專題8.7 拋物線（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題8.7拋物線【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1拋物線的定義及其應用】 3【題型2拋物線的標準方程】 5【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】 6【題型4拋物線的軌跡方程】 7【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】 9【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】 11【題型7拋物線的焦半徑公式】 14【題型8拋物線的幾何性質】 16【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 181、拋物線考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程(2)掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)(3)了解拋物線的簡單應用2023年新高考I卷：第22題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5分2023年全國乙卷（文數(shù)）：第13題，5分2023年北京卷：第6題，4分2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分2024年北京卷：第11題，5分拋物線是圓錐曲線中的重要內容，拋物線及其性質是高考數(shù)學的熱點問題.從近幾年的高考情況來看，主要考查拋物線的定義、標準方程、幾何性質、面積問題等內容，在選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相對固定，強調通性通法，選擇、填空題中難度不大，解答題中難度偏大，一般以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問題，需要靈活求解.【知識點1拋物線及其性質】1．拋物線的定義(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.(2)集合語言表示設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標準方程與幾何性質標準

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤03．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.【知識點2拋物線標準方程的求解方法】1．拋物線標準方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【知識點3拋物線的焦半徑公式】1．焦半徑公式設拋物線上一點P的坐標為，焦點為F.(1)拋物線：，；(2)拋物線：，；(3)拋物線：，；(4)拋物線：，.注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半徑公式.【知識點4與拋物線有關的最值問題的解題策略】1．與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略(1)轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.(2)轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【方法技巧與總結】1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.2．拋物線上一點P到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.【題型1拋物線的定義及其應用】【例1】（2024·貴州貴陽·二模）拋物線y2=4x上一點M與焦點間的距離是10，則M到x軸的距離是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【解題思路】借助拋物線定義計算即可得.【解答過程】拋物線y2=4x的準線為由拋物線定義可得xM+1=10，故則yM=4xM=4×9故選：B.【變式1-1】（2024·河北·模擬預測）已知點P為平面內一動點，設甲：P的運動軌跡為拋物線，乙：P到平面內一定點的距離與到平面內一定直線的距離相等，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】根據(jù)已知條件，結合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【解答過程】解：當直線經過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，當直線不經過該定點時，點的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．【變式1-2】（2024·北京大興·三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F且斜率為?1的直線與直線x=?1交于點A，點M在拋物線上，且滿足MAA．1 B．2 C．2 D．2【解題思路】由題意先求出過F且斜率為?1的直線方程，進而可求出點A，接著結合點M在拋物線上且MA=MF可求出xM【解答過程】由題意可得F1,0，故過F且斜率為?1的直線方程為y=?令x=?1因為MA=MF，所以MA垂直于直線x=又M在拋物線上，所以由22所以MF=故選：C.【變式1-3】（2024·福建莆田·模擬預測）若拋物線C的焦點到準線的距離為3，且C的開口朝左，則C的標準方程為（

）A．y2=?6x B．y2=6x C．【解題思路】根據(jù)開口設拋物線標準方程，利用p的幾何意義即可求出.【解答過程】依題意可設C的標準方程為y2因為C的焦點到準線的距離為3，所以p=3，所以C的標準方程為y2故選：A.【題型2拋物線的標準方程】【例2】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知點Aa,2為拋物線x2=2pyp>0上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3，則A．12 B．1 C．2 【解題思路】由題意,根據(jù)拋物線的性質,拋物線x2=2pyp>0,則拋物線焦點為F0,p2，若Mx【解答過程】因為拋物線為x2則其焦點在y軸正半軸上,焦點坐標為0,p由于點Aa,2為拋物線x2=2py所以點A到拋物線的焦點F的距離為AF=2+p2故選：C.【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）過點2,?3，且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是（

）A．x2=?3y B．x2=?43【解題思路】利用待定系數(shù)法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.【解答過程】設拋物線的標準方程為x2將點點2,?3代入，得22=?3a，解得所以拋物線的標準方程是x2故選：B.【變式2-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（A．y2=x B．y2=2x C．【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求解．【解答過程】由題意拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點F的距離與它到直線因此?p2=?1拋物線方程為y2故選：C．【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，AE與準線垂直且垂足為E，若BC=2A．y2=3xC．y2=9x【解題思路】過點A,B作準線的垂線，設BF=a，得到AC=3+3a，結合拋物線的定義，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得【解答過程】如圖所示，分別過點B作準線的垂線，垂足為D，設BF=a，則BC由拋物線的定義得BD=在直角△BCD中，可得sin∠BCD=BDBC在直角△ACE中，因為AE=3，可得AC由AC=2AE，所以3+3a=6，解得因為BD//FG，所以1p=2a3a，解得故選：C.

【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】【例3】（2024·內蒙古赤峰·二模）已知拋物線C的方程為

x=?116yA．(-4,0) B．?140 C．(-2,0)【解題思路】由拋物線的幾何性質求解．【解答過程】依題意得：y2=?16x，則此拋物線的焦點坐標為：故選：A.【變式3-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知拋物線C:y=6x2，則C的準線方程為（A．y=?32 B．y=32 C．【解題思路】根據(jù)拋物線的準線方程直接得出結果.【解答過程】拋物線C：y=6x2的標準方程為所以其準線方程為y=?1故選：C.【變式3-2】（2024·河南·三模）拋物線y2=?28x的焦點坐標為（A．0,?14 B．0,?7 C．?14,0 D．?7,0【解題思路】根據(jù)拋物線的標準方程直接得出結果.【解答過程】∵2p=28,∴p=14,∴拋物線y2=?28x的焦點坐標為故選：D.【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線y2=mx的準線經過雙曲線x2?yA．?4 B．4 C．?8 【解題思路】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結果.【解答過程】因為雙曲線x2?y又拋物線y2=mx的準線方程為x=?m4，則故選：C.【題型4拋物線的軌跡方程】【例4】（2024·湖南衡陽·三模）已知點F(2,0)，動圓P過點F，且與x=?2相切，記動圓圓心P點的軌跡為曲線Γ，則曲線Γ的方程為（

）A．y2=2x B．y2=4x C．【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.【解答過程】由題意知，點P到點F的距離和它到直線x=?2的距離相等，所以點P的軌跡是以(2,0)為焦點的拋物線，所以Γ的方程為y2故選：C.【變式4-1】（23-24高二上·北京延慶·期末）到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點且動點不在xA．y2=8x B．y2=4x C．【解題思路】根據(jù)拋物線的定義即可得解.【解答過程】因為動點到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)所以動點到定點F(1,0)所以動點的軌跡是以F(1,0)所以動點的軌跡方程是y2故選：B.【變式4-2】（23-24高二上·重慶·期末）已知點Px,y滿足(x?1)2+y2A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【解題思路】根據(jù)已知條件及拋物線的定義即可求解.【解答過程】(x?1)2+y2表示點Px,y到點1,0的距離；x+1因為(x?1)2所以點Px,y到點1,0的距離等于點Px,y到直線所以P的軌跡為拋物線.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓F：x+22+y2=1A．y2=8x B．y2=4x C．y2【解題思路】先利用圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系找到動點M的幾何條件，再根據(jù)拋物線的定義確定動點M的軌跡，最后利用拋物線的標準方程寫出軌跡方程．【解答過程】設動圓M的半徑為r，依題意：MF=r?1點M到定直線x=2的距離為d=r?1，所以動點M到定點F?2,0的距離等于到定直線x=2即M的軌跡為以F為焦點，x=2為準線的拋物線，所以此動圓的圓心M的軌跡方程是y2故選：D．【題型5\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線上的點到定點的距離及最值"拋物線上的點到定點的距離及最值】【例5】（2024·全國·模擬預測）已知A是拋物線C：y2=4x上的點，N4,0，則ANA．2 B．22 C．4 D．【解題思路】由拋物線的方程，利用二次函數(shù)的性質求最值【解答過程】設At則AN=當且僅當t=±22故選：D．【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知P是拋物線y2=2x上的點，Q是圓x?52+yA．2 B．22 C．23【解題思路】將問題轉化為求|PC|的最小值，根據(jù)兩點之間的距離公式，求得|PC|的最小值再減去半徑即可.【解答過程】如圖，拋物線上點Px,y到圓心C5,0的距離為

因此PQ≥CP?1，當CP而CP2當y=±22時，CPmin=3，因此PQ故選：A.【變式5-2】（2024·湖南益陽·三模）已知M是拋物線y2=4x上一點，圓C1:x?12+y?22=1關于直線y=x?1對稱的圓為C2A．22?1 B．2?1 C．11【解題思路】根據(jù)對稱性求出圓C2的方程，設My024【解答過程】圓C1:x?12+y?22則由對稱性可知：b?2a?1×1=?11+a2?所以圓C2:設My02所以當y02=4，即y所以MN的最小值是22故選：A.【變式5-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，M為C上的動點，N為圓A:x2+y2+2x+8y+16=0上的動點，設點MA．1 B．22 C．332【解題思路】作出圖形，過點M作ME垂直于拋物線的準線，垂足為點E，利用拋物線的定義可知d=MF?2，分析可知，當且僅當N、M為線段AF分別與圓A、拋物線C的交點時，【解答過程】根據(jù)已知得到F2,0，圓A:x+12+y+42=1拋物線C的準線為l:x=?2，過點M作ME⊥l，垂足為點E，則ME=d+2由拋物線的定義可得d+2=ME所以，MN+d=當且僅當N、M為線段AF分別與圓A、拋物線C的交點時，兩個等號成立，因此，MN+d的最小值為3故選：D.【題型6\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值"拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模擬預測）設點A(2,3)，動點P在拋物線C:y2=4x上，記P到直線x=?2的距離為d，則APA．1 B．3 C．10?1 D．【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，P到焦點F的距離等于P到準線的距離，可得d=|PF|+1，從而轉化為求|AP|+|PF|+1的值，當A,P,F三點共線時，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答過程】由題意可得，拋物線C的焦點F1,0，準線方程為x=?1由拋物線的定義可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因為|AP|+|PF|≥|AF|=所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥10當且僅當A,P,F三點共線時取等號，所以|AP|+d的最小值為1故選：D.【變式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知拋物線方程為:y2=16x，焦點為F.圓的方程為x?52+y?12=1，設PA．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】根據(jù)拋物線定義將點到焦點的距離轉化為點到直線的距離，即PF=PN，從而得到PF+PQ=PN+【解答過程】

由拋物線方程為y2=16x，得到焦點F4,0，準線方程為x=?4，過點P因為點P在拋物線上，所以PF=所以PF+PQ=PN+PQ，當又因為Q在圓上運動，由圓的方程為x?52+y?12=1得圓心M故選：C.【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點F1,0，E?2,0，M2,2，動點P滿足線段PE的中點在曲線y2=2x+2A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】設Px,y，由題意求出P的軌跡方程，繼而結合拋物線定義將PM+PF的最小值轉化為M【解答過程】設Px,y，則PE的中點坐標為x?22,y2故動點P的軌跡是以F為焦點，直線l：x=?1由于22<4×2，故M2,2過點P作PQ⊥l，垂足為Q，則PM+故當且僅當M，P，Q三點共線時，PM+PQ最小，即最小值為點M到直線l的距離，所以PM+故選：B．【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設P為拋物線C：y2=4x上的動點，A2,6關于P的對稱點為B，記P到直線x=?1、x=?4的距離分別d1、d2A．33+2 B．233+2 C．3【解題思路】根據(jù)題意得到d1【解答過程】拋物線C：y2=4x的焦點為F1,0如圖，因為d2=d1+3，且A2,6關于所以d1+≥2AF+3當P在線段AF與拋物線的交點時，d1+d故選：D.【題型7\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線的焦半徑公式"拋物線的焦半徑公式】【例7】（2024·青海西寧·一模）已知F是拋物線C:x2=4y的焦點，點M在C上，且M的縱坐標為3，則MFA．22 B．23 C．4【解題思路】利用拋物線的標準方程和拋物線的焦半徑公式即可求解.【解答過程】由x2=4y，得2p=4，解得所以拋物線C:x2=4y的焦點坐標為F又因為M的縱坐標為3，點M在C上，所以MF=故選：C.【變式7-1】（2024·河南·模擬預測）已知拋物線C:y2=2pxp>0上的點m,2到原點的距離為22，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=A．13 B．12 C．33【解題思路】根據(jù)點m,2到原點的距離為22求出拋物線方程，再設點P【解答過程】因為點m,2到原點的距離為22所以m2+2將點(2,2)代入拋物線方程y2=2pxp>0，得4=4p所以C:y

由于拋物線關于x軸對稱，不妨設P(x,2x因為|PQ|=|PF|=x+12，所以△PQF為等腰三角形，∠PQF=π所以|QF|=所以|QF|=1+2x解得x=16或所以PF=故選：D.【變式7-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線C：y2=x的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦PQ與弦MN的交點恰好為F，且PQ⊥MN，則1PQA．22 B．1 C．2 【解題思路】由拋物線的方程可得焦點F的坐標，應用拋物線焦點弦性質PF=p1?cosθ，QF=p【解答過程】由拋物線C:y2=x得2p=1，則p=不妨設PQ的傾斜角為θ0<θ<則由PFcosθ+p=PF得PF=p1?所以MF=p1?得PQ=PF+所以1PQ故選：B.【變式7-3】（2024·北京西城·三模）點F拋物線y2=2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若FA+FB+A．2 B．23 C．3 D．【解題思路】設A(x1,y1),B(x2,【解答過程】設A(x由y2=2x，得p=1，所以F(1因為FA+FB+FC=所以x1+x所以|==3故選：C.【題型8拋物線的幾何性質】【例8】（2024·重慶·模擬預測）A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且△OAB的重心恰為F，若|AF|=5，則p=（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)重心可得x1+x【解答過程】設Ax因為△OAB的重心恰為F，則x1+x由y1=?y2可知A,B關于則x1+x又因為AF=x1故選：D.【變式8-1】（23-24高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2x上，則這個等邊三角形的邊長為（A．2 B．23 C．4 D．【解題思路】正三角形的另外兩個頂點關于x軸對稱，設另外兩個頂點坐標分別是A3【解答過程】設正三角形得邊長為2a，由圖可知正三角形的另外兩個頂點關于x軸對稱，可設另外兩個頂點坐標分別是A3把頂點代入拋物線方程得a2=23所以正三角形的邊長為43故選：D.【變式8-2】（23-24高三下·北京·階段練習）設拋物線C的焦點為F，點E是C的準線與C的對稱軸的交點，點P在C上，若∠PEF=30°，則sin∠PFE=（

A．34 B．33 C．22【解題思路】先設P(x0,y0【解答過程】由于拋物線的對稱性，不妨設拋物線為C:y2=2px(p>0)點E是C的準線與C的對稱軸的交點，其坐標為E(?p點P在C上，設為P(x0,y0且|PF|=x0+故選：B.【變式8-3】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知x軸上一定點Aa,0a>0，和拋物線y2=2pxp>0上的一動點M，若AMA．0,p2 B．0,p C．0,3p【解題思路】設Mx0,y0x0≥0，表示出AM，依題意可得x02?2a?2px0【解答過程】設Mx0,y0==x因為AM≥a恒成立，所以x所以x0當x0=0時顯然恒成立，當x0所以2a?2p≤0，則a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即實數(shù)a的取值范圍為0,p.故選：B.【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】【例9】（2024·江西新余·二模）已知點Q2,?2在拋物線C：y2=2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則△OQF（OA．12 B．1 C．2 【解題思路】將點Q代入拋物線C的方程，即可求解p，再結合拋物線的公式，即可求解【解答過程】∵點Q(2,?2)在拋物線C:y2=2px上，F(xiàn)∴4=4p，解得p=1，故拋物線C的方程為y2=2x，F(xiàn)(1則△OQF的面積S△OQF故選：A．【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面積是△BEF面積的2倍，則拋物線A．y2=2x B．y2=4x C．【解題思路】過A,B分別作C的準線的垂線交y軸于點M,N，根據(jù)拋物線定義可得AM=5?p2，BN=3?p【解答過程】如圖，過A,B分別作C的準線的垂線交y軸于點M,N，則AM//BN，故因為C的準線為x=?p2，所以AM=所以S△AEFS△BEF故拋物線C的方程為y2故選：B.【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）設F為拋物線y2=4x的焦點，A,B,C為該拋物線上不同的三點，且FA+FB+FC=0,O為坐標原點，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為SA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】設點A,B,C的坐標，再表示出△OFA,△OFB,△OFC的面積，借助向量等式即可求得答案.【解答過程】設點A,B,C的坐標分別為(x1,y1FA=(x1?1,y于是S1所以S1故選：A.【變式9-3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C：y2=8x，點P為拋物線上任意一點，過點P向圓D：x2+y2?4x+3=0作切線，切點分別為AA．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】由題意圓的圓心與拋物線的焦點重合，可得連接PD，則S四邊形PADB=2SRt△PAD=PA，而【解答過程】如圖，連接PD，圓D：x?22則S四邊形又PA=PD2?1，所以當四邊形過點P向拋物線的準線x=?2作垂線，垂足為E，則PD=當點P與坐標原點重合時，PE最小，此時PE=2故S四邊形故選：C.一、單選題1．（2024·江西·模擬預測）若拋物線x2=8y上一點x0,y0到焦點的距離是該點到A．12 B．1 C．32【解題思路】根據(jù)拋物線的方程，結合拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義，得到拋物線上的點x0,y【解答過程】已知拋物線的方程為x2=8y，可得所以焦點為F0,2，準線為l：y=?2拋物線上一點Ax0,y0即AF=又∵A到x軸的距離為y0由已知得y0+2=2y故選：D．2．（2024·四川·模擬預測）已知拋物線C:x2=8y的焦點為F,P是拋物線C上的一點，O為坐標原點，OP=43A．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】求出拋物線焦點和準線方程，設Pm,nm≥0，結合OP=4【解答過程】拋物線C:x2=8y的焦點為F設Pm,nm≥0，則m2=8n,m則PF=n+2=6故選：B．3．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓C與x軸相切且與圓x2+y2=4A．x2=4y+4 C．x2=4y【解題思路】設圓心坐標為x,y，依題意可得x2【解答過程】設圓心坐標為x,y，依題意可得x2+y即圓C的圓心的軌跡方程為x2故選：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若MF=6，則△MNFA．8 B．45 C．55 【解題思路】確定拋物線的焦點和準線，根據(jù)MF=6得到M【解答過程】因為拋物線y2=4x的焦點為F1,0所以MF=xM不妨設M在第一象限，故M5,2所以S△MNF故選：C.5．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知拋物線y2=8x上一點P到準線的距離為d1，到直線l:4x?3y+12=0的距離為d2，則A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】點P到直線l:4x?3y+12=0的距離為|PA|，到準線l1:x=?2的距離為|PB|，利用拋物線的定義得|PF|=|PB|，當A，P和F共線時，點P到直線l:4x?3y+12=0和準線【解答過程】由拋物線y2=8x知，焦點F2,0

點P到直線l:4x?3y+12=0的距離為|PA|，到準線l1:x=?2的距離為由拋物線的定義知：|PB|=|PF|，所以點P到直線l:4x?3y+12=0和準線l1:x=?2的距離之和為且點F2,0到直線l:4x?3y+12=0的距離為d=所以d1+d故選：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x?2)2+(y+1)2=4的一條直徑與拋物線xA．12 B．1 C．2 【解題思路】根據(jù)圓的通徑的上端點就是拋物線通徑的上右端點，可得拋物線x2=2py(p>0)經過點【解答過程】因為圓(x?2)2+(y+1)而拋物線x2=2py(p>0)的通徑與所以圓(x?2)2+(y+1)且圓的直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點，因為圓(x?2)2+(y+1)2=4所以該圓與x軸垂直的直徑的上端點為2,1，即拋物線x2=2py(p>0)經過點2,1，則4=2p，即故選：C.7．（2024·山西運城·三模）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，動點M在C上，點B與點A1,?2關于直線l:y=x?1對稱，則A．22 B．12 C．33【解題思路】根據(jù)對稱性可得B(?1,0)，即點B為C的準線與x軸的交點，作MM′垂直于C的準線于點M′，結合拋物線的定義可知MFMB=MM′MB=【解答過程】依題意，F(xiàn)(1,0)，A(1,?2)，設B(m,n)，則n+2m?1=?1n?2即B(?1,0)，點B為C的準線與x軸的交點，由拋物線的對稱性，不妨設點M位于第一象限，作MM′垂直于C的準線于點設∠MBF=θ,θ∈(0,π2)，由拋物線的定義得MM′當直線MB與C相切時，θ最大，cosθ最小，|MF||MB|?設切線MB的方程為x=my?1(m>0)，由x=my?1y2=4x消去x得y則Δ=16m2?16=0，得m=1，直線MB的斜率為于是θmax=π4，(cos故選：A.8．（2024·江西九江·二模）已知拋物線C:y2=2px過點A1,2，F(xiàn)為C的焦點，點P為C上一點，A．C的準線方程為x=?2B．△AFO的面積為1C．不存在點P，使得點P到C的焦點的距離為2D．存在點P，使得△POF為等邊三角形【解題思路】求解拋物線方程，得到準線方程，判斷A；求解三角形的面積判斷B；利用|PF|=2．判斷C；判斷P的位置，推出三角形的形狀，判斷D．【解答過程】由題意拋物線C:y2=2px過點A(1,2)，可得p=2，所以拋物線方程為C:可以計算S△AFO當P(1,2)時，點P到C的焦點的距離為2，C錯誤；△POF為等邊三角形，可知P的橫坐標為：12，當x=12則12×3=3故選：B．二、多選題9．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線C與拋物線y2=4x關于y軸對稱，則下列說法正確的是（A．拋物線C的焦點坐標是?1,0B．拋物線C關于y軸對稱C．拋物線C的準線方程為x=1D．拋物線C的焦點到準線的距離為4【解題思路】依題意可得拋物線C的方程為y2【解答過程】因為拋物線C與拋物線y2=4x關于所以拋物線C的方程為y2則拋物線C的焦點坐標是?1,0，準線方程為x=1，故A、C正確；拋物線C關于x軸對稱，故B錯誤；拋物線C的焦點到準線的距離為2，故D錯誤.故選：AC.10．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線C:x2=2py的焦點為F，P為其上一動點，當P運動到(t,1)時，|PF|=2，直線l與拋物線相交于A、BA．拋物線的方程為：xB．拋物線的準線方程為：y=?1C．當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與x軸相切D．AF【解題思路】根據(jù)焦半徑即可求解A，根據(jù)準線方程即可求解B，求解圓心和半徑即可判斷C，設出直線l方程，與拋物線方程聯(lián)立，韋達定理，利用焦半徑公式求出AF+【解答過程】對于A：當P運動到t,1時，PF=1+p2=2，故對于B：由x2=4y，故拋物線的準線方程為：對于C：當直線l過焦點F時，設A為x0,y故以AF為直徑的圓的半徑為y0+12，又F0,1，故以圓心到x軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與x軸相切，故C正確；對于D：由題意直線l斜率存在，設l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mx整理得x2?4kx?4m=0，Δ=所以xA所以yA+y所以AF+不能確定什么時候最小，則D錯誤.故選：BC.11．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知拋物線C：x2=2y的焦點為F，準線為l，點A，B在C上（A在第一象限），點Q在l上，以AB為直徑的圓過焦點F，QB=λBF（A．若λ=3，則BF=34 B．若C．△AFB的面積最小值為14 D．△AQB的面積大于【解題思路】對于A，由拋物線的定義及△QBD∽△QEF即可；對于B，由拋物線的定義及△AQF≌△AQM即可；對于C，分類討論B點所在象限，并由焦半徑公式結合三角函數(shù)輔助角公式即可；對于D，結合C選項，分類討論B點所在象限，可證QB≥BF，得【解答過程】對于A，設點B在準線l上的投影為D，準線l與y軸交于點E，因為A,B兩點在拋物線x2=2y上，根據(jù)拋物線的定義BD=又QB=3則|QBQF=對于B，設點A在準線l上的投影為點M，因為以AB為直徑的圓過焦點F，所以AF⊥QF，且|AF|=|AM|，所以△AQF≌△AQM，又因為∠AQF=3π8即∠MAF=π4，由焦半徑公式AF=p對于C，分兩種情況：當點A,B都在第一象限，設∠AFy=α，α∈0,由焦半徑公式可得AF=BF=所以S△ABF令fα設t=sin且t2所以S△ABF當且僅當α=π當點B在第二象限時，設∠AFO=β，β∈0,則AF=11+所以S△ABF同理令t=sinβ+cos所以21+所以S△ABF當且僅當β=π綜上，△AFB面積的最小值為3?22對于D，當點A,B都在第一象限，|EF|=1，QF=1sin則QB=所以QBBF即QB≥所以S當點B在第二象限時，同理可得QBBF即QB>所以S△AQB綜上，△AQB的面積大于3?22故選：ABD.三、填空題12．（2024·陜西寶雞·三模）拋物線y2=2px(p>0)過點A(2,2)，則點A到拋物線準線的距離為5【解題思路】將已知點代入拋物線方程求得p，結合拋物線定義求解即可.【解答過程】由題意22=2p×2，解得p=1，所以拋物線的準線為故所求為2+1故答案為：5213．（2024·西藏林芝·模擬預測）拋物線x2=16y的焦點為F，點P(x,y)為該拋物線上的動點，點A(2,0)，則|PF|?|PA|的最大值是【解題思路】作PM⊥準線l，M為垂足，由拋物線的定義可得|PF|?|PA|=|PM|?|PA|≤AM，故當P，A，M三點共線時|PF|?|PA|【解答過程】根據(jù)拋物線方程x2=16y，可得F(0,4)，準線方程為作PM⊥準線l，M為垂足，又知A(2,0)，由拋物線的定義可得|PF|?|PA|=|PM|?|PA|≤AM故當P，A，M三點共線時，|PM|?|PA|=|AM|取最大值，最大值為|AM|=4．故答案為：4.

14．（2024·上海·三模）過拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點F的直線交E于點A,B，交E的準線l于點C，AD⊥l，點D為垂足.若F是AC的中點，且AF=3【解題思路】作BE⊥l于點E，l與x軸交于點M，借助相似三角形的性質可得ADFM=AC【解答過程】作BE⊥l于點E，l與x軸交于點M，如圖，則AD//FM//BE，又AF=3且F是AC的中點，則有AD即AD=2FM，又AD=又FMBE=FCBC，故32FB=33?故答案為：4.四、解答題15．（24-25高二上·全國·課堂例題）分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．(1)焦點為?2,0；(2)準線為y=?1；(3)過點A2,3(4)焦點到準線的距離為52【解題思路】（1）根據(jù)焦點位置得到p=4，則得到其標準方程；（2）根據(jù)準線方程得到p=2，則得到其標準方程；（3）利用待定系數(shù)，設出拋物線方程，代入所過得點即可；（4）根據(jù)距離求出p=5【解答過程】（1）由于焦點在x軸的負半軸上，且p2=2，∴拋物線的標準方程為y2（2）∵焦點在y軸正半軸上，且p2=1，∴拋物線的標準方程為x2（3）由題意，拋物線方程可設為y2=mxm≠0將點A2,3的坐標代入，得32=m?2∴m=92或∴所求拋物線的標準方程為y2=9（4）由焦點到準線的距離為52，可知p=∴所求拋物線的標準方程為y2=5x或y2=?5x或16．（23-24高二下·甘