專題6.4 數(shù)列的通項公式的求法（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.4數(shù)列的通項公式的求法【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1觀察法】 3【題型2定義法】 5【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項】 7【題型4累加法】 9【題型5累乘法】 11【題型6構(gòu)造法】 13【題型7由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 16【題型8由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 18【題型9周期數(shù)列的通項問題】 21【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項】 23【題型11雙數(shù)列的通項問題】 26【題型12特殊數(shù)列求通項】 301、數(shù)列的通項公式的求法考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解數(shù)列的通項公式和遞推關(guān)系(2)掌握求數(shù)列的通項公式的常用方法2022年新高考全國I卷：第17題，10分2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的通項公式的求解是高考考查的熱點，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問中，難度不大；有時也會出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項公式的求法多種多樣，需要靈活求解.【知識點1數(shù)列的通項公式】1．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.2．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.(2)對數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可以用等式來表示.【知識點2數(shù)列的通項公式的常見求法】1．觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項.2．定義法：已知數(shù)列的通項公式的類型，對于含參的通項公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項.3．公式法：由an與Sn的關(guān)系求通項：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項.6．構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.7．等差數(shù)列的通項公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項和公差，直接利用等差數(shù)列的通項公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.8．等比數(shù)列的通項公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項和公比，直接利用等比數(shù)列的通項公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.【題型1觀察法】【例1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）數(shù)列1,?22,12,?24,14,?的一個通項公式為（

A．?12n?1 B．?22n【解題思路】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及每一項的聯(lián)系，即可找出數(shù)列的通項公式.【解答過程】通過觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，故第n項的正負(fù)可以用(?1)n+1而1=2故數(shù)列的通項可為?1n+1故選：D.【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【解題思路】根據(jù)觀察歸納出an=n【解答過程】設(shè)該數(shù)列為an當(dāng)n為奇數(shù)時，a所以an當(dāng)n為偶數(shù)時，a所以an所以a25故選:B.【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列?2,4,?263,20,?A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=?1【解題思路】利用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列的各項結(jié)合排除法即可.【解答過程】選項A：a3選項B：a2選項C：a2而選項D中的通項公式滿足數(shù)列?2,4,?26故選：D.【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【解題思路】根據(jù)給定圖形信息，利用歸納法求出六邊形數(shù)形成數(shù)列的通項公式，即可求出要求的項.【解答過程】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列{a依題意，a1=1=1×1,a所以a20故選：C.【題型2定義法】【例2】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通項公式，并求a(2)若bn是由a2,【解題思路】（1）設(shè)an=kn+bk≠0（2）寫出a2【解答過程】（1）設(shè)an=kn+bk≠0,則k+b=3,∴an=2n+1n∈（2）∵a2,∴歸納bn的一個通項公式為b【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an=(1)求通項公式an(2)求證：an【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列an的通項將n=2,n=3分別代入可計算出a=3,b=2，可求得通項公式；（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義，由a【解答過程】（1）由an=an2a2b+1=6因此an所以，數(shù)列an的通項公式為（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知，an+1即an+1故an【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知f(x)是對數(shù)函數(shù)且圖象過點5,12，數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm【解題思路】（1）先求出對數(shù)函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)an（2）根據(jù)數(shù)列前n項和公式求出Sn=?log5n+1，從而得出S【解答過程】（1）設(shè)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)，因為f(x)所以loga5=12又?jǐn)?shù)列an滿足a所以an（2）由（1）得anS==?log因為n∈N?，所以因為Sm≥2m∈N?所以m的最小值為24.【變式2-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項起，若數(shù)列an的每一項與前一項的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列an為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列an為“等平方差數(shù)列”，且a(1)判斷滿足條件的數(shù)列an(2)求正項數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義求出an（2）判斷an【解答過程】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義，及a1=1，得a5即9=1+4d，解得d=2．依題意，得an所以an所以滿足條件的數(shù)列an（2）因為an所以由（1）得an因為an所以an<a【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項】【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn=2A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【解題思路】由an【解答過程】Sn=2n?1?當(dāng)n≥2,a所以數(shù)列an的通項公式為a故選：D.【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=A．a(chǎn)n=n+1 C．a(chǎn)n=2n+1 【解題思路】當(dāng)n=1時，求得a1；當(dāng)n≥2時，根據(jù)an=【解答過程】當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an經(jīng)驗證，a1=2故選：D.【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【解題思路】利用數(shù)列的通項和前n項和公式求解.【解答過程】解：由題意可得a1當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，a1兩式相減得an2n?1=1綜上所述，a所以a2024故選：C．【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【解題思路】由題中等式，可得2nan=n?2n?【解答過程】當(dāng)n=1時，有2a所以a1當(dāng)n≥2時，由2a1+兩式相減得2n此時，an=n+1所以an的通項公式為a故選：B.【題型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n?1n C．n?1n【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得an+1【解答過程】由題意可得an+1所以當(dāng)n≥2時，a2?a1=1?12上式累加可得，a=1?1又a1=1，所以當(dāng)n=1時，a1所以an故選：B.【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【解題思路】采用累加法化簡可求an【解答過程】因為a1=2,aan?an?1=lnn累加得：an?a故選：C.【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列an滿足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【解題思路】應(yīng)用累加法求數(shù)列通項公式，再求出對應(yīng)項.【解答過程】由題設(shè)an?an?1=2(n?1)累加可得an?a1=2(n?1+?+2+1)=n(n?1)顯然a1=9也滿足上式，所以故選：A.【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼硌芯繑?shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作an，下列不是數(shù)列an的項的是（A．35 B．70 C．145 D．170【解題思路】根據(jù)已知得出的前幾項，進(jìn)而得出遞推公式an=1,n=1an?1+3n?2,n≥2.根據(jù)累加法求得通項公式為【解答過程】由已知可得，a1=1，a2=5=a所以，an當(dāng)n≥2時，累加法求和如下a1a2a3?an兩邊同時相加可得，a1整理可得，an對于A項，令3n2?n2=35可得，3所以，a5對于B項，令3n2?n2=70可得，3所以，a7對于C項，令3n2?n2=145可得，3所以，a10對于D項，令3n2?n2=170可得，3所以，170不是數(shù)列an故選：D.【題型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【解題思路】根據(jù)題意可得an+1【解答過程】解：由an=na即an+1則anan?1=nn?1，由累乘法可得ana1=n，因為故選：C．【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列an滿足a1=13，an=2n?32n+1an?1A．14n2C．12n?12n+3 【解題思路】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．【解答過程】解：數(shù)列{an}滿足a整理得anan?1=2n?32n+1，所有的項相乘得：an整理得：an故選：A．【變式5-2】（2024·吉林長春·一模）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，SnA．13n?1 C．6(n+1)(n+2) D．【解題思路】由已知可得出Sn+nan=2(n+1)an=(n?1)【解答過程】因為Sn+nan為常數(shù)列且當(dāng)n≥2時，Sn?1①?②得：(n+1)an=(n?1)從而a2a1當(dāng)n=1時，上式也成立．故選：B.【變式5-3】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a2=4，SnA．a(chǎn)n=2nn∈C．a(chǎn)n=n+2n∈【解題思路】令n=2可求得a1的值，再令n≥2，由2Sn=n+1an【解答過程】因為數(shù)列an的前n項和為Sn，a2∴當(dāng)n=2時，S2當(dāng)n≥2時，由2Sn=兩式相減得2an=∴a故選：A.【題型6構(gòu)造法】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和S(1)求an(2)證明：a1【解題思路】（1）利用Sn和a（2）利用2k【解答過程】（1）因為Sn令n=1得S1=2a當(dāng)n≥2時，Sn?1由①?②得an即a又a1所以數(shù)列an故an+1=2（2）因為ak當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，a==2綜上，a1【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2+3【解題思路】（1）利用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義與通項公式可得Sn=n（2）由（1）知bn【解答過程】（1）根據(jù)題意，n+1Sn=n由于S11=a1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時，an驗證n=1時a1=1滿足通項公式，故數(shù)列{a（2）由（1）知bn設(shè)?1nn2的前n項和為AA==1+2+3+4+???+n?1當(dāng)n為奇數(shù)時，An設(shè)?3n的前n項和為Bn，則因為Tn=【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足(1)求證：數(shù)列an(2)已知bn=n2?a【解題思路】（1）由an與S（2）由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答過程】（1）當(dāng)n=1時，a1=2a當(dāng)n≥2時，由Sn=2a兩式相減得an=2a又因為a1?2=?3，所以an?2是首項為（2）由（1）知，an所以bn數(shù)列bn的前n項和為T可得2T兩式相減得?T所以Tn【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求證：?3【解題思路】（1）借助Sn與an的關(guān)系消去Sn（2）借助裂項相消法求和，由0<1【解答過程】（1）當(dāng)n=1時，2S由2Sn=則2S化簡得n+1an+1?n+2a所以an+1n+2?則an因為a12?所以an（2）因為an=?2n+1，所以S所以1S1+由1n+1+1n+2隨故?3即?3【題型7由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且點((1)求數(shù)列an(2)數(shù)列{anan+1}前n項和為Tn，求能使Tn【解題思路】（1）由題設(shè)易得1a（2）對數(shù)列{anan+1}的通項分析可通過裂項相消法求前n項和T【解答過程】（1）點(1an+1,1a所以數(shù)列1an是以首項為1故1an=1+2（2）an+1a所以T即Tn=12(1?13故要使Tn<3m?12對n∈N*恒成立，需使3m?12≥又m∈Z，所以m【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=?2，(1)求數(shù)列an(2)若an+1≤2k?3a【解題思路】（1）利用退一相減法可得數(shù)列an（2）代入，分離參數(shù)可得k≥3n?82×3n，再設(shè)bn【解答過程】（1）由已知Sn+1則當(dāng)n≥2時，Sn①?②得an+1即an所以數(shù)列an是以?2為首項，1所以an（2）由（1）得an即不等式n?2≤2k?3n所以k≥3n?8設(shè)bn又bn+1所以當(dāng)n≤3時，bn+1?bn>0所以當(dāng)n≤4時，數(shù)列bn單調(diào)遞增，當(dāng)n≥4時，數(shù)列b所以bn所以k≥2即實數(shù)k的最小值為282【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數(shù)列an前n項的乘積，若a1【解題思路】（1）利用a6+a（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進(jìn)行分情況討論，從而求解.【解答過程】（1）設(shè)an的公差為d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通項公式為an=2（2）因為a1<0，所以：得：當(dāng)n≤5時，an<0；當(dāng)n≥6時，從而T1又因為：T2=a1a故Tn的最大值為945【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)求數(shù)列an的通項a(2)設(shè)bn=an+22n+2?【解題思路】（1）先將題目中的表達(dá)式邊同時除以nn+1可證得Snn是以a11=1為首項，（2）先求出bn【解答過程】（1）因為2nSn+1?2(n+1)所以2Sn+1n+1所以Snn是以a1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n=1時，a1所以an（2）由（1）可得，bn=a則TT=1【題型8由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=3n(n+2)an，數(shù)列b【解題思路】（1）利用an（2）利用裂項相消法求和，然后觀察可證明不等式.【解答過程】（1）當(dāng)n=1，由S1=3當(dāng)n≥2時，Sn所以an=3(2n?1)因為n≥2，所以ann=3?an?1所以an則ann=3×（2）由（1）知bnT=1因為n∈N?，所以【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【解題思路】（1）首先根據(jù)2an?Sn為等差數(shù)列求其通項公式，然后利用an與Sn（2）首先根據(jù)（1）求得Sn=2n+1?n?2，代入求得b【解答過程】（1）由題意得2a1?所以2a②－①，得2an+1?2所以an+1又a1+1=2≠0，所以所以數(shù)列an所以an+1=2（2）由（1）知，Sn=2解法一：bn+1當(dāng)n=1時，bn+1?bn>0，即b1<當(dāng)n≥3時，bn+1?bn<0，即b所以數(shù)列bn的最大項為b2和b3解法二：bn+1令bn+1bn>1，解得n<2；令bn+1bn因為bn>0，所以b1所以數(shù)列bn的最大項為b2和b3【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的首項a1=1(1)證明an?3(2)是否存在正整數(shù)m，使得對任意的正整數(shù)n，am+a【解題思路】（1）由已知可得an+1?32(n+1)+14（2）假設(shè)am+an=am+n成立，由（1）可得(?1)m+(?1)n【解答過程】（1）由an+1+a所以an+1?3故a1?3所以an+1所以an?3故an?3（2）由（1）可得an=am+n假設(shè)am則(?1)m+(?1)化簡得(?1)m可知當(dāng)m為正偶數(shù)，即m=2k,k∈N?時，（*）式對任意的正整數(shù)因此，存在正整數(shù)m，當(dāng)m=2k，k∈N?時，對任意的正整數(shù)【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足(1)當(dāng)k=2時，求S10(2)若k=52，設(shè)bn【解題思路】（1）由等差數(shù)列定義得出an（2）由定義證明數(shù)列bn【解答過程】（1）當(dāng)k=2時，有an即an+2?a因為a1=1,a所以S10（2）由已知，an+2所以an+2?2a且b1=a2?2所以bn【題型9周期數(shù)列的通項問題】【例9】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，anan+1+an?an+1+1=0A．?dāng)?shù)列an是周期數(shù)列 B．C．S2024>T【解題思路】先將遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到an+1=1+an1?an，由a1=2，計算得到【解答過程】選項A：易知an≠1，由an又a1=2，計算得a2=?3，a3因此an選項B：由A知，a2024選項C，D：由周期性，得S2024T2024=T故選：ABD.【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1=1，A．a(chǎn)3=12 B．a(chǎn)n是周期數(shù)列 【解題思路】依次取n=1,n=2,n=3?,n=6即可驗證A項和B項的正確與否，再根據(jù)周期性可判斷C項是否正確，最后根據(jù)周期性和分組求和法可判斷D項是否正確.【解答過程】由題意，數(shù)列an滿足a1=1當(dāng)n=1時，a2=2a1=2當(dāng)n=3時，a4=2a3=1當(dāng)n=5時，a6=2a5=2；當(dāng)n歸納可得數(shù)列an又由a2022因為a1+a故選：ABC．【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+12,x≤122x?1,12<x<1x?1,x≥1A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列C．a(chǎn)2023+a2024【解題思路】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，求出數(shù)列an的前面的項，找到數(shù)列的項出現(xiàn)的規(guī)律，即可判斷A，B；結(jié)合數(shù)列的項的規(guī)律求出a【解答過程】由題意知a1=73，故a4=f13=a7∴數(shù)列an從a3開始每3項，即但前2項和后面項并不重復(fù)，故數(shù)列ana2020a2020故選：BC．【變式9-3】（2024·重慶長壽·模擬預(yù)測）已知Sn是an的前n項和a1=2，A．a(chǎn)2021=2 C．a(chǎn)3na3n+1a3n+2=1【解題思路】推導(dǎo)出an+3【解答過程】因為a1=2，an=1?1an?1以此類推可知，對任意的n∈N?，a2021S2021a3n故選：AC.【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項】【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)an,Sn的關(guān)系，化為（2）由遞推關(guān)系可得an+2?a【解答過程】（1）因為Sn所以Sn+2兩式相減，得an+2所以S=3+4×3+9（2）由（1）知an+2可得an+a因為a1所以a2=5，又所以a又由①②得an+2所以a2n=a則當(dāng)n≥3，且為奇數(shù)時，an又a1=3,a【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列an滿足anan+12(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?1an+1，數(shù)列【解題思路】（1）由數(shù)列的遞推公式，利用累乘法即可求解；（2）對Sn【解答過程】（1）∵anan+12∴an+1a當(dāng)n=2k?1，k∈N*時，a3a1當(dāng)n=2k，k∈N*時，a4a2綜上所述，數(shù)列an的通項公式為a（2）∵b∴S又∵0<1∴n?2<S【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到Sn+1n+1?Snn=1（2）由（1）得到，當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=1?2n；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn【解答過程】（1）解：由nSn+1?n+1S又由a1=1，所以S1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時，Sn?1=(n?1)又當(dāng)n=1時，a1所以an的通項公式為a（2）由（1）可知當(dāng)n為奇數(shù)時，bn當(dāng)n為偶數(shù)時，bn所以T==2n+23=2n+8×【變式10-3】（2024·湖南長沙·三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【解題思路】（1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得an+2an+1?a可得an+1an（2）分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列bn的前n項和S【解答過程】（1）由an得an從而an+2設(shè)dn=a所以數(shù)列dn因為d1所以dn因此，dn=d所以an是首項為58，公比為因此an（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，S=2×5當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn綜上，Sn【題型11雙數(shù)列的通項問題】【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，S5=a11=20(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=Snb【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項及前n項和公式求出首項與公差，即可求出數(shù)列an的通項公式，再求出數(shù)列bn的首項與公比，即可得（2）先求出cn【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則S5=5a所以an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q則b1q2所以bn（2）由（1）得Sn則cncn+1當(dāng)n=1,2時，cn+1當(dāng)n=3時，cn+1當(dāng)n≥4時，cn+1所以當(dāng)n=3或4時，cn【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項積為Tn=3nn?12，數(shù)列bn滿足(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列cn【解題思路】（1）對Tn=3nn?12=（2）令an=3【解答過程】（1）Tn=3當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2,n∈N?時，lna而a1所以數(shù)列an的通項公式為a若數(shù)列bn滿足b1=1，bn?則bn從而數(shù)列bn的通項公式為b（2）令an=3n?1=從而只能n=2k?1,k∈N所以ck所以數(shù)列{cn}【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項和為T【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得數(shù)列an的通項公式，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得數(shù)列b（2）利用錯位相減法求出Tn【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵2a1=2∴a1∴a1∴an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q若選條件①，b5由b1=2，且得b1∴q2?4q+4=0，解得所以bn故bn若選條件②，bn+1令n=1，得b2∴公比q=b∴數(shù)列bn從而bn（2）因為Tn所以12兩式相減，得12即12所以Tn【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)對任意的m∈N?，將an中落入?yún)^(qū)間2（i）求cm（ii）記dm=22b2(m?1)?cm，dm的前m項和記為【解題思路】（1）an的通項通過基本量法求解，bn的通項通過令（2）（i）求出2m?1

（ii）根據(jù)題意求出t和m的關(guān)系，在利用取值范圍求出m和t.【解答過程】（1）a2所以an1?1當(dāng)n≥2時，則1?1①÷②得：1?1bn=b當(dāng)n=1時有：1?1b（2）（i）2因為n∈N?，所以2（ii）b2m?1=2m?1，把cm=所以Tm=2所以T因為12m>0，4+當(dāng)t=1時，m=log1235當(dāng)t=3時，m=3，所以存在t,m，mt=9.【題型12特殊數(shù)列求通項】【例12】（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足(1)數(shù)列an(2)記cn=a2n，數(shù)列1cncn+1的前【解題思路】（1）由已知結(jié)合和與項的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）利用裂項求和求出Tn【解答過程】（1）因為Sn當(dāng)n=1時，S1當(dāng)n≥2時，Sn?1因為Sn兩式相減得，an因為an>0，所以所以{a2n?1}，{a2n所以an（2）由題意得，1c所以Tn因為Tn所以n4(n+1)解得n>8．所以滿足條件的最小整數(shù)n為9．【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【解題思路】（1）根據(jù)公式an=S（2）由（1）知bn,根據(jù)通項公式規(guī)律,用錯位相減來求T【解答過程】（1）當(dāng)n=1時,2S1=a1+1,解出當(dāng)n≥2時,由2Sn=na即an+1n?a利用上述等式有ann?1?因此ann?1?a2當(dāng)n=1,2時,a1=1,a2=3（2）由（1）可知,bn=n+1兩邊同時乘以12得,1錯位相減得12即1整理得，Tn【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)若bn=n?1n+2ana【解題思路】（1）首先利用作差法得到Sn=n（2）由（1）知bn【解答過程】（1）因為1S當(dāng)n≥2時有1S兩式相減得1Sn=當(dāng)n=1時，1S1=1，所以S所以Sn當(dāng)n≥2時，an又a1=S所以an（2）由（1）知b=n所以Tn【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項數(shù)列{an}中，已知a(1)求數(shù)列{a(2)求證：2≤(【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到(n+1)an+1?n（2）由（1）知an=1n，結(jié)合二項式定理，得到【解答過程】（1）解：由nana即(a因為an+1>0,a所以數(shù)列{nan}又因為a1=1，所以nan=1（2）解：由（1）知an則(an+1)因為Cn所以1+C所以2≤(一、單選題1．（2024·貴州黔南·二模）n∈N*，數(shù)列1，?3，7，?15，31，???的一個通項公式為（A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2【解題思路】利用排除法，取特值檢驗即可.【解答過程】對于選項A：因為a1對于選項B：因為a2對于選項C：因為a2對于選項D：檢驗可知對n=1,2,3,4,5均成立，故D正確；故選：D.2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）若an=an?1+n?1，aA．55 B．56 C．45 D．46【解題思路】在數(shù)列遞推式中依次取n=1,2,3,…,n，得到n個等式，累加后求出數(shù)列的通項公式，即可求出答案.【解答過程】由an得a2=aa4=a3+3累加得，a=1當(dāng)n=1時，上式成立，則an所以a10故選：D.3．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解題思路】由an+1=n【解答過程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因為a1=1，所以因為a1=1滿足上式，所以故選：B.4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a1=1，且an+1=2A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2【解題思路】依題意可得an+1+1=2a【解答過程】解：∵an+1=2a由a1=1，得a1+1=2，∴數(shù)列an故選：A.5．（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項數(shù)列an的前n項的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【解題思路】利用給定的遞推公式，結(jié)合對數(shù)運算變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項即可得解.【解答過程】由Tn2=ann+1，得兩邊取對數(shù)得nlgan+1=(n+1)lg則lgann=lga1故選：B.6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足2n?3an?2n?1A．2n?2 B．2n2?n C．2n?1【解題思路】根據(jù)遞推關(guān)系可證明an【解答過程】2n?3a所以an2n?1?an?1故an2n?1=1故選：B.7．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×【解題思路】利用等差中項的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計算求通項公式即可.【解答過程】設(shè)an的公比為q則依題意有2a解方程得q=?3或q=1（舍去），所以an=故選：C.8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=12，aA．a(chǎn)n=1n+1，n≥1，n∈N? C．a(chǎn)n=?32?1n，n≥1，n∈【解題思路】先把1n【解答過程】因為an+1=a則當(dāng)n≥2，n∈N?時，將n?1個式子相加可得an因為a1=1當(dāng)n=1時，a1所以an=32?故選：D.二、多選題9．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．a(chǎn)2=1 B．a(chǎn)nan?1=【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件求得a2=a1=1【解答過程】對于AB，因為數(shù)列an滿足a1=1所以當(dāng)n=2時，a2=a對于CD，當(dāng)n≥2時，an+1兩式相減，得an+1?a又a11=1，a所以ann是從第二項起首項為故當(dāng)n≥2時，ann=綜上，an故選：AD．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，若Tn=a1A．a(chǎn)n=n+1C．a(chǎn)n=?【解題思路】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和正負(fù)變號的位置并結(jié)合Tn【解答過程】對A，若an=n+1n，則對B，若an=2n?7，則a1=?5<0，a2所以當(dāng)n≥3時，Tn<0，又T1所以當(dāng)n=2時，Tn對C，若an=?又T1=?12<0，T2=?對D，若an=sinnπ4，則a1=22，又T1=T2=故選：BCD．11．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=A．a(chǎn)3=2?22C．a(chǎn)n+1≤n+1【解題思路】根據(jù)遞推公式分別求出a2和a3可判斷A；將an+1=an1+an兩邊同時取倒數(shù)后配方，再適當(dāng)放縮可得到1【解答過程】∵a1=1，an+1=a對于A，a2=a對于B，∵an+1=an1+∴1an+1<對于C，由B知，1an+1<∴當(dāng)n≥2時，1a∵a1=1，∴即an≥2∴an+1對