，_____________．端點(－∞，＋∞)無窮大[a，＋∞)負無窮大正無窮大(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)考點2.區(qū)間的概念區(qū)間數(shù)軸表示____________________________________(2)區(qū)間的幾何表示在用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示________________的端點，用空心點表示__________________的端點．包括在區(qū)間內(nèi)不包括在區(qū)間內(nèi)[a，b](a，b)[a，b)(a，b]考點2.區(qū)間的概念區(qū)間數(shù)軸表示____________________________________________________[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](3)含“∞”的區(qū)間的幾何表示(－∞，b)考點3.同一個函數(shù)的判定、常見函數(shù)的值域

如果兩個函數(shù)的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．

(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為______，值域是______．(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是______，當a>0時，值域為__________________，當a<0時，值域為____________________．定義域?qū)P系RRR考點4.函數(shù)的表示法(1)解析法：________________________________________．(2)列表法：________________________________________．(3)圖象法：________________________________________．[想一想]任何一個函數(shù)都可以用解析法或列表法表示嗎？用解析式表示兩個變量之間的對應關系列出表格來表示兩個變量之間的對應關系用圖象表示兩個變量之間的對應關系提示提示：不是．考點5.描點法作函數(shù)圖象的三個步驟(1)列表：先找出一些有代表性的自變量x的值，再計算出與這些自變量x相對應的函數(shù)值f(x)，并用表格的形式表示出來．(2)描點：把第(1)步表格中的點(x，f(x))一一在平面直角坐標系中描出來．(3)連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來．[提醒]

函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．考點6.函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達(1)函數(shù)單調(diào)性的概念____________________________________________叫做函數(shù)的單調(diào)性．(2)函數(shù)單調(diào)性的符號表達一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D：如果____________，當x1<x2時，都有___________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)_______．如果____________，當x1<x2時，都有___________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)_______．函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)?x1，x2∈If(x1)<f(x2)遞增?x1，x2∈If(x1)>f(x2)遞減考點7.增函數(shù)、減函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的_________上____________時，我們就稱它是增函數(shù)．當函數(shù)f(x)在它的_________上____________時，我們就稱它是減函數(shù)．[想一想]若函數(shù)f(x)在區(qū)間I?D上單調(diào)遞增，則此函數(shù)一定是增函數(shù)嗎？定義域單調(diào)遞增定義域提示提示：不一定．單調(diào)遞減考點8.單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上___________或__________，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)_________，________叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．[想一想]若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間一定是[1，3]嗎？提示提示：不一定．單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)性區(qū)間I考點9.函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足：?x∈D，都有f(x)____Mf(x)_____M?x0∈D，使得___________結論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的________f(x)圖象上最低點的_______≤≥f(x0)＝M

縱坐標縱坐標考點10.偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義

(1)偶函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果_________________________________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果__________________________________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．[點撥]

奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對函數(shù)定義域內(nèi)的每一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說函數(shù)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))．?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)考點11.偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征

(1)偶函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以________________________；反之，____________________________________________________．(2)奇函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________．[想一想]是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？y軸為對稱軸的軸對稱圖形如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形提示提示：存在．既奇又偶的函數(shù)有且只有一類：f(x)＝0，x∈D，且D是關于坐標原點對稱的集合．如果一個函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)考點12.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關系知識點1．若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性______．2．若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上_________，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性_______．3．若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為_____．4．若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為_____．以上a，b符號相同．單調(diào)遞增相同單調(diào)遞減相反－MN02典例透析考點1.函數(shù)關系的判斷答案解析【例題1】圖中①②③④四個圖形各表示兩個變量x，y的對應關系，其中表示y是x的函數(shù)的有________．解析：由圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的方法，可知當－1≤a≤1時，只有圖形②③與直線x＝a僅有一個交點，故可以表示y是x的函數(shù)的有②③.②③考點2.求函數(shù)的定義域考點2.求函數(shù)的定義域解考點3.求函數(shù)值域考點3.求函數(shù)值域解考點4.區(qū)間的應用【例題4】將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8，且x≠5}；(4){x|3<x<5}．解(1){x|x<2}可以用區(qū)間表示為(－∞，2)，用數(shù)軸表示如圖．解考點4.區(qū)間的應用(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用區(qū)間表示為(－1，0)∪[1，5]，用數(shù)軸表示如圖．(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用區(qū)間表示為[2，5)∪(5，8]，用數(shù)軸表示如圖．(4){x|3<x<5}用區(qū)間表示為(3，5)，用數(shù)軸表示如圖．解考點5.求函數(shù)的值域解考點5.求函數(shù)的值域解考點6.同一個函數(shù)的判定答案解析考點7.求抽象函數(shù)的定義域答案解析考點8.函數(shù)表示法解【例題8】某商場新進了10臺空調(diào)，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y(單位：元)之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．解：①列表法：x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000考點8.函數(shù)表示法解②圖象法：如圖所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考點9.函數(shù)圖象的作法及應用考點9.函數(shù)圖象的作法及應用解：(1)當x＝0時，y＝1；當x＝2時，y＝5.所畫圖象如圖①所示．(2)因為0≤x<5，所以這個函數(shù)的圖象是拋物線y＝x2－4x介于0≤x<5之間的一部分，如圖②所示．(3)函數(shù)圖象如圖③所示．解考點10.函數(shù)解析式的求法解考點10.函數(shù)解析式的求法解考點11.證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性證明考點12.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解考點13.函數(shù)單調(diào)性的應用【例題13】已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對稱軸為直線x＝2，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大?。猓河深}意知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝2，故f(1)＝f(3)，由題意知f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)．解考點14.函數(shù)單調(diào)性的應用【例題14】已知f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范圍．解考點15.利用圖象求函數(shù)最值【例題15】已知函數(shù)f(x)＝2|x－1|－3|x|.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象求其最值．解考點16.利用單調(diào)性求函數(shù)最值解考點16.利用單調(diào)性求函數(shù)最值解考點17.定軸定區(qū)間求函數(shù)最值解【例題17】已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，①若x∈[0，2]，求函數(shù)f(x)的最值；②若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值．解：①∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.考點17.定軸定區(qū)間求函數(shù)最值解考點17.定軸定區(qū)間求函數(shù)最值解考點18.函數(shù)最值的實際應用考點18.函數(shù)最值的實際應用解考點18.函數(shù)最值的實際應用解考點19.函數(shù)奇偶性的判斷解解：(1)f(x)的定義域是R，關于原點對稱，又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函數(shù)．考點19.函數(shù)奇偶性的判斷解考點20.奇、偶函數(shù)的圖象及應用答案解析【例題20】已知奇函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為__________________．解析：因為函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，從而得到y(tǒng)＝f(x)在[－5，5]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5)．(－2，0)∪(2，5)考點21.利用函數(shù)的奇偶性求值答案解析【例題21】已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，則f(1)＋g(1)的值為________．解析：由題意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1.－1考點22.利用奇偶性求函數(shù)解析式答案解析【例題22】已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當x>0時，f(x)＝________．x(x＋1)解析：當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以當x>0時，f(x)＝x(x＋1)．考點23.利用奇偶性與單調(diào)性比較大小答案解析【例題23】設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，若在區(qū)間[0，＋∞)上函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系為__________________．解析：由偶函數(shù)的單調(diào)性知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減．故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小，則函數(shù)值越?。遼－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．f(π)>f(－3)>f(－2)考點24.利用奇偶性與單調(diào)性解不等式解：∵f(x)為奇函數(shù)，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，即x的取值范圍為[1，3]．答案解析【例題24】已知奇函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)＝－1，求滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍．03考場練兵1．(2024·吉林長春十一高中高一上期中)如果函數(shù)y＝x2－2x的定義域為{0，1，2，3}，那么其值域為(

)A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝1－2＝－1；當x＝2時，y＝4－2×2＝0；當x＝3時，y＝9－2×3＝3，所以函數(shù)y＝x2－2x的值域為{－1，0，3}．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析6．若函數(shù)f(x)＝2x2－ax＋2在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[4，＋∞) D．(－∞，4]答案解析7．(2024·湖北黃岡高一上期末)若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定義在[2－2a，a]上的偶函數(shù)，則a－b＝(

)A．1 B．2C．3 D．4答案解析8．設f(x)是奇函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x3＋1，則當x∈(－∞，0)時，f(x)＝(

)A．x3＋1 B．x3－1C．－x3＋1