《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

14/142.2.1雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時(shí)）（名師:張遠(yuǎn)建）1.核心素養(yǎng)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)解析法解題能力，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）進(jìn)一步熟悉雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）掌握雙曲線的定義在焦點(diǎn)三角形問題中的應(yīng)用.（3）了解雙曲線在實(shí)際問題中的初步應(yīng)用.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)雙曲線的定義4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)雙曲線的定義在焦點(diǎn)三角形問題中的應(yīng)用二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前預(yù)習(xí)1.預(yù)習(xí)任務(wù)回顧雙曲線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有那些區(qū)別?雙曲線的與橢圓的有何區(qū)別?2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或答案：A解析：考查雙曲線的定義2.在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，已知，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．或C． D．或答案：D解析：考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧(1)平面內(nèi)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)雙曲線，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，是看x2，y2系數(shù)的符號(hào)，注意都有2.問題探究問題探究一進(jìn)一步熟悉雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程.例1已知方程表示的圖形是雙曲線，那么的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：∵方程的圖形是雙曲線，∴．即：或，解得：或．故選B．點(diǎn)評(píng)：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)是異號(hào)的，但若中間以“－”相連，則必須是同號(hào)的．形如的方程，若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，表示雙曲線．例2已知定圓，定圓，動(dòng)圓與定圓都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為則由已知可得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為：點(diǎn)拔：由動(dòng)圓與定圓的關(guān)系，得，從而聯(lián)想到雙曲線的定義，用定義來(lái)確定方程（軌跡），達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，可見，在圓錐曲線中定義的應(yīng)用十分廣泛、靈活.問題探究二掌握雙曲線的定義在焦點(diǎn)三角形問題中的應(yīng)用例3若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，在雙曲線上，且，求的大小．【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由雙曲線的方程，知由雙曲線的定義，得上式兩邊平方，得由余弦定理，得點(diǎn)拔：在焦點(diǎn)三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)．另外，還經(jīng)常結(jié)合，運(yùn)用平方的方法，建立它與的聯(lián)系，請(qǐng)同學(xué)們多加注意．一般地，已知雙曲線上一點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，若，求的面積．解：由雙曲線的定義，有，在中，由余弦定理有∴，即∴問題探究三：了解雙曲線在實(shí)際問題中的初步應(yīng)用例4A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B的正東方，相距6km，C在B的北偏西方向上，相距4km，P為敵炮陣地．某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為1km/s）．A若炮擊P地，求炮擊的方位角．【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，BA所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則、、．∵．∴點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上．該雙曲線右支方程為．①又∵．∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．該直線方程為．②由①②得：，解得：或（舍去）．∴．又∵，∴．∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的北偏東方向上，即A炮擊P地的方位角是北偏東．點(diǎn)拔：（1）有些看似與雙曲線無(wú)關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，但依題意，通過數(shù)學(xué)建模，可以把問題轉(zhuǎn)化為雙曲線問題求解.（2）在此類問題時(shí)，除要準(zhǔn)確把握題意外，還要注意使實(shí)際問題有意義.3.課堂總結(jié)【知識(shí)回顧】（1）形如的方程，若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，表示雙曲線．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，表示橢圓.（2）一般地，已知雙曲線上一點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，若，則的面積．【重難點(diǎn)突破】（1）對(duì)于形如的方程，能表示圓、橢圓、或雙曲線，具體情況如下：當(dāng)時(shí)，表示圓；當(dāng)時(shí)，表示橢圓，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（2）在橢圓的研究中我們已經(jīng)體驗(yàn)了定義在解決有關(guān)曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離問題中的作用，同樣在雙曲線中也應(yīng)注意定義的應(yīng)用．已知雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，往往利用正弦定理、余弦定理以及雙曲線的定義列出關(guān)系式．（3）在雙曲線的實(shí)際應(yīng)用中，要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后將實(shí)際問題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).4.隨堂檢測(cè)1.k>9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】2.已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則（）A.2B.4C.6D.8答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義】（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型1.雙曲線的焦距是（）A．4 B．8 C． D．與有關(guān)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】2．已知兩定點(diǎn)、，在滿足下列條件的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中，為雙曲線的是（）A． B．C． D．答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義】3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（3,0），則的值是（）A．1 B．－1 C． D．－答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】4.如圖所示，若，且，則和所表示的曲線只可能是（）答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】能力型5.P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．外切或內(nèi)切 D．無(wú)公共點(diǎn)或相交答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義，圓的幾何性質(zhì)】6.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上且，則點(diǎn)到軸的距離為()A.B.C. D.答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】7．若、、成等差數(shù)列，則點(diǎn)的軌跡方程是_______________．答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，等差數(shù)列】8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，若頂點(diǎn)在雙曲線的左支上，則答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】探究型9.已知定點(diǎn)和定圓C：，動(dòng)圓和圓C相切，并且過點(diǎn)A，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵圓C與圓P外切且過點(diǎn)A．∴．∵，∴點(diǎn)的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．∵，，∴．∴圓心的軌跡方程為10.已知雙曲線中，半焦距為左右焦點(diǎn)，為雙曲線上的點(diǎn)，,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】由雙曲線的定義，有，而在中，由余弦定理有∴，即,∴,所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(四)自助餐1.焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（－6,0）、（6,0），并且經(jīng)過A（－5，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】2．已知方程表示雙曲線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．、 B．、C．、 D．不能確定答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】3.設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，若為此雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)。且，則的周長(zhǎng)等于（）A．22 B．16 C．14 D．12答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】4．設(shè)為第四象限的角，則方程所表示的曲線是（）A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 D．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】5.若動(dòng)圓P與定圓及都相內(nèi)切或都相外切，則動(dòng)圓P的圓心軌跡方程是（）A． B． C． D．答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】6．設(shè)圓過雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上．則圓心到雙曲線中心的距離是．答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓定義及性質(zhì)】7.已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，曲線C上任意一點(diǎn)P滿足，則曲線C的方程為______________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義，平面向量的?！?．P是雙曲線左支上一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為，則的內(nèi)切圓的橫坐標(biāo)是．答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義】9．已知的底邊長(zhǎng)為，且底邊固定，頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，使．求點(diǎn)的軌跡．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，令為軌跡上任一點(diǎn)，則，．因?yàn)?，利用正弦定理，我們有，結(jié)合雙曲線定義，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為，動(dòng)點(diǎn)位于以為焦點(diǎn)的雙曲線上。又注意到，此時(shí)點(diǎn)只能在左支上，且不能與左頂點(diǎn)重合．在雙曲線中，實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，，中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)在軸上，方程為．所以A點(diǎn)的軌跡是雙曲線的左支，并且除去點(diǎn)．10.在周長(zhǎng)為48的，，，求以M、N為焦點(diǎn)，且過P的雙曲線方程．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程】∵的周長(zhǎng)為48，且，∴設(shè)，，則．由，得：．∴、、．以MN所在直線為軸，以MN的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)所求雙曲線方程為．由得，，．由得，．由得所求雙曲線方程為．點(diǎn)拔：選取的坐標(biāo)系不同，則雙曲線方程不同，但雙曲線的形狀不會(huì)發(fā)生變化，解題中，注意合理選取坐標(biāo)系，這樣才能使所求曲線的方程更簡(jiǎn)便.數(shù)學(xué)視野1619年，23歲的笛卡爾在一支德國(guó)部隊(duì)服役，軍營(yíng)駐扎在多瑙河旁，11月的一天，他因病躺在了床上，無(wú)所事事的他默默地思考著……20歲時(shí)，他大學(xué)畢業(yè)繼承父業(yè)，當(dāng)了一名律師，當(dāng)時(shí)法國(guó)的社會(huì)風(fēng)氣是“非紅即黑”。也就是說(shuō)，有志之士不是致力于宗教事業(yè)就是獻(xiàn)身于軍事，笛卡爾選擇了后者。軍旅中一個(gè)偶然機(jī)會(huì)，他解出了數(shù)學(xué)教授別克曼的一道難題。從此成了別克曼教授的上賓，在數(shù)學(xué)的海洋中漫游，并游進(jìn)了深水區(qū)。他開始看到了傳統(tǒng)的幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷。同時(shí)也深感代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力。代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？這個(gè)問題苦苦折磨著年輕的笛卡爾。在沒有戰(zhàn)事的軍隊(duì)中，他常常有時(shí)間思考它?，F(xiàn)在，他的思緒又回到了這個(gè)問題上……抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來(lái)，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個(gè)不停。從東爬到西，從南爬到北。要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路?。〉芽柾话l(fā)奇想，算一算蜘蛛走過的路程。他