2025屆北京市朝陽區(qū)17中高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆北京市朝陽區(qū)17中高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，設＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+2．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.83．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.4．集合，則集合A的子集個數(shù)為（）A.2個 B.4個C.8個 D.16個5．（一）單項選擇函數(shù)在處的導數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e6．已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.20227．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.8．函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.69．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.310．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.11．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內隨機投擲1600個點,其中落入白色部分的有700個點,據(jù)此可估計黑色部分的面積為______________14．已知數(shù)列滿足，，則______.15．已知函數(shù)，若，則________.16．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內心，連接并延長交于點N，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設動點Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.19．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知拋物線的焦點在直線上（1）求拋物線的方程（2）設直線經(jīng)過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程21．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，.（1）求圓C的標準方程；（2）過斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點，求弦MN的長.22．（10分）已知拋物線E：y2＝8x（1）求拋物線的焦點及準線方程；（2）過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；（3）過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B2、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A3、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B4、C【解析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因為，所以.時,，時,，時,，時,，所以集合，所以的子集的個數(shù)為，故選：C.5、B【解析】利用導數(shù)公式求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選；B6、C【解析】結合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C7、A【解析】利用三角形正弦定理結合，用a，c表示出，再由點P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A8、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B9、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標和的性質即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.11、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質，結合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設，，當時，由，不妨設，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B12、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】先根據(jù)點數(shù)求解概率,再結合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設可估計落入黑色部分概率設黑色部分的面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:914、1023【解析】由數(shù)列遞推公式求特定項，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102315、【解析】求出導函數(shù)，確定導函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關鍵16、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內切圓入手，找到等量關系，進而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設內切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎上，借助內切圓的相關公式求解，層層遞進，是一道好題．關鍵點在于找到“”這一關系三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，在定義域內，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調性求出的最大值即可；②由①知：，時取“=”，令，即，最后累加即可.【小問1詳解】由已知條件得，其中的定義域為，則，當時，，當時，，綜上所述可知：的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當時，，當時，，∴在上單調遞增，上單調遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時取“=”，令，得，∴，當時，.18、（1）（2）【解析】（1）設點坐標為，根據(jù)兩直線的斜率之積為得到方程，整理即可；（2）設，，，根據(jù)設、在橢圓上，則，再由，則，即可表示出直線、的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可得到點的縱坐標，再根據(jù)弦長公式得到，令，則，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：設點坐標為，定點，，直線與直線的斜率之積為，，【小問2詳解】解：設，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因為，當且僅當即時取等號，所以的最大值為；19、（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對應寫出焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結果.【詳解】（1）當時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點的坐標，由此求得，進而求得拋物線的方程.（2）結合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.21、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長.【小問1詳解】由題意設圓C的標準方程為設的中點為，則,由圓的性質可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標準方程為【小問2詳解】過斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以22、（1）焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質，求焦點和準線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程【小問1詳解】由題意，p＝4，則焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2【小問2詳解】當直線l1的斜率為0時，y＝1；當直線l1的斜率不為