寒假作業(yè)07整式的乘法-2024年八年級數(shù)學寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)07整式的乘法1.同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n（m，n為正整數(shù)）.拓展：=1\*GB3①am·an·ap=am+n+p；=2\*GB3②(a+b)n(a+b)m=(a+b)m+n（m，n，p為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法技巧：=1\*GB3①計算同底數(shù)冪時，要求底數(shù)必須完全一樣，當?shù)讛?shù)不相同時，可以通過化異底為同底，然后計算；=2\*GB3②逆用法則：am+n=am×an.2.冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn（其中m，n為正整數(shù)）.拓展：；(am)n=amn=(an)m；（其中m，n，p為正整數(shù)）.3.積的乘方：積的乘方，等于把積的每個因式都乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm（m為正整數(shù)）.拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數(shù).注：1）乘方的優(yōu)先級高于乘法的優(yōu)先級；2）在進行積的乘方運算時，要將積中的每一個因式分別乘方，再將所得結果相乘，不能漏乘某項.在冪的運算中，注意底數(shù)為負數(shù)時的運算.4.同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：am÷an=amn（a≠0，m，n為正整數(shù)）.拓展：零指數(shù)冪：=1()；負整數(shù)指數(shù)冪：==（，p為正整數(shù)）.注：，可能有三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數(shù)）.5.單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.6.單項式乘多項式:根據(jù)乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加.即：p(a+b+c)=pa+pb+pc.7.多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式.1．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，錯誤，故A不符合要求；，錯誤，故B不符合要求；，正確，故C符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選C．2．若，則等于（

）A．5 B．3 C．15 D．1【答案】B【解析】∵，∴，故選B．3．若，則m的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】∵，∴1＋2m＋3m＝21，解得m＝4．故選C．4．小曹租了一塊長為a米，寬為b米（）的長方形土地用于種植新品種馬鈴薯，研究如何提高馬鈴薯的產(chǎn)量．第二年，由于田地重新規(guī)劃，小曹租的這塊地的長增加10米，寬減少10米，那么小曹租的這塊地的面積（

）A．變大了 B．變小了 C．沒有變化 D．無法確定【答案】B【解析】由題意得：原來這塊地的面積為，現(xiàn)在這塊地的面積為：，，，，小曹租的這塊地的面積變小了，故選B．5．已知，則的值為（

）A．75 B．45 C．30 D．15【答案】B【解析】，，．故選B．6．2022年10月9日，我國發(fā)射“夸父一號”科學衛(wèi)星對太陽進行探測．這次發(fā)射“夸父一號”將利用太陽活動峰年的契機對太陽進行觀測．地球的體積約為立方千米，太陽的體積約為地球體積的倍，則太陽的體積是（）立方千米．A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，．故選A．7．第七屆山西（運城）國際果品交易博覽會于10月23日到30日在運城市舉辦．本屆果博會以“果蔬運城，走向世界”為主題，努力將果博會辦成果農(nóng)的豐收節(jié)、果業(yè)的嘉年華、果企的狂歡季、果品的競秀場．小玲家的蘋果園呈長方形，果園的面積為平方米，一邊長為米，則該蘋果園的另一邊長為米．【答案】【解析】∵長方形的面積是平方米，一邊長為米，∴它的另一邊長是：米．故答案為：．8．常見的“冪的運算”有：①同底數(shù)冪的乘法，②同底數(shù)冪的除法，③冪的乘方，④積的乘方．在“”的運算過程中，依次運用了上述冪的運算中的_____．（填序號）【答案】④③①【解析】（積的乘方運算）（冪的乘方運算）=a10（同底數(shù)冪的乘法）．故答案為：④③①．9．先化簡，再求值：，其中，．【解析】；當，時，原式．10．完成下列各題：(1)先化簡，再求值：，其中；(2)先化簡，再求值：，其中，．【解析】（1），當時，原式；（2），當，時，原式．11．W細菌為二分裂增殖（1個細菌分裂成2個細菌），30分鐘分裂一次，培養(yǎng)皿上約有個細菌，其中W細菌占其中的，在加入T試劑后，如果該培養(yǎng)皿中的W細菌的數(shù)量達到后會使T變色，那么需要（

）小時T恰好變色．A． B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】由題意，W細菌的數(shù)量為：（個），∵該培養(yǎng)皿中的W細菌的數(shù)量達到后會使T變色，∴設分裂n次達到變色的數(shù)量，則，∴；∵每30分鐘分裂一次，∴（小時）.故選B．12．若，請用表示．【解析】．將代入上式，原式．13．【閱讀理解】特殊數(shù)大小的比較.問題：比較，，的大小．解：，，，．【問題解決】學習以上解題思路和方法，然后完成下題：比較，，的大?。窘馕觥浚?，，且，．14．下圖是東東同學完成的一道作業(yè)題，請你參考東東的方法解答下列問題．(1)計算：①；

②；(2)若，請求出的值．【解析】（1）①；②．（2），，，，，．15．“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，若干張邊長為a的正方形A紙片，邊長為b的正方形B紙片，長和寬分別為a與b的長方形C紙片（如圖1）．

(1)小李同學拼成一個寬為，長為的長方形（如圖2），并用不同的方法計算面積，從而得出相應的等式：______（答案直接填寫到橫線上）；(2)如果用這三種紙片拼出一個面積為的大長方形，求需要A，B，C三種紙片各多少張；(3)利用上述方法，畫出面積為的長方形，并求出此長方形的周長（用含a，b的代數(shù)式表示）．【解析】（1）圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，圖2是6個部分的面積和，即，因此，故答案為：；（2），A紙片的面積為，紙片的面積為，紙片的面積為，紙片需要2張，紙片需要3張，紙片需要7張；（3）∵，∴可以拼成長為，寬為的長方形，如圖所示：這個長方形的周長為：，答：此長方形的周長為．16．《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億，則1兆等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵1兆＝1萬×1萬×1億，∴1兆＝，故選C．17．數(shù)書九章中的秦九韶算法是我國南宋時期的數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，現(xiàn)在利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.例如，計算“當時，多項式的值”，按照秦九韶算法，可先將多項式進行改寫：，按改寫后的方式計算，它一共做了3次乘法，3次加法，與直接計算相比節(jié)省了乘法的次數(shù)，使計算量減少，計算當時，多項式的值是1008．請參考上述方法，將多項式改寫為：，當時，這個多項式的值為．【答案】，647【解析】

當x=8時，原式=647，故答案為；647.18．18世紀歐拉引進了求和符號“”（其中，且i和n表示正整數(shù)），對這個符號我們進行如下定義：表示k從i開始取數(shù)一直取到n，全部加起來，即．例如：當i=1時，．(1)①，②，③中和為45的是；（填寫編號）(2)；(3)若，則，，．【答案】(1)①③；(2)15；(3)4，，20.【解析】（1）①，②，③，∴和為45的是①③.（2）．（3）∵中二次項系數(shù)為3，∴，∴，∵，∴，∴，，故答案為4，，20．19．閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若（且），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：，理由如下：設，則，則．由對數(shù)的定義得，又，．根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題：（1）填空：①___________；②_______，③________；（2）求證：；（3）拓展運用：計算．【解析】（1）①∵，∴5.②∵，∴3.③∵，∴0.（2）設，∴，，∴，∴，∴.（3）===2．20．（2023·四川達州·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、a與不能合并，故本選項計算錯誤，不符合題意；B、，故本選項計算錯誤，不符合題意；C、，故本選項計算錯誤，不符合題意；D、，故本選項計算正確，符合題意．故選D．21．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于（

）A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【解析】調(diào)整后，甲袋中有個球，，乙袋中有個球，，丙袋中有個球．∵一共有（個）球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同，∴調(diào)整后每只袋中有（個）球，∴，，∴，，∴．故選A．22.（2023年河北中考真題）光年是天文學上的一種距離單位，一光年是指光在一年內(nèi)走過的路程，約等于．下列正確的是（

）A． B．C．是一個12位數(shù) D．是一個13位數(shù)【答案】D【解析】A.，故該選項錯誤，不符合題意；B.，故該選項錯誤，不符合題意；C.是一個13位數(shù)，故該選項錯誤，不符合題意；