專題02常用的邏輯用語（八大重難點(diǎn)題型精講）

專題02常用的邏輯用語考點(diǎn)一、命題的概念1、一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)，且可以判斷真假的語句叫做命題（proposition）．2、命題通常用陳述句表述，含義判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題．【【知識(shí)補(bǔ)充】（1）命題通常用陳述句表述；（2）數(shù)學(xué)中常見的命題由條件和結(jié)論兩部分組成；（3）要確定一個(gè)命題是真命題，必須作出嚴(yán)格證明，證明只要滿足命題條件就一定能推出命題的結(jié)論；（4）要確定一個(gè)命題是假命題，只要舉出滿足條件而不滿足結(jié)論的例子就可以了，即舉反例3、命題“若，則”是真命題，是指對(duì)所有的滿足條件的對(duì)象都滿足結(jié)論.用集合的語言描述即是.4、如果命題“若，則”是真命題，那么我們就稱推出，記作（或）因?yàn)樽蛹P(guān)系滿足傳遞性，所以遞推關(guān)系也滿足傳遞性：若且，則考點(diǎn)二、充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件： 對(duì)于兩個(gè)陳述句、，如果，就稱是的充分條件（sufficientcondition）．或稱是的必要條件（necessarycondition）．【【知識(shí)注釋】“充分”二字說明“為了使得成立，有就已足夠”的意思，而“必要”二字說明“為了使得成立，不可或缺”的意思.2、充要條件： 對(duì)于兩個(gè)陳述句、，如果既有，又有，我們就稱是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作.讀作“與等價(jià)”或“成立當(dāng)且僅當(dāng)成立”【【知識(shí)補(bǔ)充】若，則稱是的充分非必要條件若，則稱是的必要非充分條件若，則稱是的充要條件若，則稱是的既非充分又非必要條件充分條件是“有它即可”，必要條件是“非它不行”考點(diǎn)三、反證法首先假設(shè)結(jié)論不成立（為假），然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出與已知條件或（已學(xué)）定理等相矛盾的結(jié)論，從而說明“為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論是正確的，這樣的證明方法叫反證法.應(yīng)用反證法證明命題的第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，既否定命題的結(jié)論，這一步是十分關(guān)鍵的.數(shù)學(xué)上一些常用的否定形式如下表所示：原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式是不是至少有一個(gè)沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有二個(gè)大于小于或等于至少有個(gè)至多有1個(gè)小于大于或等于至多有個(gè)至少有+1個(gè)對(duì)所有的成立存在不成立或非且非對(duì)任何的不成立存在成立且非或非【【知識(shí)補(bǔ)充】反證法：通過證明命題的逆否命題成立達(dá)到證明原命題成立的一種方法.（逆否命題是邏輯關(guān)系中的一種表現(xiàn)形式）一般步驟如下：（1）反設(shè)，即否定結(jié)論；（2）把否定結(jié)論而得到的條件與命題的已知一起進(jìn)行正確推理，并引出矛盾；（3）肯定結(jié)論.重難點(diǎn)題型(一)命題及其判斷真假例1、（2223高一·全國(guó)·課堂例題）下列語句中，為真命題的是（

）A．直角的補(bǔ)角是直角 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)C．過直線外一點(diǎn)作直線于點(diǎn) D．兩個(gè)銳角的和是鈍角【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】命題的概念、判斷命題的真假【分析】命題是可以判斷真假的陳述句，判斷為真的語句是真命題.依次對(duì)各選項(xiàng)分析，先判斷是否為陳述句，再判斷是否為真.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，直角的補(bǔ)角是直角，所以A選項(xiàng)為真命題；對(duì)選項(xiàng)B，缺少兩直線平行條件，結(jié)論不成立.如三角形內(nèi)任意兩內(nèi)角都是同旁內(nèi)角，但兩角和必小于，所以B選項(xiàng)為假命題；對(duì)選項(xiàng)C，是祈使句，不是陳述句.所以不是命題；對(duì)選項(xiàng)D，與的和為銳角，所以D選項(xiàng)為假命題．故選：A.例2、（2324高一上·內(nèi)蒙古·期中）（多選題）下列命題為真命題的是（

）A．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 B．若，是任意實(shí)數(shù)，則C．若是奇數(shù)，則是奇數(shù) D．若，，則【答案】ACD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假【分析】舉反例得到B錯(cuò)誤，根據(jù)定義判斷AC正確，確定，，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，則A是真命題．對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，則B是假命題．對(duì)選項(xiàng)C：x是奇數(shù)，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇數(shù)，則C是真命題．對(duì)選項(xiàng)D：由，，得，則，則D是真命題．故選：ACD.例3、（2223高一上·福建廈門·期末）（多選題）王維，字摩詰，號(hào)摩詰居士，唐代山水田園派詩(shī)人、畫家。北宋蘇軾在《書摩詰藍(lán)田煙雨圖》中評(píng)價(jià)道：“味摩詰之詩(shī)，詩(shī)中有畫；觀摩詰之畫，畫中有詩(shī)?！痹谕蹙S所做的五言絕句《相思》中，以下詩(shī)句不可以作為命題的是（

）A．紅豆生南國(guó) B．春來發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思【答案】BCD【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】命題的概念【分析】根據(jù)題意，由命題的概念依次分析即可得答案．【詳解】對(duì)于A，紅豆生南國(guó)，是陳述句，是正確的，這句詩(shī)是命題，對(duì)于B，春來發(fā)幾枝，是疑問句，這句詩(shī)不是命題，對(duì)于C，愿君多采擷，是祈使句，這句詩(shī)不是命題，對(duì)于D，此物最相思，是感嘆句，這句詩(shī)不是命題.故選：BCD．1、（2425高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列命題中的真命題是（

）A．互余的兩個(gè)角不相等 B．相等的兩個(gè)角是同位角C．若，則 D．三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假【分析】由兩角互余的概念可判斷A；可舉對(duì)頂角相等判斷B；運(yùn)用平方差公式，可判斷C；運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，互余的兩個(gè)角可能相等，比如都為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，相等的兩個(gè)角可以是對(duì)頂角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即或，則，故C正確；對(duì)于D，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，故D錯(cuò)誤；故選：C2、（2425高一上·上?！卧獪y(cè)試）下列四個(gè)命題：①?zèng)]有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；②空集是任何一個(gè)非空集合的真子集；③；④至少存在一個(gè)整數(shù)x，使得是整數(shù)．其中是真命題的為（

）．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】命題的概念、特稱命題的否定及其真假判斷、判斷全稱命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類可判斷①為真命題，根據(jù)空集的性質(zhì)可判斷②為真命題，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算可判斷③為真命題，通過舉例可得④為真命題.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)由無理數(shù)和有理數(shù)構(gòu)成，故所有無理數(shù)都是實(shí)數(shù)，故①正確；因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，故②正確；因?yàn)椋盛壅_；取，則是整數(shù)，故④正確.故選：A.3、（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）（多選題）下列說法不正確的是（

）A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根”不是命題C．命題“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是真命題D．“時(shí)，”是真命題【答案】AB【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、命題的概念【分析】根據(jù)命題的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：命題“直角相等”寫成“若p，則q”的形式為：若兩個(gè)角都是直角，則這兩個(gè)角相等，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：語句“當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根”是陳述句，當(dāng)時(shí)，則，方程無實(shí)根，即“當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根”為假，故該語句是命題，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由菱形的定義和性質(zhì)可知：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，即命題“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是真命題，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以“時(shí)，”是真命題，故D正確；故選：AB重難點(diǎn)題型(二)逆否命題及其真假的聯(lián)系例4、（2122高二上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）設(shè)，命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是（

）A．若方程有實(shí)根，則B．若方程沒有實(shí)根，則C．若方程有實(shí)根，則D．若方程沒有實(shí)根，則【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】寫出原命題的逆否命題及真假判斷【分析】由逆否命題的定義判定即可.【詳解】原命題的逆否命題是將條件與結(jié)論互換并分別否定，即命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是“若方程沒有實(shí)根，則”.故選：B例5、（2021高二·福建·期中）（多選題）下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A．命題“若，則”的逆否命題為：若，則B．是的充分不必要條件C．若為假命題，則，均為假命題D．對(duì)于命題：，使得，則：，均有【答案】ABD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷、根據(jù)或且非命題的真假判斷命題的真假、寫出原命題的逆否命題及真假判斷【解析】利用四種命題的逆否關(guān)系判斷的正誤；充分條件、必要條件判斷的正誤；復(fù)合命題的真假判斷的正誤；特稱命題的否定判斷的正誤；【詳解】解：對(duì)于，命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，正確；對(duì)于B：因?yàn)榻獾没?，故是的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)闉榧倜}，則、中至少有一個(gè)為假命題，故C錯(cuò)誤.對(duì)于：對(duì)于命題：，使得，則：，均有滿足特稱命題的否定是全稱命題，故正確．故選：ABD1、（1819高二上·浙江杭州·期末）命題“若，則”的逆否命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】寫出原命題的逆否命題及真假判斷【分析】利用逆否命題的定義求解.【詳解】命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：D2、（2021高二上·河北衡水·期中）（多選題）下列命題為真命題的是（

）A．命題“若，則”的逆命題B．命題“若，則”的逆否命題C．空間中垂直于同一直線的兩直線平行D．命題“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”的否命題【答案】ABD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、寫出原命題的否命題及真假判斷、寫出原命題的逆命題及真假判斷、寫出原命題的逆否命題及真假判斷【解析】根據(jù)原命題寫出對(duì)應(yīng)的逆、否命題判斷真假，利用逆否命題與原命題的關(guān)系判斷真假，以及由原命題的描述結(jié)合線線垂直性質(zhì)、平行判定判斷真假.【詳解】A：逆命題為“若，則”是真命題；B：原命題為真命題，故其逆否命題為真命題；C：空間中垂直于同一直線的兩直線可能平行、異面、相交，為假命題；D：否命題為“到線段兩端點(diǎn)距離不相等的點(diǎn)不在線段的垂直平分線上”是真命題.故選：ABD重難點(diǎn)題型(三)根據(jù)命題真假求參數(shù)范圍例6、（2223高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）已知命題“關(guān)于的不等式在上恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)【分析】根據(jù)不等式恒成立得到，解得答案.【詳解】不等式在上恒成立，則，解得.故答案為：例7、（2223高三上·福建寧德·期末）若命題為真命題，則a的一個(gè)可取的正整數(shù)值為（寫出符合條件的一個(gè)即可）【答案】1（答案不唯一滿足：即可）【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)【分析】由題意不等式在恒成立，設(shè)，則只需即可，由開口向上的二次函數(shù)在開區(qū)間上的最值特征可得，從而可得出答案.【詳解】命題為真命題即，不等式恒成立.設(shè)，要使得在恒成立.則只需，即，解得故a可取內(nèi)的任意一個(gè)正整數(shù)故答案為：11、（2122高一上·福建泉州·階段練習(xí)）若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、已知命題的真假求參數(shù)【分析】由題意將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，求出的最大值，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意“，”是真命題，則恒成立，設(shè)，的最大值為，.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：2、（2122高一上·陜西西安·期中）已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的值不能是（

）A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)【分析】由題意求出的取值范圍，判斷選項(xiàng)【詳解】由題意得，，解得故選：D重難點(diǎn)題型(四)充分條件與必要條件例8、（2425高二上·上?！ら_學(xué)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】利用充分、必要條件的概念計(jì)算即可.【詳解】由可以得出，滿足充分性，而可得，不滿足必要性，即A正確.故選：A例9、（2425高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】由，，可得，而得不出，，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，則“，，所以，所以“，”是“”的充分條件；當(dāng)，可滿足，所以“，”是“”的不必要條件.故選：A.1、（2324高二下·天津紅橋·期末）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】既不充分也不必要條件【分析】應(yīng)用特殊值法結(jié)合既不充分也不必要條件定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，,所以是的不充分條件；當(dāng)時(shí)，,所以是的不必要條件.故選：D.2、（2425高三上·重慶·開學(xué)考試）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”這句名言最早出自于《論語·衛(wèi)靈公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合題意得到答案.【詳解】從邏輯上講，工匠把活作好了，必然有銳利的工具，但有了銳利的工具，不一定能把活做好，“善其事”是“利其器”的充分不必要條件.故選：A重難點(diǎn)題型(五)根據(jù)充分條件與必要條件，求參數(shù)范圍例10、（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A例11、（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，所以有，等號(hào)不同時(shí)成立，，當(dāng)時(shí)，是不等式成立的充要條件，不符合題意，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.1、（1314高二下·江蘇常州·期中）若是不等式成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】解絕對(duì)值不等式，結(jié)合集合間的包含關(guān)系及充分不必要條件的定義計(jì)算即可.【詳解】易知，因?yàn)槭遣坏仁匠闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以且等號(hào)不能同時(shí)取得，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)：等號(hào)不能同時(shí)取得，顯然符合題意.故答案為：2、（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，所以有，等號(hào)不同時(shí)成立，，當(dāng)時(shí)，是不等式成立的充要條件，不符合題意，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例12、（2324高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）設(shè)集合．(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)集合的補(bǔ)集定義以及集合的交集運(yùn)算，即可求得答案；（2）依題意可得，討論集合是否為空集，列出相應(yīng)的不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，故可得或，而，所以或（2）由“”是“”的充分不必要條件可得；當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，且和中的等號(hào)不能同時(shí)取得，解得；綜上可得，m的取值范圍為或.例13、（2324高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知：：或.(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)．【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】（1）先求出范圍，依題意是的充分條件，由集合之間的包含關(guān)系，列出不等式求解即可；（2）先寫出的范圍，由p是的必要不充分條件，則表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閜：，所以p：，即，因?yàn)閜是q的充分條件，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或；（2）依題意，：，由（1）知p：，又p是的必要不充分條件，所以，其中等號(hào)不能同時(shí)取到，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．1、（2324高一上·天津·期中）已知集合，或.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或，(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)即可得到答案；（2）根據(jù)充分不必要條件得?，列出不等式組，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，又或，則，或；.（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，?，則解得，故的取值范圍是.2、（2324高一上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知或．(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】（1）先求出范圍，依題意是的充分條件，由集合之間的包含關(guān)系，列出不等式求解即可；（2）先寫出的范圍，由p是的必要不充分條件，則表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閜：，所以p：，即，因?yàn)閜是q的充分條件，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或；（2）依題意，：，由（1）知p：，又p是的必要不充分條件，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．重難點(diǎn)題型(六)反證法例14、（2223高二下·寧夏銀川·期中）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”時(shí)，假設(shè)應(yīng)該是（

）A．至多有一個(gè)內(nèi)角不大于 B．至少有一個(gè)內(nèi)角大于C．三個(gè)內(nèi)角都大于 D．僅有一個(gè)內(nèi)角大于【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】反證法的概念辨析【分析】根據(jù)反證法的概念求解即可.【詳解】用反證法證明在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不大于，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于.故選：C.例15、（2223高二下·陜西漢中·期中）用反證法證明命題“設(shè)，為實(shí)數(shù)，則方程至少有兩個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（

）A．方程沒有實(shí)根 B．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程至多有一個(gè)實(shí)根【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】反證法的概念辨析【分析】依據(jù)反證法的要求，即至少有兩個(gè)的反面是至多有一個(gè)，即可得出結(jié)論．【詳解】方程至少有兩個(gè)實(shí)根的反面是方程至多有一個(gè)實(shí)根，因此，用反證法證明命題：“設(shè)、為實(shí)數(shù)，則方程至少有兩個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是“方程至多有一個(gè)實(shí)根”.故選：D.例16、（2223高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用反證法證明命題：“若a，，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（

）．A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)，b都不能被3整除C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)都能被3整除【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明、反證法的概念辨析【分析】用反證法證明時(shí)，先假設(shè)命題的否定成立，所以解題此題的關(guān)鍵是找出題干中命題的否定即可求解.【詳解】根據(jù)反證法證明的步驟，先找出命題若a，，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除的否定，因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”，所以假設(shè)因?yàn)椤癮，b都不能被3整除”，故選：.1、（2223高二下·陜西寶雞·期末）用反證法證明命題：“若，能被整除，那么、中至少有一個(gè)能被整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（

）A．、都不能被整除 B．、都能被整除C．、不都能被整除 D．、中有一個(gè)能被整除【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明、反證法的概念辨析【分析】根據(jù)反證法的定義，只需找到“、中至少有一個(gè)能被整除”的否定即可.【詳解】因?yàn)椤?、中至少有一個(gè)能被整除”的否定為“、都不能被整除”，所以應(yīng)假設(shè)“、都不能被整除”.故選：A2、（2122高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）利用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為（

）A．且 B．且x，y都不為0C．且x，y不都為0 D．或【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明【分析】利用反證法證明規(guī)則即可得到應(yīng)假設(shè)或.【詳解】利用反證法證明,應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，本題應(yīng)假設(shè)或故選：D3、（1920高二下·河南洛陽·期中）用反證法證明命題“設(shè)，，為實(shí)數(shù)，若是無理數(shù)，則，，至少有一個(gè)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是（

）A．假設(shè)，，不都是無理數(shù) B．假設(shè)，，至少有一個(gè)是有理數(shù)C．假設(shè)，，都是有理數(shù) D．假設(shè)，，至少有一個(gè)不是無理數(shù)【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】反證法的概念辨析【分析】反證法中“，，至少有一個(gè)是無理數(shù)”的假設(shè)為“假設(shè)，，都不是無理數(shù)”，對(duì)照選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】依題意，反證法中“，，至少有一個(gè)是無理數(shù)”的假設(shè)為“假設(shè)，，都不是無理數(shù)”,即“假設(shè)，，都是有理數(shù)”.故選：C.重難點(diǎn)題型(七)命題的否定例17、（2324高一上·上海閔行·期中）陳述句“或”的否定形式是（

）．A．且 B．且C．且 D．或【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】寫出原命題的否命題及真假判斷【分析】根據(jù)命題的否定的概念求解即可.【詳解】“或”的否定形式是：且.故選：C例18、（2324高一上·上海·期末）存在，使得的否定形式是（

）A．存在，使得 B．不存在，使得C．對(duì)任意的 D．對(duì)任意的【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.【詳解】“存在，使得”的否定形式是“對(duì)任意的”.故選：C1、（2223高二下·遼寧·階段練習(xí)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫給數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，則哥德巴赫猜想的否定為（

）A．任意小于2的偶數(shù)都不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和B．任意大于2的偶數(shù)都不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和C．至少存在一個(gè)小于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和D．至少存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可求解.【詳解】哥德巴赫猜想的否定為“至少存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”．故選：D2、（2223高一上·上海楊浦·期中）陳述句“任意的都滿足性質(zhì)”的否定形式是（

）A．任意的滿足性質(zhì) B．任意的不滿足性質(zhì)C．存在一個(gè)滿足性質(zhì) D．存在一個(gè)不滿足性質(zhì)【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題即可選出答案.【詳解】解：根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題故“任意的都滿足性質(zhì)”的否定形式是“存在一個(gè)不滿足性質(zhì)”故選：D重難點(diǎn)題型(八)反證法的證明例19、（2324高一上·上海黃浦·期中）（1）設(shè)，，求證：；（2）已知，，且.證明：或.【答案】證明見解析；【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分析法證明、反證法證明【分析】（1）通過移項(xiàng)做差，利用分析法證明不等式即可.（2）利用反證法證明不等式即可.【詳解】（1）要證，即證，即證即證即證，因?yàn)樗缘米C；（2）由題，，假設(shè)且即，所以，所以與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以或.例20、（2324高一上·上海靜安·階段練習(xí)）（1）已知，用反證法證明：若，則中至少有一個(gè)小于；（2）已知，判斷“”是“中至少有一個(gè)小于”的什么條件？并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）充分非必要條件，理由見解析【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明【分析】（1）先假設(shè)結(jié)論不成立，推理得出矛盾，解決問題；（2）由（1）可知充分性成立，列舉出反例推翻必要性的成立，從而得出本題結(jié)論.【詳解】（1）證明：假設(shè)則，與已知條件矛盾，所以中至少有一個(gè)小于；（2）由（1）可得“”可以推出“中至少有一個(gè)小于”，反之不一定成立，例如：，，，則，所以“”是“中至少有一個(gè)小于”的充分非必要條件.1、（2223高二下·陜西咸陽·期中）（1）設(shè)，，，用綜合法證明：；（2）已知，，且，用反證法證明：和中至少有一個(gè)小于2.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明、綜合法證明【分析】（1）利用基本不等式可得，，，即可得證；（2）假設(shè)，，證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，，根?jù)基本不等式，有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，三式相加：，即；（2）假設(shè)，，則因?yàn)?，，有，，所以，故，這與題設(shè)條件相矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤.因此和中至少有一個(gè)小于2.2、（2122高二下·江西吉安·期中）（1）已知，求證：．（2）已知，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明、分析法證明【分析】（1）由題意利用反證法即可證得題中的結(jié)論；（2）將不等式進(jìn)行等價(jià)變形，然后結(jié)合題意即可證得題中的結(jié)論．【詳解】證明：（1）假設(shè)，則，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，，即，，，，，這與已知矛盾，假設(shè)不成立，從而成立．（2），，，，，，三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，，即，．不等式成立．

1．（2324高一上·山西朔州·階段練習(xí)）下列命題中是存在量詞命題且為真命題的是（

）A．， B．所有能被3整除的數(shù)都是奇數(shù)C．， D．，【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷全稱命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假、判斷命題的真假【分析】根據(jù)全稱量詞和存在量詞，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A，取，則，A是存在量詞命題，且為真命題，對(duì)于B，“所有”是全稱量詞，故B是全稱命題，對(duì)于C，由于，所以選項(xiàng)C為假命題，對(duì)于D，，是全稱量詞命題，故選：A2．（2122高二上·陜西榆林·期中）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若為真命題，則均為真命題；②設(shè)，命題“若，則”的否命題是真命題；③命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】寫出原命題的否命題及真假判斷、根據(jù)或且非命題的真假判斷命題的真假、寫出原命題的逆否命題及真假判斷【分析】依次判斷各個(gè)命題即可得答案.【詳解】解：①若為真命題，則至少有一個(gè)為真命題，均為真命題不一定成立，故錯(cuò)誤；②設(shè)，命題“若，則”否命題是“若，則”，為真命題，故正確；③命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故正確.所以，說法中正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選:C3．（1920高二上·新疆伊犁·期末）在下列命題中，真命題是（

）A．“時(shí)，”的否命題B．“若，則”的逆命題；C．若，則D．“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆否命題【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】寫出原命題的逆否命題及真假判斷、寫出原命題的逆命題及真假判斷、寫出原命題的否命題及真假判斷、判斷命題的真假【分析】A、寫出其否命題,然后再舉反例作判斷；B、寫出其逆命題，即可判斷；C、恒成立,進(jìn)行判斷；D、根據(jù)原命題與逆否命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】A.“時(shí)，”的否命題為“x≠2時(shí),”,因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),∴A錯(cuò)誤；B.“若，則”的逆命題:“若,則”,∵可解得：,故B錯(cuò)誤；C.若，則.∵恒成立,故C錯(cuò)誤；D.∵根據(jù)相似三角形的性質(zhì),其對(duì)應(yīng)角相等,是真命題,再由于原命題和其逆否命題的關(guān)系可知“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆否命題也是真命題,故D正確.故選:D.4．（2324高一上·湖北黃岡·期中）已知命題，若命題p為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】利用命題為真命題結(jié)合二次函數(shù)判別式建立不等式，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意可知，解得故選:C5．（2021高二上·甘肅武威·期中）已知存在；對(duì)任意，若或?yàn)榧伲瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)【解析】先求出，是真命題的的范圍，由于或?yàn)榧倜}，得到，應(yīng)該全假，即，的否定為真，列出方程組，求出的范圍．【詳解】解：若真則；若真，即恒成立，所以△，解得．因?yàn)榛驗(yàn)榧倜}，所以，全假．所以有，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡(jiǎn)單命題的真假的關(guān)系是解決復(fù)合命題真假的依據(jù)：且的真假，當(dāng)，全真則真，有假則假；或的真假，，中有真則真，全假則假；非的真假與的真假相反．6．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，所以有，等號(hào)不同時(shí)成立，，當(dāng)時(shí)，是不等式成立的充要條件，不符合題意，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.7．（2425高一上·上?！卧獪y(cè)試）命題“任意，”的否定為（）A．任意， B．存在，C．任意， D．存在，【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定的方法求解：改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】命題“任意x∈R，”的否定為“存在，”，故選：B.8．（2223高一上·廣東湛江·期末）命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都有”的否定是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得B．對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都有C．存在實(shí)數(shù)，使得D．對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都有【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】全稱量詞命題否定為存在量詞命題即可.【詳解】命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù),都有”的否定是：存在實(shí)數(shù)，使得.故選：A.9．（2324高一上·上?！るA段練習(xí)）用反證法證明命題“設(shè)，如果能被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除”，假設(shè)應(yīng)該是（

）A．都能被5整除 B．至多有一個(gè)能被5整除C．或不能被5整除 D．都不能被5整除【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】反證法的概念辨析【分析】根據(jù)反證法的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”故選：D10．（1819高二下·廣東深圳·期中）用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有兩個(gè)奇數(shù)”正確的反設(shè)為（

）A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)C．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】反證法的概念辨析【分析】用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)a,b,c中恰有兩個(gè)奇數(shù)”的否定為：3個(gè)偶數(shù)或2個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)或3個(gè)奇數(shù)，即“a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”,故選：D.11．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列命題的否定是假命題的是（

）A．等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等B．，C．任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的D．有些梯形的對(duì)角線相等【答案】ACD【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷、特稱命題的否定及其真假判斷、判斷命題的真假【分析】由命題及其否定之間的真假性關(guān)系即可逐一判斷求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槊}“等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等”是真命題，故其否定是假命題，故A符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，故命題“，”的否定：“，”是真命題，故B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)槊}“任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的”是真命題，故其否定是假命題，故C符合題意；對(duì)于D，“有些梯形（比如等腰梯形）的對(duì)角線相等”是真命題，故其否定是假命題，故D符合題意.故選：ACD.12．（2021高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）（多選）下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A．命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題為：“兩直線不平行，同位角不相等”B．“若實(shí)數(shù)x，y滿足，則x，y全為0”的否命題為真命題C．命題“，”為假命題D．對(duì)于命題P：，，則：，【答案】ABD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷、寫出原命題的逆否命題及真假判斷、寫出原命題的否命題及真假判斷、判斷命題的真假【分析】根據(jù)原命題的逆否命題、否命題、特稱命題的否定、命題的真假對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，即可得到答案；【詳解】對(duì)A，原命題的逆否命題命題是交換條件和結(jié)論，并同時(shí)否定，所以“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題為：“兩直線不平行，同位角不相等“，故A正確；對(duì)B，“若實(shí)數(shù)，滿足，則，全為0”的否命題為“若實(shí)數(shù)，滿足，則，不全為0“，是真命題，故B正確；對(duì)C，“，”為真命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，特稱命題的否定要換量詞，再否定結(jié)論；對(duì)于命題，，則，，故D正確；故選：ABD13．（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）下列是“不等式成立”的必要不充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】先化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而根據(jù)集合間的關(guān)系求解.【詳解】由可得，設(shè)，則其必要不充分條件對(duì)應(yīng)集合，則有是的真子集，則BD選項(xiàng)符合．故選：BD．14．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）使“”成立的一個(gè)充分而不必要條件是（

）A． B．或C．x∈{－1，3，5} D．或【答案】BC【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)題意判斷選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合為題干中集合的真子集，即可得答案.【詳解】從集合的角度出發(fā)，在選項(xiàng)中判斷哪個(gè)相應(yīng)的集合是題干中集合的真子集，只有B，C滿足題意．故選：BC.15．（2223高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（多選）下列說法正確的有（

）A．已知集合，全集，若，則實(shí)數(shù)的集合為B．“”是“”的必要不充分條件C．命題，成立的