2025屆河北省巨鹿縣二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆河北省巨鹿縣二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.122．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.3．已知，且直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.164．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.35．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，6．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A. B.C.16 D.327．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.28．已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.9．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.10．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.11．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.212．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個(gè)不能被5整除二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.14．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________15．雙曲線的焦距為_(kāi)___________16．已知函數(shù)則的值為.____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競(jìng)賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.20．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，，．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長(zhǎng)為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B2、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無(wú)法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問(wèn)題即可解決.3、B【解析】由已知直線過(guò)圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過(guò)圓心得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選:B.4、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過(guò)點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B5、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.6、C【解析】求的最大值即求的最大值，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，將目標(biāo)與直線的截距建立聯(lián)系，然后得到何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而求得的最大值，最后求出的最大值.【詳解】要求的最大值即求的最大值.根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足的條件作出可行域，如圖.將目標(biāo)函數(shù)化為.則表示直線在軸上的截距的相反數(shù).要求的最大值，即求直線在軸上的截距最小值.如圖當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.7、C【解析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C8、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B10、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.11、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B12、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點(diǎn)：反證法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、∪【解析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.14、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.16、-1【解析】詳解】試題分析：由題意，得，所以，解得，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，.由，得.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.（2）對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立.令，則.由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和分類討論思想.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.19、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多這個(gè)事件是，然后由相互獨(dú)立的事件和互斥事件的概率公式計(jì)算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗(yàn)的樣本空間，.共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對(duì)的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以..因此，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率為.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過(guò)C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令得，而平面的一個(gè)法向量，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.21、條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡(jiǎn)可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時(shí)，可利用余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時(shí)，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點(diǎn)N，然后證明FN∥AC，進(jìn)而通過(guò)線面平行的判定定理證明問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過(guò)空間向量夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N，所以N為