相似三角形（精講精練）（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第16講相似三角形（精講）

通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似。

2.了解比例的基本性質(zhì)，成比例的線段，通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分

割。

3.了解相似多邊形和相似比。

4.掌握平行線分線段成比例。

5.了解相似三角形判定定理。

6.了解相似三角形性質(zhì)定理。

7.了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。

8.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

9.利用相似的直角三角形，探究并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°

角的三角函數(shù)值。

10.會(huì)使用計(jì)算器由銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)銳角。

11.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

國(guó)考支hl

第16講相似三角形（精講）...........................................................1

考點(diǎn)1:平行線分線段成比例.......................................................3

考點(diǎn)2：相似三角形的判定.........................................................14

考點(diǎn)3：相似三角形的性質(zhì)........................................................21

考點(diǎn)4：與相似三角形有關(guān)的證明與計(jì)算...........................................26

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..............................................................47

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固..........................................................47

考點(diǎn)1:平行線分線段成比例

①比例線段：在四條線段。，b,C,d中，如果。與6的比等于C與d的比，即巴=￡,那

ba

么這四條線段。，b,c,d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

②比例的基本性質(zhì)：(1)基本性質(zhì)：-=-^ad=bc；(b、存0)

bd

(2)合比性質(zhì)：2=￡(氏d*0)

bdbd

(3)等比性質(zhì)：-=-=k(h+d+...+n/0)?>a+c+-+m=k_(b、d、…、存0)

bdnb+d+...+n

①平行線分線段成比例定理；

(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若/3〃/4〃/5,則

ABDE

~BC~1EF'

(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

即如圖所示，若AB//CD,則——=——.

ODOC

(3)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.

如圖所示，若DE〃BC,則

［沁例新

【例題精析1】｛新定義-黃金分割(2021?巴中)兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多

克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)尸是線段AB上一點(diǎn)(AP>BP),若滿足—,

APAB

則稱點(diǎn)P是N8的黃金分割點(diǎn).黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)

上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從

舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是(

)

APB

A.(20-x>=20xB.公=20(20-x)C.x(20-x)=202D.以上都不對(duì)

【分析】點(diǎn)尸是48的黃金分割點(diǎn)，且PB<P4,尸8=x，則PZ=20-x,則竺="，

APAB

即可求解.

【解答】解：由題意知，點(diǎn)尸是的黃金分割點(diǎn)，且PB<P4,PB=x,則21=20-x,

(20-x)2=20x,故選：A.

APAB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛比例性質(zhì)★★｝若@=2=￡,a+6+c=18,則。的值為4.

234

【分析】設(shè)輔助未知數(shù)，根據(jù)比例的性質(zhì)求出輔助未知數(shù)，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：設(shè)q=^=￡=左，則。=2左，6=34，。=44，???〃+6+仃=18,即2%+34+4%=18,

234

k=2,

a=2k=4>故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例的性質(zhì)，設(shè)輔助未知數(shù)是常用的方法.

【例題精析3】｛比例性質(zhì)★★）把濃度為20%和30%的兩種鹽水按1:4的比例混合在

一起，得到的鹽水濃度為_28%_.

【分析】設(shè)濃度為20%鹽水質(zhì)量為a,濃度為30%鹽水質(zhì)量為4a,然后利用濃度公式計(jì)算.

【解答】解：???濃度為20%和30%的兩種鹽水的比例為1:4,.?.設(shè)濃度為20%鹽水質(zhì)量為a,

濃度為30%鹽水質(zhì)量為4〃，；.混合后的鹽水濃度=史史空”=28%.故答案為：28%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、

分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，8。是A48C的中線，點(diǎn)E是8c邊

一RF1

上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)、F,若BF=FD,則——=___.

CE2

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)。作。T//NE交于點(diǎn)T.利用平行線等分線段定理，證明

BE=ET=TC即可.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DT//4E交BC于點(diǎn)、T.

DTHAE,AD=CD,-：ET=TC,EFIIDT,BF=DF,BE=ET,BE=ET=CT,

BE_I

故答案為:

C￡-22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行

線解決問(wèn)題.

【例題精析5】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在A4BC中，D、E分別是邊8C、

/C上的點(diǎn)，工。與BE相交于點(diǎn)/，若E為4c的中點(diǎn)，8。：。。=2:3,則//：心的

值是-I-

【分析】過(guò)D作DH//AC交BE于H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論

【解答】解：過(guò)D作DH//AC交BE于H,

\DHF^MEF,XBDHSABCE,—=——,——=——，?.?若E為ZC的中點(diǎn)，

AEAFCEBC

DFRjT)

:.CE=AE,—=—,-BD:DC=2:3,:.BD:BC=2:5,:.DF:AF=2:5,

AFBC

AF:FD=~.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【例題精析6】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在ZU8C中，若。E//8C,EFHCD,

AE=2EC,則4F:PD:D8=_4:2:3_.

【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可.

【解答】解：?1-EF//CD,AE=2EC,—=2,-：DEIIBC,—=—=2,

ECDFDBEC

,33

設(shè)。尸="，則/尸=2加，AD=3m,DB=—m,AF:DF:DB=2m:m:—m=4:2:3.故

22

答案為：4:2:3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)

題，屬于中考?？碱}型.

【例題精析7】｛平行線分線段成比例***｝如圖，在ZU8C中，AC=1,BC=4,

。是48的中點(diǎn)，K=90°+-ZC,則CE的長(zhǎng)為5.5

2

B

a

AEC

【分析】作BF//DE交4c于F,作乙4cB的平分線交AB于G,得出好CH=XBCH,再

通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出線段CE的長(zhǎng).

【解答】解：作BF//DE交AC于F,作乙4c8的平分線交48于G,交BF于H,

則=尸8=NC7/尸+1/C.因?yàn)?4￡。=90。+'/。，所以NCHF=90°=NCHB.

22

又ZFCH=ZBCH,CH=CH.\FCH=\BCH.CF=CB=4,

:.Af=AC-CF=7-4=3.

AD=DB,BF/IDE,AE=EF=1.5,CE=5.5.故答案為：5.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)問(wèn)題，能夠利用其性質(zhì)

求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.

盼對(duì)豆制珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛比例性質(zhì)★★｝若土吆=3,則上=_,一

x22x4

【分析】利用比例的性質(zhì)設(shè)x+y=3%,則x=24,用4表示x,y,將x,y的值代入即可

得出結(jié)論.

【解答】解：由題意：設(shè)x+y=34,則x=2%,x=2上.y=k.：.~^—=—=—.故答案

2x4A4

為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例的性質(zhì)，設(shè)x+y=3M貝鼠=2"用字母人表示出x,歹是解

題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練2]｛新定義-黃金分割★★｝（2021?德陽(yáng)）我們把寬與長(zhǎng)的比是正匚的矩

2

形叫做黃金矩形.黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為

取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì).己知四邊形/8CD是黃金矩形，邊48

的長(zhǎng)度為石-1,則該矩形的周長(zhǎng)為2石+2或4.

【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為3-石，求出矩形的周長(zhǎng)即可;

②邊為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為=2,求出矩形的周長(zhǎng)即可.

【解答】解：分兩種情況：

①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為存1x（石-1）=3-五,

.?.矩形的周長(zhǎng)為：2（V5-1+3-A/5）=4；

②邊48為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為：（后一1）+且二1=2,

2

矩形的周長(zhǎng)為2（若一1+2）=2有+2；

綜上所述，該矩形的周長(zhǎng)為26+2或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，在A4BC中，點(diǎn)。，E分別在邊48,

NC上，且絲=3,王=,，射線ED和C8的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,則—的值為

DB2EC2FC3

【分析】過(guò)點(diǎn)8作交NC于〃，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出"，進(jìn)而求

出里△,再根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可.

EC3

【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BH//EF交4c于H,

EH1-.■BHUEF,故答案為：1

「?=—

EC3FCEC33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的

關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，A48C中，D為BC上一點(diǎn),且

8。:。。=2:3,點(diǎn)石為ZO的中點(diǎn)，8E的延長(zhǎng)線交4c于/，則絲為-

FC~5

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)、D作DT//BF交AC于點(diǎn)T.證明力尸=尸7,CT.FT=3:2,可得結(jié)

論.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。77/8/交4c于點(diǎn)T.

.“LL//CTELFCTCD3AF22

vAE=DE,EF/IDT,AF=FT,vDT/IBF,/.==—,/.=---=—,

FTDB2FC2+35

故答案為：

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例是解題關(guān)

鍵，注意出現(xiàn)中點(diǎn)作平行線是常用的輔助線.

【對(duì)點(diǎn)精練5】（2020?瀘州）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了

分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段A/G,GN,使得其中較長(zhǎng)的

一段MG是全長(zhǎng)與較短的一段GN的比例中項(xiàng)，即滿足"￡=絲=正二1,后人

MNMG2

把近二1這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段仞V的“黃金分割”點(diǎn).如圖,

2

在A48c中，己知48=ZC=3,BC=4,若。，E是邊8c的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

則AAftE'的面積為（）

A.10-475B.375-5C.5~2^,D.20-86

2

【分析】作Z“18c于"，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到5//=C〃=，8C=2,則根

2

據(jù)勾股定理可計(jì)算出/，=石，接著根據(jù)線段的“黃金分割”點(diǎn)的定義得到

BE=J^BC=2遙-2,則計(jì)算出/龍=26-4,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算.

2

【解答】解：作4H1BC于H,如圖，?.?/8=4C,.?.BH=C〃=1JBC=2,在RtAABH中,

2

AH=依-安=后,'：D,E是邊8c的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

...BE=J^-BC=2（75-1）=275-2,:.HE=BE-BH=2亞-2-2=2后-4,

2

..?！?2〃￡=46-8.雙的=gx（4后-8）x石=10一4反故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段/C和8aze>8C）,且使/C是

48和8c的比例中項(xiàng)（即48:4C=/C:BC）,叫做把線段黃金分割，點(diǎn)C叫做線段

的黃金分割點(diǎn).其中4C=近二^8x0.618/8,并且線段Z8的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).也考

2

查了等腰三角形的性質(zhì).

【對(duì)點(diǎn)精練6】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，A43C三邊的中點(diǎn)分別為。，E,

F.連接CD交4E于點(diǎn)G,交E尸于點(diǎn)”，則。G:G，：CH=_2:1:3_.

E

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF//4B,EF=-AB,證明△CWESACQB,根據(jù)相

2

似三角形的性質(zhì)得到CH=DH,證明\EGH^\AGD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：-：E,F分別為CB、C4的中點(diǎn)，.lEF是M8C的中位線，.?.EF///8,

EF=-AB,

2

HFC'F1HF1

.△CHEsbCDB,一=——=—=一，：.CH=DH,?；AD=DB,—=一，?：EF//AB,

CDDBCB2AD2

FH1

:.\EGHSMGD,——=——=一，:.DG:GH:CH=2:1:3,故答案為：2:1:3.

DGAD2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用定理、

找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練7】｛平行線分線段成比例★★｝如圖，直線等腰RtAABC的三

個(gè)頂點(diǎn)N、B、C分別在直線4、4、4上，N4CB=90°,AC交"于點(diǎn)、D.若人與4

的距離為1,4與4的距離為4,則絲的值是—逑

【分析】作XE，。于后，交4于尸，作84，。于〃，如圖，利用平行線之間的距離的

EF=BH=3,AF=\,再證明AJCE=AC8”得到CE=8”=3,則可利用勾股定理計(jì)算

出/c,從而得到相=5&,接著利用平行線分線段成比例定理得到C2=￡￡=3,則

CAAE4

CD=-,然后利用勾股定理計(jì)算出8。的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出任的值.

4BD

【解答】解：作于后，交"于F,作Ba，。于“，如圖，

???/,///2///3,:.AFll2,:.EF=BH=3,4尸=1,???AJ8C為等腰直角三角形，

AC=BC,ZACB=90°,?:NACE+/CAE=90°,NACE+ZBCH=90°，,ZCAE=ZBCH,

在\ACE和\CBH中，

'NAEC=NCHB

<NCAE=NBCH,MCE=^CBH(AAS),:.CE=BH=3,在RtAACE中，

AC=CB

￡=,32+42=5,

:.AB=42AC=5y/2,-：DF//CE,:.也=里=>,.-.CD=—,在RtABCD中，

CAAE4

4

EH

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例.也考查了平行線之間的距離和等腰直角三角形的性質(zhì).

劇錢囊?收

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2019?雅安）若。力=3:4,且。+6=14,則的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到36=4°,結(jié)合。+6=14求得。、b的值，代入求值即可.

【解答】解：由a:6=3:4知3b=4a,所以6=擔(dān).所以由a+6=14得到：a+—=14,

33

解得"6.所以6=8.所以2a-b=2x6-8=4.故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若巴=￡,則ad=bc.

bd

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?阿壩州）如圖，直線/1/4/〃3，直線a,b與I-12,4分別交

于點(diǎn)Z,B,C和點(diǎn)O,E,F.若48:BC=2:3,EF=9,則。E的長(zhǎng)是（）

A.4B.6C.7D.12

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=再求出答案即可.

【解答】解：AB:BC=DE:EF.?：AB:BC=2:3,EF=9,:.DE=6.故

選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的

比例式是解此題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?連云港）如圖，BE是A48c的中線，點(diǎn)廠在8E上，延長(zhǎng)“尸交

BC于點(diǎn)、D.若BF=3FE,^J—=_-

DC2

GFAF1

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG//0C交40于G,可得所以？_=一=_,得到

DCAC2

DC=2GE；再根據(jù)AGEESA/)/^,W—=—=-，所以型=2,即g￡=3.

DBBF3DB3DC2

4F1

【解答】解：如圖，???8E是AJ8C的中線，.?.點(diǎn)E是4C的中點(diǎn)，——=-,

AC2

過(guò)點(diǎn)E作EG//。。交于G,，/AGE=NADC,/AEG=NC,

GFAF1

:.\AGE^\ADC,—=——=一，/.DC=IGE,vBF=3FE,

DCAC2

FF1

...——=一，vGE//BDNGEF=NFBD,ZEGF=NBDF,

BF3

GEEF_1.DC_23

...AGFES^DFB,器故答案沏

=1，2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),過(guò)點(diǎn)E作EG//OC,構(gòu)造相似三角形是解

題的關(guān)鍵.

層后做找理

考點(diǎn)2：相似三角形的判定

相似三角形的判定：

(I)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(.444).

如圖，若N4=N。，N8=NE,^lAABC^^DEF.

r(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三

角形相似.如圖，若N,4=N。，—,則尸.

DFDE

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.如

圖，若二二—,則尸.

DEEF

國(guó)例4W新

【例題精析1】｛相似的判定★★｝如圖，A48。中，4=76。，42=8,ZC=6.將A/18C

沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可.

【解答】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，

故本選項(xiàng)不符合題意；3、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，

故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，

故本選項(xiàng)符合題意；D、陰影三角形中，N4的兩邊分別為6-2=4,8-5=3,則兩三角

形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意.故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛相似的判定★★｝在下列條件中，不能判斷與APEF相似的是（

)

B-”且…

A./A=/D,NB=NE

cABBCACD

C.-----=-----=-孤祭且4”

DEEF~DF

【分析】直接根據(jù)三角形相似的判定方法分別判斷得出答案.

【解答】解：/、NA=ND,ZB=NE,可以得出A48cs△。2E,故此選項(xiàng)不合題意;

B、—,且N8=NE,不是兩邊成比例且?jiàn)A角相等，故此選項(xiàng)符合題意；

EFDF

C、絲=09=生，可以得出A4BCSAOFE,故此選項(xiàng)不合題意；

DEEFDF

D、——=■—且NZ=ND,可以得出A/BCsAOFE,故此選項(xiàng)不合題意；故選：B.

DEDF

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行

線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）

三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似：（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相

等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

【例題精析3】｛相似的判定★★｝下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩個(gè)直角三角形相似B.兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一組對(duì)應(yīng)角相等的兩

個(gè)三角形相似

C.有一個(gè)角為40。的兩個(gè)等腰三角形相似D.有一個(gè)角為100。的兩個(gè)等腰三角形相似

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可求解.

【解答】解：*■兩個(gè)直角三角形只有一組角相等，.?.兩個(gè)直角三角形不一定相似，故選項(xiàng)N

不合題意；

?.?兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，.?.兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一組對(duì)應(yīng)角相

等的兩個(gè)三角形不一定相似，故選項(xiàng)8不合題意；???底角為40。的等腰三角形和頂角為40。的

等腰三角形不相似，

???有一個(gè)角為40。的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故選項(xiàng)C不合題意；?.?有一個(gè)角為100。的

兩個(gè)等腰三角形相似，，選項(xiàng)。符合題意，故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛相似的判定★★｝依據(jù)下列條件不能判斷&48C和AOE尸的相似是（

)

A.4=40。，Z5=80°,Z￡=80°,"=60。

B.Z.A-Z.E=45°,AB=\2cni,AC=\5cm,ED=20cm,EF—16cm

C.ZA=Z.D=45°,AB=\2cm,AC=\5cm,ED=16cm,EF=20cm

D.AB=\cm,BC-2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=

【分析】直接根據(jù)三角形相似的判定方法對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案.

【解答】解：Z、???N4=40。，Z8=80°,NC=180°-NZ-Z8=60。，

ZC=ZF,ZB=NE,:.\ABC^\DFE,故此選項(xiàng)不符合題意；

Ar

B、vAB=\2cm,AC=\5cm,ED=20cm,EF=\6cm,—=—且N/=NE,

EFED

BCs^EFD,故此選項(xiàng)不符合題意；C、vAB=\2cm,AC=15cm,ED=20CM,

EF=16cm,

.??絲=江且N/=ZD,不是兩邊成比例且?jiàn)A角相等，故此選項(xiàng)符合題意；

EFED

D、?/AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm，EF=4cm,FD=8cw,

=—=—=:.\ABC^\EFD,故此選項(xiàng)不合題意；故選：C.

EFDEFD4

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行

線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）

三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相

等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

gj對(duì)魚刑珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛相似的判定★★｝如圖，已知/1=/2,那么添加一個(gè)條件后，仍不能

判定\ABC與MDE相似的是（）

廠ABBCnABAC

A./C=/AEDB.ZB=ZDC/.-D.-----=------

ADDEADAE

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案.

【解答】解：vZl=Z2^DAE=Z.BACA,B,。都可判定AJ8cs△/￡）￡*

選項(xiàng)。中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：

①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似;

②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似;

③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛相似的判定★★｝如圖，在A/I8C中，點(diǎn)。，E分別在邊/C上,

與8c不平行,添加下列條件之一仍不能判定A4c8的是（）

「AEDE

D.=C.ZAED=ZBD.NADE=NC

ACABABBC

【分析】由于=則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：?;NDAE=NCAB,.?.當(dāng)NZDE=NC時(shí)，\ADE^\ACB■,

AnAf7

當(dāng)乙4EO=N8時(shí)，\ADE^\ACB；當(dāng)——=——時(shí)，\ADE^\ACB.故選：B.

ACAB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛相似的判定★★｝如圖，如果=那么添加下列一個(gè)條件

后，仍不能確定A4BCSAWE的是（)

DE

C.ZC=NAEDD.—=—

AD~BCADAE

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案.

【解答】解：=,.?.ND4E=NA4C,.?.選項(xiàng)4,C根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等判定

\ABC^\ADE,

選項(xiàng)。根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定2U8CS/UOE,選項(xiàng)8中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以

不相似,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這

兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角

形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛相似的判定★★｝如圖，在矩形488中，M為BC上一前,EM1AM

交工。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：AABMsMMA.

【分析】根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明即可.

【解答】證明：?.?四邊形力88是矩形，.,./Bn90。，AD/IBC,^AMB=ZMAC,

;?AM1ME,ZAME=ZS=90°,\ABM^\EMA.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相

似三角形的判定方法，屬于中考常考題型.

【對(duì)點(diǎn)精練5】｛相似的判定如圖，=,且N1=N2,求證：

^ABCs\AEF.

【分析】由已知條件得到=.則由“兩邊及夾角法”證得結(jié)論.

AEAF

JRAC

【解答】證明：如圖，?：ABAF=AE-AC,——=——.又?.?N1=N2,

AEAF

Z2+^BAF=Z1+ABAF,BPABAC=^EAF,\ABC^\AEF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵在于掌握三角形相似的判定定理.

【對(duì)點(diǎn)精練6】｛相似的判定如圖，BD,CE是A48c的高，連接DE.求證：

AADES^ABC.

【分析】根據(jù)相似三角形判定推出AWBS/UEC,推出上=上，再根據(jù)乙1=44即可推

AEAC

出\ADESRABC.

【解答】證明：???3。、CE是高，

A[)AR

ZADB=ZAEC=90°,?/ZA=ZA,MDB^MEC,「.——=——,?/ZJ=ZA,

AEAC

:.\ADE^\ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

二任柒兒疆

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?湘潭）如圖，在A48C中，點(diǎn)。，E分別為邊NC上的點(diǎn),

試添加一個(gè)條件：—，使得ZUDE與A48C相似.（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個(gè)角相等的三角形相似；夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的

兩個(gè)三角形相似，即可解題.

【解答】解：添加入1DE=NC,

又?.?//=N4,\ADE<^\ACB,故答案為：NADE=NC（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.

島后敘找理

考點(diǎn)3：相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.

(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.

學(xué)有筆記

國(guó)的融我?guī)?/p>

【例題精析1】｛相似的性質(zhì)★★｝如果兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是2:3,那么它們的面

積比為（）

A.2:3B.4:9C.V2：V3D.16:81

【分析】根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)比求出相似比，再根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平

方計(jì)算，得到答案.

【解答】解：???兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是2:3,.?.這兩個(gè)相似多邊形的相似比是2:3,

.??它們的面積比是4:9,故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解

題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛相似的性質(zhì)★★｝下列結(jié)論正確的是（）

A.所有的矩形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的正多邊形都相似

【分析】利用相似多邊形的判定解決問(wèn)題即可.

【解答】解：A.所有的矩形對(duì)應(yīng)邊比值不一定相等，所以不一定相似，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.所有的菱形對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故錯(cuò)誤；

C.所有的正方形都相似，故此選項(xiàng)正確；

D.正多邊形不一定相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的識(shí)別.判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)是：對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)

應(yīng)角相等.兩個(gè)條件必須同時(shí)具備.

【例題精析3】｛相似的性質(zhì)如圖，矩形/8CDS矩形BC/石，且,則

川0:48的值是（）

A.V2:lB.V3:lC.D.

22

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到莊=生，整理得到=解一

ADAB

元二次方程得到40、48的關(guān)系.

【解答】解：?.?矩形/8C￡?s矩形8a芭，，空=空，即‘8-""=任,

ADABADAB

整理得：AD2+AD-AB-AB2=0,則AD=~｝±^AB,AD.=~X+~AB,

212

AD,=-"布AB（舍去），

22

AD:AB=^^-,故選：D.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊

成比例是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛相似的性質(zhì)★★｝如圖，\ABC^△A'B'C,和WQ'分別是A/18C

和△/0C的高，若/。=2,A'D'=3,則A48c與的面積的比為（）

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比求出相似比，根據(jù)相似三角形面積的比等于

相似比的平方解答.

【解答】解：A/48cs△48'C',工。和分別是A48c和的高，AD=2,

A'D'=3,

...絲=/2=2,.1418。與的面積的比=（與=3,故選：A,

A'B'A'D'339

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三

角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

看OI珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛相似的性質(zhì)★★｝如圖，己知在&48C中，點(diǎn)。、點(diǎn)￡是邊8c上的兩

點(diǎn)，聯(lián)結(jié)X。、AE,且=如果A/18￡SACB/,那么下列等式錯(cuò)誤的是（）

CDAB=ADACC.AE2=CDBE

D.AB-AC=BECD

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由A4BESACA4得至IJ48:8C=8E:48,則可對(duì)/選項(xiàng)

進(jìn)行判斷；由A48ESAC8/得到N84E=NC,AAEB=ABAC,則證明△C4￡>SACBN,利

用相似三角形的性質(zhì)得。。：/。=/。：/8,則可對(duì)8選項(xiàng)進(jìn)行判斷；證明AC/OS&48E得

到AD:8E=CD:4E：,加I上/。=4￡,則可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用ACB/SAJBE得至U

ABAC=AECB,由于/爐=CD?BE,AE#CB,則可對(duì)。選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：?；AABEsACBA,:.4B:BC=BE:4B,；.AB2=BE-BC,所以“選項(xiàng)的結(jié)論

正確；

?:。BEsXCBA,ZBAE=ZC,NAEB=NB4C,AD=AE,:.NADE=NAED,

ZACD=NBCA,

ZADE=ZBAC,■：AADC=ABAC,\CAD^\CBA,CD:AC=AD:AB,即

CDAB=ADAC,所以8選項(xiàng)的結(jié)論正確；-：\ABE^\CBA,\CAD^\CBA,

\CAD^\ABE,AD:BE=CD:AE,即ADAE=CDBE,;AD=AE,AE2=CD-BE,

所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；v\CBA^\ABE,AC:AE=CB:AB,AB-AC=AECB,

???AE2=CDBE,AE^CB,AB-ACBE-CD,所以。選項(xiàng)的結(jié)論不正確.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似

三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比.也考查了相似三角形的判定.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛相似的性質(zhì)★★｝如圖，\ABC^\DCA,N8=33。，ZD=117°,則

N84。的度數(shù)是（）

B