中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

§3.5二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

五年中考

考點1拋物線與線段長、面積、角度

1.（2021內(nèi)蒙古包頭,26,12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線片-*+4x經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸正半軸交于

點4點是拋物線上一動點.

⑴如圖1,當(dāng)初>0,/7>0,且/7=3/77時，

①求點用的坐標(biāo)；

②若點在該拋物線上，連接。儀是線段8例上一動點（點。與點例8不重合），過點。作

MO,交x軸于點。線段OD與欣7是否相等？請說明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點長點￡（%§在對稱軸上，當(dāng)。>2,帆0,且直線EM交x軸的負(fù)半軸于

點F時，過點/）作x軸的垂線,交直線EM于點N、G為y軸上一點，點G的坐標(biāo)為（0,，連接GF.若

￡74/V六=2幅求證:射線FE*'分KAFG.

E^\

CMS

圖2

解析⑴①：點M6,"）在拋物線上，且

臍+4<77=3/77,解得/77i=O（舍去），在=1,

.??/7=3,.?."1,3）.（2分）

②。。=的.理由如下：

.?點［澤y）在該拋物線上,

設(shè)直線MB交x軸于點〃，解析式為片向x+個氣*0),

(h+瓦=3,

J15..,15解得

i+b】=a，

3,15

.?片7戶手

當(dāng)y=0時,產(chǎn)5,.々5,0),；。力5.

過點用作用以x軸,垂足為R,

:.OR=y,MR=3,:.RH=^,

:.OH=MH,:.zHOM=zHMO.

:用|MO;，HOM=4HDC,/HM8ZHCD,

:.zHDC=zHCD,:.HD=HC,:.OD=MC.(7分)

⑵證明:；對稱軸為直線A=--4T；=2,

NX(-l)

???陪).

:EF+NF=2MF、"NF-MF=MF-EF、

:.MN=ME.

過點例作欣入x軸,垂足為Q,

.?.￡《|恤|妙.??暮=瞿:。徒04

令-*+4A=0,解得XI=0,A2=4,."./4(4,0).

.附2,0),Qm,0)「.z7>2=4-。,

.,.6=3..”-32+4X3=3,=M3,3).

設(shè)直線EV的解析式為片改x+如良*0）,

儼+尻/解得七=|，

（3攵2+02=3,

b2=1.

2

：.y=-x+1.

設(shè)直線EM交y軸于點S,過點S作SMG6垂足為P.

當(dāng)片o時，尸

當(dāng)y=0時,戶|,二.4-|,0）,「。4|,。母1.

?.G(0,y)..-.(9G=y,.-.<?S=y.

：zGPS=zGOF^90°tzPGS=zOGFf

.3GPS~GOF,:喘喘準(zhǔn)二三

設(shè)G尸=12a,貝ijPS=5a.

在RUGPS中,GP+PS=G8,

..(12a)2+(5句2=(同2

解得a=g（負(fù)值舍去）.

:.PS=1,:.PS=OS.

?.SaiG￡SQi/lE..射線FE平分/AFG.(12分)

注:各題的其他解法或證法可參照該評分標(biāo)準(zhǔn)給分.

2.（2021天津,25,10分）已知拋物線片a*-2aA+c（a,c為常數(shù)，分0）經(jīng)過點頂點為D.

（1）當(dāng)3=1時，求該拋物線的頂點坐標(biāo);

⑵當(dāng)a>0時，點￡(0,1+a),若唱2立。G求該拋物線的解析式；

⑶當(dāng)a<-1時，點過點C作直線/平行于x軸,M。，。)是x軸上的動點,M力'3,-1)是直線/上的動點.

當(dāng)a為何值時，尸帆￡W的最小值為2VTU?并求此時點M/V的坐標(biāo).

解析⑴當(dāng)a=1時，拋物線的解析式為片廬2對c.

,.拋物線經(jīng)過點0[0,-1),

:.0-0+c=-1,解得c=-1.

二拋物線的解析式為片m-2*1.

?片第-2￥1=(*1)2-2,

..拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-2).

⑵當(dāng)3>0時，

由拋物線片a*-2ax+c經(jīng)過點6(0,-1),可知c=-1.

二拋物線的解析式為片a*-2a*1.

二拋物線的對稱軸為直線片1.

當(dāng)A=1時，尸全1.

..拋物線的頂點。的坐標(biāo)為

過點。作。GL_T軸于點G.

在吊△?！?中,。俳1,&?=1+a(-a1)=2>2,

:.DB=Da+E&=^+(2a+2y.

在R3OCG中,。0=1。合-1-(-a1)=a,

:QO=DG+CG=1+彳.

或。G即。子=8。。，

.?.1+(2A2)2=8(1+a2),解得&=今/=|.

二拋物線的解析式為片會或片|廬3*1.

⑶當(dāng)a<-1時，

將點向左平移3個單位長度晌上平移1個單位長度得點0(-2,-a).

作點尸關(guān)于x軸的對稱點尸;得點尸的坐標(biāo)為(0,a1).

當(dāng)滿足條件的點例落在線段尸。上時，尸帆O/V最小，

此時,Z17!小。/V=尸。!=2VTU.

過點。作。以ry軸于點H.

在艮心F'D'H中，D'H=2,F'H=-a~Gl)=l-2a,

.?尸。2=尸以+。必=(i_2a)2+4.

又尸。2=40,即0-2a)2+4=4O.

解得a3="|,a4=；(舍).

.?.點尸的坐標(biāo)為(0,[),點0的坐標(biāo)為(々，3，

可得直線尸。的解析式為片-3年1.

當(dāng)y=0時,A=1O.

7lO11

66

.?點例的坐標(biāo)為(1,0),點AZ的坐標(biāo)為仁,-1).

3.(2020新疆,23,13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，拋物線片a*+/?A+c的頂點是力(1,3),將

04繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到08,點6恰好在拋物線上,08與拋物線的對稱軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)戶是線段4?上一動點，且不與點4c重合，過點尸作平行于x軸的直線，與AQ48的邊分別交于例/V兩點,

將例2以直線/VW為對稱軸翻折，得到△力網(wǎng).設(shè)點尸的縱坐標(biāo)為m.

①當(dāng)4/71W在內(nèi)部時，求力的取值范圍;

②是否存在點尸，使S7幅尸Js.aw?若存在，求出滿足條件的）的值;若不存在,請說明理由.

O

解析（1）過點/作/ay軸，垂足為點2過點8作gX軸，垂足為點E.

則N。以=N0390；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OB,zAOB=90°,

:.zAOCh-zAOE=zBOE+zAOE=9C。、

./AOD=zBOE、

(zODA=zOEB,

在△ZOO和△8CE中,NAOO=zBOE,

[OA=OB,

.?.△/。雇8。且AAS),

:.OD=OE,AD=BE,

>

?二41,3),:.BE=AD=\1OD=OE=3i

.?點8的坐標(biāo)為(3,-1),

:拋物線y=ax^+bx+c的頂點是-4(1,3),

二片**1)2+3,

把33,-1)代入，解得k-1,

.?產(chǎn)-(*1尸+3,

:.y=-xi+2x+2.

⑵①拋物線的對稱軸為A=1,4(1,3),^1,m),根據(jù)翻折可知AP=A寧則41,2/77-3),

由鳳3,-1)可求得直線08的解析式為尸2%貝c(l,q),

.,.*2力3<3,解得g</7?<3.

②存在.

由力(1,3)和耳3,-1)可求得直線04和的解析式分別為片3x和片-2心5.

情況一：當(dāng)*/77<3時，如圖所示.

政梟m)，M等,檸*=*=等.

.?6必”櫛S以“舄?做\"后：?吟電(35=整二

/LO1Z

-S^oA'^S^oA,c}-S^BA,cF^A,C-Xci-^A,C-(x&-Xc)=^A,C3=^(2m-^-3=3f7T-4.

.：S，A.M啟"。AB

.5(3-m)2=5(3m-4)

一~126~，

.?./77產(chǎn)6+舊(舍去),牝二6?舊,

/./77=6-V19.

情況二:當(dāng)0工/77<券寸，如圖所示.

2

由情況一得s：芳粵L

:41,?J,.,.4C^g-2Z77,

?-S^OA'B=S^OA'c^SaBA'C^A'C^3=^XQ-2m)x3=4-3/77.

-S^A'MN^S^OA'B.

o

.5(3-m)2_5(4-3m)

*,-126-，

：./7^+1=0,無解.

情況三:當(dāng)［</7?<0時，如圖所示.

：S、A，M后S.AM*例AM胃?警?（3切=（5+57）（3叫

由情況二得$04,4-3/77,

.(54-5m)(3-m)_5(4-3m)

S-A"0.0A，B,.?46-

6+病/仝土、6-^9

..川產(chǎn)一^―（舍去），利二三一?

?i-歷

../77——

綜上所述的值是6-g或等.

解后反思本題考查了二次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)與翻折變換，綜合性較強(qiáng)，計算能力要求較高.在分析、解決問題時，要

注意挖掘已知條件，充分利用圖形變換的性質(zhì)解題.（2）的②中涉及分類討論，在處理用含力的代數(shù)式表示點坐

標(biāo)、線段長度和三角形面積時要細(xì)心.

4.（2020山西,23,13分）如圖,拋物線尸與x軸交于48兩點（點力在點8的左側(cè)），與y軸交于點C.直

線/與拋物線交于4。兩點，與y軸交于點￡點。的坐標(biāo)為（4,-3）.

⑴請亶掾?qū)懗?8兩點的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點尸是拋物線上的點，點尸的橫坐標(biāo)為雙欣0),過點尸作尸牝x軸,垂足為例尸例與直線/交于點兒當(dāng)

點2是線段尸例的三等分點時，求點尸的坐標(biāo)；

⑶若點Q是y軸上的點,且〃。Q=45；求點。的坐標(biāo).

解析⑴4-2,0)百6,0),直線/的函數(shù)表達(dá)式為尸(3分)

詳解:令%2*3=0,得廬4*12=0,

，(*6)(x+2)=0,，Xi=-2,茲=6.

/.A-2.0),5(6,0).

設(shè)直線/的函數(shù)表達(dá)式為片質(zhì)W枚0),把4-2,0),以4,-3)代入得｛消;/二;解得｛：=；，

.?.直線/的函數(shù)表達(dá)式為片■*!.

(2)如圖,根據(jù)題意可知，點尸與點/V的坐標(biāo)分別為

ni^-ni-31=--/772+/77^3,—zn-11=—.NP^^-—7n^-7n-3^=~/T^+—Z77+2.

分兩種情況：

①當(dāng)尸/必=3/VW時彳導(dǎo)―冊+辦3=3（；m+1）.（4分）

解得/771=0,頃=-2(舍去).

當(dāng)/77=0時[加-Z7>3=-3.

，點尸的坐標(biāo)為(0,-3).(5分)

②當(dāng)尸/W=3/V尸時彳導(dǎo)一旅+初3=3([m2+々6+2).3分)

解得/771=3,佗=-2(舍去).

當(dāng)m=3時

44

二.點尸的坐標(biāo)為(3,耳).

..當(dāng)點/V是線段尸例的三等分點時，點尸的坐標(biāo)為(0,-3)或(3,4).(7分)

(3)?.直線尸川與y軸交于點E,

二點￡的坐標(biāo)為(0,-1).

分兩種情況:①如圖，當(dāng)點。在y軸正半軸上時，記為點Qi.

過點Q作直線/,垂足為〃則N的g/力。m90：

■.zQEH=zAEO,：AQIH『AOE.

.?號皆照即早當(dāng)」.Q力2H￡(8分)

AUUEL1

又；zQ、DH=45°RHD=90;

:.zHQ、l>，Q\DH=45°.

:.DH=QyH=2HE.:.HE=ED.(9分)

連接CR:點。的坐標(biāo)為(0,-3),點。的坐標(biāo)為(4,-3),

..CDJJZ軸二￡D=，EC2+CD2=1[-1-(-3)]2+42=2V5.

2222

：.HE=2yf5,Oi+4后二。1E=y/HE+QrH=J(2V5)+(4>/5)=10.

.QQi=Q6Oei0-1=9,二.點Q的坐標(biāo)為(0,9).(10分)

②如圖，當(dāng)點。在y軸負(fù)半軸上時，記為點02.

過點Q作Q2直線/,垂足為G.^\ZQ2GE=ZAOE=90°,

Ji

:應(yīng)E3cAEO、:.gGEfAOE.

.?第=弟即竽斗」.QG=2EG（11分）

又zQ。合45。，/ChGD=90°,

:.zDQG=qDG=45°.

:.DG=QzG=2EG.:.ED=E&-DG=3EG.（12分）

由①可知,￡。=2近:3日笑2花..￡。=竽.

；.QG*.￡Q力EG?+Q2G2=J（竽『+（竿）=y.

..OQ=gfQ=1+學(xué)考.

..點Q的坐標(biāo)為（0,-孩）.

二點Q的坐標(biāo)為。9）或（0,—）.（13分）

方法總結(jié)與二次函數(shù)有關(guān)的解答題中涉及線段長度或最值問題時一般采用坐標(biāo)法，就是以坐標(biāo)系為橋梁,

通過坐標(biāo)把線段轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算解決問題，同時注意分類討論思想的應(yīng)用.

難點突破本題第（3）問注意分類討論.當(dāng)點。在y軸正半軸上時，記作Qi,作直線/于〃構(gòu)造△Qi心△

當(dāng)點。在y軸負(fù)半軸上時，記作Q,作QGi直線/于G,構(gòu)造然后根據(jù)相似比和勾股定

理進(jìn)行解答.

考點2拋物線與特殊三角形、特殊四邊形

1.（2021山西,23,13分）綜合與探究

如圖,拋物線尸，+2*6與x軸交于兩點（點A在點6的左側(cè)），與y軸交于點C連接AC.BC.

(1)求48,C三點的坐標(biāo)并直接寫出直線4GBe的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點尸是直線力。下方拋物線上的一個動點，過點尸作8c的平行線/交線段于點D.

①試探究:在直線/上是否存在點￡使得以點為頂點的四邊形為菱形，若存在,求出點￡的坐標(biāo);若不

存在,請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點例與直線ZC交于點N.當(dāng)SQ/AFSZOC時，請直接寫出。例的長.

解析⑴當(dāng)片。時,#+2￥6=0,解得必=-6,及=2.

?.點Z在點8的左側(cè)，

.?點4的坐標(biāo)為(-6,0),(1分)

點8的坐標(biāo)為(2,0).(2分)

當(dāng)A=0時，尸-6,.?.點。的坐標(biāo)為(0,-6).(3分)

直線/4C的函數(shù)表達(dá)式為片-*6.(4分)

直線8C的函數(shù)表達(dá)式為片3*6.(5分)

⑵①存在.設(shè)點。的坐標(biāo)為(加,-/7>6),其中-6<必0.(6分)

?.點8,點C的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,-6),

222222222

.?.5Z3>=(/7?-2)+(/77i-6),SC=2+6=40>Z?C=/77+/77=2/7^.

:DE^BC,

,當(dāng)8c時，以2c8,￡為頂點的四邊形是平行四邊形.

如圖1,當(dāng)868C時BOEC是菱形.

.?.（92）2+（辦6）2=40.（7分）

解得/77I=-4,g=0（舍去）,

，點。的坐標(biāo)為（-4,-2）.

.?.點￡的坐標(biāo)為（-6,-8）.（8分）

如圖2,當(dāng)C0=C8時,是菱形二2方=40.（9分）

解得/771=2/5,佗=2百（舍去）.

，點。的坐標(biāo)為（-2遍,2遍-6）.

，點￡的坐標(biāo)為（2-2遙,2遙）.（10分）

綜上所述,存在點￡使得以。,8。石為頂點的四邊形為菱形，且點￡的坐標(biāo)為（-6,-8）或（2-2遍,2遍）.

②3m.（13分）

詳解:由題意知，拋物線的對稱軸為直線A=-2.

設(shè)直線。射的解析式為y=3x+k,

當(dāng)x=-2時，片-不6=-4,.,.點/V的坐標(biāo)為（-2,-4）,

當(dāng)A=-2時，%3x+A=-6+Q.點例的坐標(biāo)為(-2,-6+向，

當(dāng)點。在點AZ下方時,-6<上2,

令“6=3x+匕解得產(chǎn)竽，即點。的橫坐標(biāo)為竽，

點°到直線4W的距離為受(-2)=等4，

..例2=-4-(-6+向=2-匕

;50“桁2*(2-4).(-號+gASa/ioc^xGxG,

化簡得(2/2=144,解得任-10(舍)或任14(舍)，

當(dāng)點。在點/V上方時,2<%<18,點。到直線例/V的距離為-2/==+4例/3-6+卜(-4)=卜2,

.ISOMAFT(k2>(-g+IASA/IOC^XGXG,

化簡得(卜2)2=144,解得依-10(舍)或A=14,

，點。的坐標(biāo)為(-5,-1),點例的坐標(biāo)為(-2,8),

:.DM=>/32+92=3V10.

解后反思與二次函數(shù)有關(guān)的解答題中涉及線段長度時(本題第(3)問)一般采用坐標(biāo)法，就是以坐標(biāo)系為橋梁,

通過坐標(biāo)把線段轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算解決問題，同時注意分類討論思想的應(yīng)用.

2.(2021重慶A卷,25,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線片*經(jīng)過點4。，-1)，筑4,1).直線48交

x軸于點C,戶是直線力8下方拋物線上的一個動點.過點尸作尸?！?,垂足為，尸&x軸，交48于點E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)△尸莊的周長取得最大值時，求點尸的坐標(biāo)和△尸?！曛荛L的最大值；

(3)把拋物線片/+加什c平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點尸.例是新拋物線上一點,/V是新拋物線對

稱軸上一點，直接寫出所有使得以點48,例/V為頂點的四邊形是平行四邊形的點例的坐標(biāo)，并把求其中一個

點例的坐標(biāo)的過程寫出來.

解析(1),.拋物線**+6心。經(jīng)過點力(0,?1),點

8(4,1),

弋二小』解叱

..該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為片*$g.(2分)

(2)耶,-1),8(41)，

..直線48的函數(shù)表達(dá)式為尸*1.

.?.0(2,0).

設(shè)"tZ-gt-i),其中0<M.

?.點￡在直線片*1上，陽x軸，

-71,t^--t-l\

:.PE=-2f+8t=-2(t-2y+8.

.PDLAB,

aPD—AOC.

:AO=tOC=2,

：.AC=\TS.

..“OC的周長為3+V5.

令△尸。打的周長為/,則解=翌.

IPE

.?./=^|i^-[-2(A2)2+8]=-^y^(A2)2+^+8.

.?.當(dāng)(=2時，△尸的周長取得最大值，最大值為竿+8.

此時點少的坐標(biāo)為(2,-4).(6分)

⑶如圖所示，滿足條件的點例的坐標(biāo)有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為六寵-4x,對稱軸為直線A=2.

①若48是平行四邊形的對角線，

當(dāng)例V與48互相平分時,四邊形4A坦用是平行四邊形，

即做V經(jīng)過的中點Q2.0).

?.點A/的橫坐標(biāo)為2,

二點〃的橫坐標(biāo)為2,

二點用的坐標(biāo)為(2,-4).

②若48是平行四邊形的邊，

i.當(dāng)MN\48時,四邊形/8/V例是平行四邊形.

，口4,1),點/V的橫坐標(biāo)為2,

二點例的橫坐標(biāo)為2-4=2

，點例的坐標(biāo)為(-2,12).

ii.當(dāng)NM48時,四邊形例/V是平行四邊形.

,.71(0,-1),筑4,1),點/V的橫坐標(biāo)為2,

二點例的橫坐標(biāo)為2+4=6.

點例的坐標(biāo)為(6,12).(10分)

3.(2021四川南充,25,12分)如圖，已知拋物線片a*+，x+4(K0)與x軸交于點力(1,0)和8,與y軸交于點C,

對稱軸為直線片|.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸是線段8c上的一個動點(不與點8,C重合)，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點Q連接

OQ當(dāng)線段尸。長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是0c的中點，過點。的直線與拋物線交于點E且.在y軸上是否

存在點E使得守為等腰三角形？若存在，求點尸的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

0^

圖1

//1B

0^

圖2

a+b+4=0,

解析(1)根據(jù)題意，得_b__5（2分）

~2a-2）

解得a=1,d=-5,.,.拋物線的解析式為片*-5/4.（3分）

(2)四邊形OCPQ是平行四邊形.理由如下:

易知筑4,0),Q0,4);直線8c的解析式為片-x+4.(4分)

?.點尸在線段8c上；設(shè)什4)(0<K4),

又尸Q"軸,..QW-5什4）（0<￡4）.（5分）

.?.尸0=（-什4）-儼-5-4）=￥+4+-（62）2+4.

當(dāng)*2時,線段尸。最長，為4.(6分)

,.。(>4,..。0尸。..01尸。,，四邊形OCPQ是平行四邊形.(7分)

(3)在y軸上存在點￡使得&■為等腰三角形.理由如下：

.00,4),。是。。的中點;以0,2).

由(2)知Q2,-2)日2,2),

:PQ^OC,:.zODQ=zPQD.

：zDQE=2nODQ=2zPQD,:.zPQD=/PQE.

二點0(0,2)關(guān)于PQ的對稱點為M4,2).(8分)

直線Q￡過點M4,2)和Q2,-2),二.直線QE的解析式為片2*6.

?.點￡是直線Q￡與拋物線片*-5x+4的交點，

:.且5,4).(9分)

假設(shè)存在p軸上的點80,/77),使尸為等腰三角形.

①若BF=EF^8#=￡尸,則42+芯=52+(4切2,解得。=失.《0年).(10分)

②若8/三即8/=8日,則42+方=(5-4/+42,解得*±1,;.&0,1)或80,-1).(11分)

③若后三即ER=BB,

則52+(4-/77)2=(54)2+42,

化簡得方-8辦24=0/=-32<0.

二方程無解,因此在y軸上不存在點E使EF=BE.

綜上所述，在y軸上存在點￡使得為等腰三角形.點尸的坐標(biāo)為(0,?或(0,1)或(0,-1).(12分)

思路分析⑴根據(jù)點”在拋物線上及對稱軸方程可求a,々(2)由拋物線方程可求點8和點C的坐標(biāo)，由待定

系數(shù)法可求直線8c的解析式，從而可設(shè)尸點坐標(biāo),再根據(jù)尸Q"軸彳導(dǎo)到。點坐標(biāo)，可得尸Q的長與，的關(guān)系，

由此確定尸Q長度的最大值，進(jìn)一步即可判斷;(3)首先根據(jù)(2)及尸QQC與推出/尸。。=/尸?！?/p>

從而求出點。關(guān)于尸。的對稱點例的坐標(biāo)，再求￡點坐標(biāo)然后分三種情況:①上斤；②8房8￡③曰三8￡分

別求解.

難點突破第(3)問的突破口是求出￡點坐標(biāo)，則需求出E點所在的直線解析式，策略是根據(jù)尸QQC與工

。。昆2/ODQ推出/尸。。=/尸。二說明點。關(guān)于尸。的對稱點用在QE上，這樣由點Q、例的坐標(biāo)即可求出

直線QE的解析式，而點￡是直線QE與拋物線的交點石點坐標(biāo)可求.

4.(2020湖北武漢,24,12分)將拋物線C尸(*2)2向下平移6個單位長度得到拋物線G,再將拋物線G向左

平移2個單位長度得到拋物線G.

(1)直接寫出拋物線S,Q的解析式；

(2)如圖1,點Z在拋物線G(對稱軸/右側(cè))上，點8在對稱軸/上是以08為斜邊的等腰直角三角形,

求點力的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線片例依0,4■為常數(shù))與拋物線C交于E尸兩點〃為線段守的中點;直線尸qx與拋物線G

交于G,〃兩點,A/為線段GH的中點.求證:直線*經(jīng)過一個定點.

解析⑴拋物線G：片住2)2-6,拋物線G：廣*6

⑵如圖1,設(shè)點則n=m^-4m-2.

當(dāng)點/在x軸上方時,

過點力作力RLX軸，過點8作8Q148垂足分別為P、Q.

“048是以08為斜邊的等腰直角三角形，

:.^ABQ^^OAP.:.BQ=AP=n,AQ=OP=m,:.m=m2.

聯(lián)立1：二熬篇解需:/或仁：’(不合題意，舍卻

.乂(5,3).

如圖，當(dāng)點4在x軸下方時，同理求得/4(4,-2).

綜上，點A的坐標(biāo)是(5,3)或(4,-2).

⑶證明:由仁義消去乂

得*?4*6=0,

:.xjx產(chǎn)k.

??①為線段E廠的中點，

將切力沿EF方向平移與MF重合,

1,,Xk

..XM-xe=x^xM,：.xnF-(x^-XF)=-.

，點用的坐標(biāo)是由分

同理得點/V的坐標(biāo)是(卡,卻

/k

萬=2-

82

設(shè)例AZ的解析式為片ax+b,則《b

_=-Q+

必k

(Y-4

解得°=工，

5=2.

二例/V的解析式為廣空x+2.

，當(dāng)齊0,4為任意不等于0的實數(shù)時，總有片2,即直線屈/V過定點(0,2).

思路分析(1)根據(jù)平移的規(guī)律可求G,Q的解析式.(2)先設(shè)4加,〃),再分兩種情況:①點力在x軸上方時，過點

/作/尸LX軸，過點8作8QL4尸，垂足分別為8Q,先利用是等腰直角三角形證明“86人。4月,由此推

出m=n+2,與/7=mM/7>2聯(lián)立，解出力,〃,即得/點坐標(biāo);②點/在x軸下方時，同①可求出另一個力點坐標(biāo).(3)

根據(jù)直線片例枚0,4為常數(shù))與拋物線Q交于￡尸兩點，聯(lián)立兩個解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)

根與系數(shù)的關(guān)系求出點例的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，同理求出點/V的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線做V的

解析式，從而證明直線過定點即可.

解題關(guān)鍵抓住△048是等腰直角三角形證明”!86人04戶，并由此推出勿、〃之間的關(guān)系是求出點力的關(guān)

鍵.

易錯警示只考慮點/在x軸的上方而忽略點A在x軸的下方這種情況是解答本題易犯的錯誤.

考點3拋物線與全等三角形、相似三角形

1.(2021湖北黃岡,24,12分)已知拋物線y=a^+bx-3與x軸相交于41。)，仇3,0)兩點，與y軸交于點G點

M〃Q)是x軸上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若k3,過點AZ作x軸的垂線交拋物線于點尸,交直線8c于點G,過點尸作尸a8c于點。，當(dāng)〃為

何值時，△尸。叵

(3)如圖2,將直線8c繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段。。的中點，然后將它向上平移|個單位長度彳導(dǎo)到

直線OBi.

①tan/808k;

②當(dāng)點/V關(guān)于直線OBy的對稱點N、落在拋物線上時，求點/V的坐標(biāo).

解析⑴?.拋物線y=ax^+bx-3與x軸相交于力(10),用3,0)兩點,

(a-b-3-0,解得強(qiáng)=1,

"l9a+3b-3=0,lb=-2.

..拋物線的解析式為尸*-2*3.

(2)由口0,-3),33,0,得OB=003,511]zOBC=zOCB=45°,

..△8/VG與△尸。G都是等腰直角三角形.

筑3,0),

:.NB=3-n=NG,BG=V2(3-n).

:^PD^BNG,:.PG=BG=y[2^-n),

.32=3-/74?迎(3-〃).

:點尸在拋物線上二坐標(biāo)為(〃,必2/>3),

:.3-n+'/2(3-h)=-n^+2m3,

解得后3(舍去)或n=V2.

，當(dāng)n=也吐“PD*BNG.

（3）①設(shè)0c的中點為S,易知5（0,-|）,連接BS.

將直線8s向上平移|個單位長度彳導(dǎo)到直線OBi,

"BOB-OBS.

3

/.tanz808產(chǎn)tannOBS=^=^=^.

OB32

故答案為今

②連接/VM,設(shè)直線NNi交直線OB,于點H.

?.點，和點Ni關(guān)于直線OB.對稱,

：/OHN=90°,NH=NiH.

過點〃作“Alx軸,垂足為K眥&KO4KHN,

:ianzBOB^=tanzKOH=tanzKHN=-.

設(shè)止勿,則HK=2m,OK=^m.

當(dāng)點，在點。右側(cè)時,

OK+KN=4"汁/77=",解彳導(dǎo)/77=/

.?點”的坐標(biāo)為償片）

一.點/V的坐標(biāo)為（〃,0）,.?.點M的坐標(biāo)為（段,?）.

將點Ni的坐標(biāo)代入拋物線解析式得傳;2.營3專,整理得9戶50尸75=0,

由I日25+10713-^_25-10g/仝土、

解得n=——-——或77=---（舍去）.

當(dāng)點2在點。左側(cè)時，同理可求得后智紀(jì)

...點A/的坐標(biāo)為（歿組0）或（生等,o）.

一題多解設(shè)直線OBy的解析式為尸例依0）,代入點B的坐標(biāo)（3,|）得仁宏?.直線。8的解析式為片父.

.7\//\/仕。8".設(shè)直線A/M的解析式為y=-2x+s.

將乂/7,0）代入片-2x+s得5=2/7,即直線NNi的解析式為y=-2x+2n.

令-2x+2/7=gx,解得片￡二.六荻=￡,.,.點”的坐標(biāo)為（冷片）.

?.點/V的坐標(biāo)為（/7,0）,.?.點Ni的坐標(biāo)為償事）.

2

將點M的坐標(biāo)代入拋物線解析式得償）-2毛-3岑,整理得9^-50/7-75=0,

解得方雙磐或萬安里.

..點A/的坐標(biāo)為（歿空0）或（出當(dāng),o）.

2.（2021陜西,25,8分）已知拋物線y=-x^+2x+8與x軸交于點4筑點力在點6左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求點8、。的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點C與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點只使△尸CC與△尸08相似，且PC與PO

是對應(yīng)邊？若存在，求點尸的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解析⑴令片。則-*+2盧8=0,

:.用=-2,及=4,

.-.5（4,0）.（2分）

令片0,則片8;。0,8）.（3分）

（2）存在.由已知得，該拋物線的對稱軸為直線片1.

:點。與點C關(guān)于直線片1對稱,.C（2,8）,CCM2,CC||OA

?.點尸在y軸上二/尸CCL尸出90°,

??當(dāng)言=嘉時，△尸尸08（4分）

設(shè)僅0,力,

i）當(dāng)先8時WW，.?片16.

.-.^0,16）.（6分）

ii）當(dāng)0＜六8時?=：，；.%竽

.X°'T）-（7分）

iii）當(dāng)六。時,CQOR與意弓矛盾，

，點戶不存在.

..存在點尸，且尸點坐標(biāo)為（0,16）或（0與.（8分）

3.（2020陜西,24,10分）如圖,拋物線片解+bx+c經(jīng)過點（3,12）和（-2,-3）,與兩坐標(biāo)軸的交點分別為4￡G它的

對稱軸為直線/.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）尸是該拋物線上的點，過點尸作/的垂線,垂足為D,E是/上的點.要使以P、D、E為頂點的三角形與A/OC

全等，求滿足條件的點尸，點E的坐標(biāo).

解析⑴由題意圖:解之得《二

.?/*+2*3.（3分）

⑵由⑴可得,對稱軸/為直線A=-1.

令片0,則*+2*3=0,解之彳導(dǎo)%1=-3,

^2=1.

,4-3,0),筑1,0).

令片0,貝|Jy=-3.:.C[0,-3).:.OA=OC=3.(6分)

：zPDE=zAOC=QQ:

.?.當(dāng)PD=DE=3時，△尸￡沱與A/IOC全等.

設(shè)Rm,力,當(dāng)點、尸在/右側(cè)時0(-1)=3.

.-./77=2..-./7=22+2X2-3=5..-./^2,5).

..旦-1,2)或且-1,8).(9分)

當(dāng)點尸在/左側(cè)時，由拋物線的對稱性可知,夕-4,5)也滿足條件.

相應(yīng)的點￡的坐標(biāo)同上.

,滿足條件的點尸，點E的坐標(biāo)為何2,5)或H-4,5)，T12)或￡(-1,8).(10分)

疑難突破(1)求拋物線的表達(dá)式，可利用待定系數(shù)法列方程組解答.(2)由題意及圖象可知△力OC為直角三角

形,通過計算得知04=003,因此A/OC為等腰直角三角形，所以以尸、D、E為頂點的三角形與A/OC全等,

即PD=DE=3時滿足條件,所以對尸點位置進(jìn)行分類討論(點尸在/右側(cè)和左側(cè)),可以結(jié)合拋物線的對稱性進(jìn)

行說明.

4.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知拋物線片ax2+b/c與x軸交于/(-1,0),筑4,0)

兩點，與y軸交于點。0,-2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接ZR8C交于點￡連接8。,記的面積為SI,A/18E的面積

為求3的最大值；

(3)如圖2,連接4G8G過點。作直線48G點尸,。分別為直線/和拋物線上的點.試探究:在第一象限是否存

在這樣的點尸,Q使AQQ8-AC18若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解析

.?拋物線的函數(shù)表達(dá)式為月廬|*2.

解法二:M(-1,0),鳳4,0)在拋物線上,

b-1+43.,o

2a22

,.。0,-2)在拋物線上二.廣-2,「.片日*-3，*2,

將(-1,0)代入片方*-3分2得^=2,

..拋物線的函數(shù)表達(dá)式為片發(fā)吟心

(2)過點8作4。邊上的高8〃過點。作。ax軸于點G,

交8c于點￡過點A作4ax軸，交8c的延長線于點K,

S1_^DEBH_DE_DF

S^AEBHaeak

?.?5(4,0),6(0,-2),

???直線6c的表達(dá)式為^x-2,

當(dāng)A=-1時，*~|,.二/4七|.

設(shè)￡^m,1m2-|m-2^（0</77<4）,

:.DF=^m^+2m,

2/+2機(jī)

.￡1=5二./+金〃7=3（/7>2）2+&

3一2

,.0</77<4,

.?.當(dāng)777=2時,各取最大值:

5

(3)存在.

由⑵可得直線/的表達(dá)式為尸如設(shè)^m,y)(m>0).

①當(dāng)點尸在直線8Q右側(cè)時，如圖，過尸作耽LX軸，過。作QMLNP交A/尸的延長線于M,

則nQMP=nPNB=g。:易知nQPB=zA密90°,

QPM^/MQP=90:/QPM^nBPN=90°,

;.ZMQP=ZNPB,：AQPM-xPBN、

.QP=MP_QM

…麗一而一而

"PQB~力8,堪嚕=*；,

BPBC2V52

:.MP=^BN=^m-2,MQ=^NP^,

將。的坐標(biāo)代入片權(quán)22欠2中相/77=y（/77=O舍去）,

②當(dāng)點尸在直線8Q左側(cè)時，由①的方法同理可得0（|m,2）,

此時千*，手）

綜上，在第一象限存在符合條件的點RQ所有符合條件的點尸的坐標(biāo)為（竽，等）,（竺等，手）.

考點4二次函數(shù)在實際生活（生產(chǎn)）中的應(yīng)用

1.（2020山西,9,3分）豎直上拋物體離地面的高度A（m）與運動時間《s）之間的關(guān)系可以近似地用公式

/P-5A+4件為表示，其中"（m）是物體拋出時離地面的高度,％（m/s）是物體拋出時的速度.某人將一個小球從

距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

答案C由已知可得4=20m/s,為=1.5m,則/T=-5"20什1.5（介0）星圖象的對稱軸方程為-7^=2,圖象

2X（-5）

開口向下,.?.當(dāng)t=2時,力最大，為-5x22+20x2+1.5=21.5,故選C.

2.（2020遼寧營口,24,12分）某超市銷售一款‘免洗洗手液"，這款'免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當(dāng)銷售單

價定為20元時，每天可售出80瓶.根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售.市場調(diào)查反映:銷售單價每降低0.5元，則每

天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設(shè)這款“免洗洗手液”的銷售單價為A（元），每天的銷售量為乂瓶）.

（1）求每天的銷售量乂瓶）與銷售單價M元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大,最大利潤為多少元？

解析⑴片80+20、鬻，（3分）

.?產(chǎn)-40x+880（危16）.（4分）

（2）設(shè)每天的銷售利潤為加元，（5分）

”（-40*+880）（*16）（7分）

=-40（^19）2+360.（8分）

,.,年-40<0,.1二次函數(shù)圖象開口向下,

有最大值.（10分）

:.A=19時,%最大，此時w最大值=360.（11分）

答:當(dāng)銷售單價為19元時,每天的銷售利潤最大，最大利潤為360元.（12分）

易錯警示在解決第（2）問時,要檢驗x的取值是否在取值范圍內(nèi)，如果不在，要結(jié)合函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷.

3.（2020內(nèi)蒙古呼和浩特,24,12分）已知某廠以7小時汗克的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求0.KW1）,

且每小時可獲得利潤60（-3t+|+1）元.

（1）某人將每小時獲得的利潤設(shè)為y元，發(fā)現(xiàn)M時，片180,所以得出結(jié)論:每小時獲得的利潤最少是180元.他

是依據(jù)什么得出該結(jié)論的？用你所學(xué)數(shù)學(xué)知識幫他進(jìn)行分析說明；

（2）若以生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤1800元的速度進(jìn)行生產(chǎn)，則1天（按8小時計算）可生產(chǎn)該產(chǎn)品多少千克？

（3）要使生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問:該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.

解析（1）依據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

由已知得尸60卜31+,+1）,當(dāng)Q時，尸180,

?.當(dāng)0.1<^1時,,隨/的增大而減小,-3/也隨f的增大而減小，

，3注1的值隨/的增大而減小，

二片60（-3t+：+1）隨/的增大而減小，

，當(dāng)M時/有最小值，為180,

.?他的結(jié)論正確.

⑵由題意可得6093t+,+l）x2=1800,

整理得-3814什5=0,

解得《或￡-5（舍），

經(jīng)檢驗,是原方程的解且符合題意.

故該廠以耳、時汗克的速度勻速生產(chǎn)產(chǎn)品，

則1天(按8小時計算)可生產(chǎn)該產(chǎn)品80=24千克.

⑶由題意知生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品，需要680f小時,設(shè)生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤為“元，則

“680F60(-3t+；+1),

整理得“40800(-3/+"5),

當(dāng)￡時，〃取最大值，為207400.

6

故該廠應(yīng)該選取1小時汗克的生產(chǎn)速度，最大利潤為207400元.

4.(2021廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū),24,10分)2022年北京冬奧會即將召開,激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖

是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點力作水平線的垂線為y軸，建

立平面直角坐標(biāo)系,圖中的拋物線G：尸《*+1+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點。正上

方4米處的/I點滑出，滑出后沿一段拋物線Q:片O運動.

(1)當(dāng)運動員運動到離力處的水平距寓為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線Q的函數(shù)解析式(不要求寫

出自變量x的取值范圍)；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距寓為1米？

(3)當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求。的取值范圍.

解析⑴由題可知拋物線0:片4*+斯+6過點(0,4)和(4,8),將兩點坐標(biāo)代入Q中，解得廣4,/>4

oZ

拋物線的解析式為片=*+3+4.

oZ

(2)設(shè)運動員運動的水平距離為777米時，與小山坡的豎直距離為1米.

依題意得,［加辦4-(。/+；+1)=1,

oL\1ZO7n/

.,.(/7>12)(/7^4)=0,

解得利=12,佗=-4（舍），

..運動員運動的水平距離為12米時，與小山坡的豎直距離為1米.

⑶由G：尸拉+法1得，片（（*7）2埸

二.小山坡坡頂坐標(biāo)為（7用.

將（0,4）代入Q得,c=4,則Q:尸J/+bx+4,

將x=7代入C得，片冬72+794,則y=-^-+7b,

2OO

依題意得,卷+7婢＞3,

o1Z

.245.35

門6五；6大

三年模擬

A組基礎(chǔ)題組

解答題（共50分）

1.（2021遼寧本溪二模,23）某種商品的進(jìn)價為40元/牛，以獲利不低于25%的價格銷售時，商品銷售價乂元勝）

與銷售數(shù)量4件）（x是正整數(shù)）之間的關(guān)系如表：

M件）5101520

火元件）75706560

（1）由題意知商品的最低銷售價是元.當(dāng)銷售價不低于最低銷售價時/是x的一次函數(shù)，求出y與x

的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；

（2）在（1）的條件下,當(dāng)銷售價為多少元時，所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

解析⑴40（1+25%）=50,

設(shè)y=kx+b,k^G,

根據(jù)題意得說二器

解得4=1/80,

:.y=-x+80,

根據(jù)題意得儼）幺、5且x為正整數(shù),

"X十oUNJU,

，030,x為正整數(shù)，

..片-x+80(0</30,且x為正整數(shù))，

故答案為50.

(2)設(shè)所獲利潤為尸元，根據(jù)題意得

丹儼40>>(=(-*+80_40)%=-(*20)2+400,

即尸是關(guān)于x的二次函數(shù)，

,.a=-1<0,

..尸有最大值，

,當(dāng)x=20時尸最大值=400,此時片60,

..當(dāng)銷售價為60元陰時，所獲利潤最大，最大利潤為400元.

2.(2021上海浦東二模,24)已知拋物線片a*+Ox+c的對稱軸與x軸的交點為M30),拋物線上三點AB、

。到點例的距離都為5,其中點力、8在x軸上(點4在點6的左側(cè))，點C在y軸正半軸上，拋物線的頂點為

點尸.

(1)求點力、B、。的坐標(biāo)；

(2)求這條拋物線的表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；

(3)點。是拋物線對稱軸上一點,當(dāng)以點Q為圓心,Q4為半徑的圓與線段4尸有兩個交點時，求點。的縱坐標(biāo)

的取值范圍.

，1

_________'jif___________

0x

解析⑴?.點48在x軸上(點力在點8的左側(cè)),且到點攸-3,0)的距離為5,

..點4的坐標(biāo)為(-8,0),點8的坐標(biāo)為(2,0),

:點C在y軸上，，設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,力.

由點。到點偵-3,0)距離為5,可得產(chǎn)仔=5,解得片±4.

又?.點。在jz軸正半軸上二點。的坐標(biāo)為(0,4).

(2)?.拋物線片a*+bx+c經(jīng)過點4-8,0)、僅2,0)、6(0,4).

64a-8b+c=0,(a=4'

4a+2b+c=0,解得=2

c=4,I2,

\c=4,

拋物線的表達(dá)式是尸一廬次+4,

當(dāng)長城=3時，尸學(xué)

通物線的頂點尸的坐標(biāo)為13年).

(3)由題畫圖如下，過點A作力。1?尸與拋物線的對稱軸相交于點

此時以Q為圓心,為半徑的圓與線段4尸相切于點A

易知。/M4pl■NM4Q=90。.

」MP—MAQi.

.二tann例%=tannAMQ.

^:AM=5,PM=^-,

..Q%4,即點Q坐標(biāo)為(-3,-4).

作4尸的垂直平分線，與才尸相交于點，與對稱軸片-3相交于點Q,則P吟PA.

此時以Q為圓心,QZ為半徑的圓經(jīng)過點4點尸.

■:AQdAP,NgLAP,

:.應(yīng)AP=/QNP=90°.

./QII/VQ.

.PQZ_PN=I

-PQJPAT

.?點尸的坐標(biāo)為93,多，點。1的坐標(biāo)為(-3,-4),

.?月。哼./Q榨.

勺O

2s419

488

即點Q坐標(biāo)為(-3*),

..當(dāng)以點。為圓心,Q4為半徑的圓與線段A尸有兩個交點時，點?？v坐標(biāo)取值范圍是

O

3.