數(shù)學(xué)自我小測：數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f（1－an＋2,1－a）(a≠1,n∈N＋)，在驗證n＝1時，等式左邊的項是（）A．1B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．對于不等式eq\r（n2＋n）＜n＋1（n∈N＋）,某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下:（1)當(dāng)n＝1時，eq\r（12＋1）＜1＋1，不等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，eq\r（k＋12＋k＋1）＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r（k2＋3k＋2＋k＋2）＝(k＋1）＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．上述證法（）A．過程全部正確 B．n＝1時驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確3．一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗證n＝1時命題成立，并在假設(shè)n＝k（k≥1)時命題成立的基礎(chǔ)上，證明了n＝k＋2時命題成立，那么綜合上述說法，可以證明對于（）A．一切自然數(shù)命題成立B．一切正奇數(shù)命題成立C．一切正偶數(shù)命題成立D．以上都不對4．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個數(shù)記為f（k），則增加一條直線后，它們的交點(diǎn)個數(shù)最多為（)A．f（k)＋kB．f(k）＋1 C．f(k）＋k＋1D．kf(k5．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N）時該命題成立,那么可推得n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得()A．當(dāng)n＝6時該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時該命題成立C．當(dāng)n＝4時該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時該命題成立6．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N）第一步應(yīng)驗證當(dāng)n＝________時成立．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f（1,2n－1）＜n(n∈N且n＞1),第二步證明從“k到k＋1"，左端增加的項數(shù)是________．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋2＋52n＋1能被14整除的過程中,當(dāng)n＝k＋1時，34(k＋1）＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為______________．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明:eq\f(1，22)＋eq\f(1，32)＋eq\f（1，42)＋…＋eq\f(1,n2）＜1－eq\f(1，n)(n≥2，n∈N＋）．10．是否存在常數(shù)a，b使等式eq\f（12，1×3)＋eq\f（22,3×5)＋…＋eq\f(n2,2n－12n＋1）＝eq\f(an2＋n,bn＋2)對一切n∈N＋都成立？

參考答案1．解析：當(dāng)n＝1時,左邊＝1＋a＋a2.故選C項．答案:C2．解析：因為從n＝k到n＝k＋1的證明過程中沒有用到歸納假設(shè)，故從n＝k到n＝k＋1的推理不正確．答案：D3．答案：B4．解析：第k＋1條直線與原來k條直線相交，最多有k個交點(diǎn)．答案：A5．解析：由反證法可知當(dāng)n＝4時該命題不成立,因為若n＝4時該命題成立，必將推得n＝5時該命題成立，這與已知矛盾．答案：C6．答案:37．解析：當(dāng)n＝k時左端為1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1，2k－1)，當(dāng)n＝k＋1時左端為1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f（1,2k－1）＋eq\f(1,2k）＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f（1,2k＋1－1），故增加的項數(shù)為2k項．答案：2k8．解析：當(dāng)n＝k＋1時,34（k＋1)＋2＋52（k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25（34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋29．證明:(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝eq\f(1，22）＝eq\f（1，4）,右邊＝1－eq\f(1,2）＝eq\f(1,2），左邊＜右邊,不等式成立；（2)假設(shè)當(dāng)n＝k時（k∈N＋，k≥2）不等式成立．即eq\f（1,22）＋eq\f(1，32）＋eq\f（1，42）＋…＋eq\f（1，k2）＜1－eq\f(1，k)。則當(dāng)n＝k＋1時,eq\f(1,22）＋eq\f(1,32）＋eq\f（1，42)＋…＋eq\f（1，k2)＋eq\f（1，k＋12)＜1－eq\f（1,k）＋eq\f（1,k＋12)＝1－eq\f（k＋12－k，kk＋12)＝1－eq\f(k2＋k＋1,kk＋12)＜1－eq\f(kk＋1，kk＋12）＝1－eq\f(1，k＋1),∴當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立．綜合（1)（2)得，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式均成立．10．解：假設(shè)存在常數(shù)a,b使等式成立，將n＝1，n＝2代入上式,有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）＝\f（a＋1,b＋2)，，\f（1,3)＋\f(4,15)＝\f（4a＋2,2b＋2)））eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1,,b＝4.）)即有eq\f（12，1×3)＋eq\f(22，3×5)＋…＋eq\f（n2,2n－12n＋1)＝eq\f（n2＋n，4n＋2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)n＝1時，左邊＝eq\f(12,1×3)＝eq\f(1，3)，右邊＝eq\f（12＋1，4×1＋2）＝eq\f(1，3），所以等式成立．(2)假設(shè)n＝k（k∈N＋)時成立，即eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5）＋…＋eq\f（k2，2k－12k＋1)＝eq\f（k2＋k,4k＋2），則當(dāng)n＝k＋1時，eq\f(12，1×3）＋eq\f（22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＋eq\f（k＋12,2k＋12k＋3）＝eq\f（k2＋k,4k＋2)＋eq\f（k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f（k＋1，2k＋1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（k，2)＋\f(k＋1,2k＋3）))＝eq\f（k＋1，2k＋1)·eq\f(