22基本不等式（第2課時）（教學設(shè)計）高一數(shù)學（人教A版2019）

2.2基本不等式（第2課時）教學設(shè)計教學目標課堂教學目標解析課程標準提出的“內(nèi)容與要求”是掌握基本不等式；結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單問題的最大值或最小值問題?！罢莆铡被静坏仁揭笾浪膩須v、能夠證明、還要能熟練應(yīng)用。實現(xiàn)“掌握”基本不等式的教學目標是本章的學習目標，本節(jié)課主要教學目標如下：1.通過對已知不等式的代數(shù)變換，得到基本不等式，提高學生代數(shù)變換的能力．2.通過證明基本不等式，滲透分析法和綜合法中“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч钡幕痉椒?，培育學生邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.通過基本不等式的幾何解釋的探究，培育直觀想象的核心素養(yǎng)．4.通過例1，初步感知最值的意義，明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”，結(jié)合辨析思考題加深對基本不等式以及最值含義的理解，為今后給出函數(shù)的最大值和最小值的概念做鋪墊；通過例2提煉出基本不等式能夠解決的兩類最值問題模型，培育學生的模型意識．邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)的培育是整個高中學段的總體目標，通過基本不等式的學習過程滲透核心素養(yǎng)的培育。而對于不等式的逐步歸納和復(fù)合構(gòu)造也滲透了代數(shù)學的基本研究方法。達成上述目標的標志：知道基本不等式的內(nèi)容，明確基本不等式就是“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；會利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式，能說明基本不等式的幾何意義；能結(jié)合具體實例，明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型識別和理解實際問題，能用基本不等式求最大值或最小值，在解決具體問題的過程中，感受從特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．重點難點教學重點：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。教學難點：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。學情分析&教材分析1.本章的第一節(jié)，學生學習了等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，為逐步歸納、復(fù)合構(gòu)造得到基本不等式提供理論支撐；學生在初中已經(jīng)學習了乘法公式，通過對乘法公式的理解和應(yīng)用，學生已經(jīng)初步具備模型意識；對乘法公式的幾何解釋也讓學生初步具備數(shù)形結(jié)合的能力。2.盡管由代數(shù)變換得到基本不等式的過程并不復(fù)雜，但是為什么這樣代換的原因很難理解，這是由于學生代數(shù)變換的經(jīng)驗比較少，代數(shù)的基本思想領(lǐng)悟不夠深，需要老師適當設(shè)問，引導(dǎo)學生思考得到；對于基本不等式的證明，學生之前已有“做差法”的經(jīng)驗以及不等式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，可以完成基本不等式的證明，也有學生會嘗試“分析法”，但由于沒有系統(tǒng)學習“分析法”，需要教師給予完善；對于“幾何平均數(shù)”的幾何意義，需要教師引導(dǎo)學生思考消除“”這一點是本節(jié)課的難點；由于“最值”的含義學生尚未學習，因此需要通過賦值，讓學生感知相等和不等，感知變化中的規(guī)律性，在通過對結(jié)構(gòu)的分析完成求解。學習目標1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用．2.會用基本不等式解決生活中簡單的最大(小)值問題．3.能夠運用基本不等式解決幾何中的應(yīng)用問題．導(dǎo)入新知基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有工具．同學們，數(shù)學是和生活聯(lián)系非常緊密的學科，我們學習數(shù)學，也是為了解決生活中的問題，比如：“水立方”是2008年北京奧運會標志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奧會歷史上體量最大的冰壺場館“冰立方”．如圖為水立方平面設(shè)計圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是大小相同的左、右兩個矩形框架，兩框架面積之和為18000m2，現(xiàn)地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD之間空白的寬度為10m，兩框架之間的中縫空白寬度為5m，請問作為設(shè)計師的你，應(yīng)怎樣設(shè)計矩形ABCD，才能使水立方占地面積最小？要解決這個問題，還得需要我們剛學習過的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！學習新知一、基本不等式在生活中的應(yīng)用問題利用基本不等式求最大(小)值時，應(yīng)注意哪些問題？提示一正：x，y都得是正數(shù)；二定：積定和最小，和定積最大；三相等：檢驗等號成立的條件是否滿足實際需要．例3（1）用籬笆圍一個面積為100的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時周長最短.（2）矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大.解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為m，m，籬笆的長度為.（1）由已知得.由，可得，所以，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為10m的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m.（2）由已知得，矩形菜園的面積為.由，可得，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為9m的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81.【變式1】某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算,若將樓房建為層,則每平方米的平均建筑費用為560(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?

注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積).【解析】設(shè)將樓房建為層,則每平方米的平均購地費用為.

設(shè)每平方米的平均綜合費用為元,

則.

當取最小值時,有最小值.

,當且僅當,即時,等號成立.

所以當時,有最小值2000.

因此該樓房建為15層時,每平方米的平均綜合費用最少.反思感悟利用基本不等式解決實際問題的步驟(1)理解題意．設(shè)變量，并理解變量的實際意義；(2)構(gòu)造定值．利用基本不等式求最值；(3)檢驗．檢驗等號成立的條件是否滿足題意；(4)結(jié)論．應(yīng)用新知二、基本不等式在幾何中的應(yīng)用例4某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？分析：貯水池呈長方體形，它的高是3m，池底的邊長沒有確定．如果池底的邊長確定了，那么水池的總造價也就確定了．因此，應(yīng)當考察池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低．【解析】設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為，，水池的總造價為元．根據(jù)題意，有．由容積為4800m3，可得，因此．所以，當時，上式等號成立，此時．所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元．【變式1】為了增強生物實驗課的趣味性,豐富生物實驗教學內(nèi)容,某校計劃沿著圍墻(足夠長)劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建一個羊駝養(yǎng)殖場,規(guī)定的每條邊長均不超過20米.如圖所示,矩形為羊駝養(yǎng)殖區(qū),且點A,B,E,F四點共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)(單位:米),養(yǎng)殖區(qū)域的面積為(單位:平方米).(1)將S表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；(2)當AB為多長時，S取得最大值？并求出最大值．【解析】(1)因為,所以,

所以,

因為,解得,

所以.

(2)

當且僅當時,等號成立,經(jīng)驗證,符合題意,

即當米時,取得最大值,最大值為平方米.反思感悟在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．能力提升題型一：基本不等式在生活中的應(yīng)用【練習1】某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為900元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,4)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．30件 B．60件C．80件 D．100件【答案】B【解析】根據(jù)題意,生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和是,設(shè)平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為,

則,

由基本不等式,得,

當且僅當,即時,等號成立,

即每批生產(chǎn)產(chǎn)品60件時,平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小.反思感悟在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．【跟蹤練習】為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個平行四邊形，建成一個小花圃，如圖，計劃以相距6米的M，N兩點為?AMBN一組相對的頂點，當AMBN的周長恒為20米時，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，當且僅當x＝y(tǒng)＝5時等號成立，此時(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此時四邊形AMBN是邊長為5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解決實際應(yīng)用問題的思路(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.題型二：基本不等式在幾何中的應(yīng)用【練習2】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建為一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝4米，AD＝3米，當BM＝______時，矩形花壇AMPN的面積最小．【答案】4米【解析】設(shè),則由得,解得,

矩形的面積為,當且僅當,即時等號成立.

當米時,矩形花壇的面積最小求實際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式．(4)回到實際問題中，正確寫出答案．課堂總結(jié)1．知識清單：(1)基本不等式在生活中的應(yīng)用．(2)基本不等式在幾何中的應(yīng)用．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍．【設(shè)計意圖】回顧了重要不等式和基本不等式的探究過程、運用基本不等式求最值的條件，分析了本節(jié)課運用的思想方法。在作業(yè)布置環(huán)節(jié)，讓學生課后繼續(xù)探尋基本不等式其他的證明方法和幾何解釋。整節(jié)課貫徹了“學生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學思想。作業(yè)設(shè)計課本48頁習題2.2第5,6題第48頁習題2.2復(fù)習鞏固1.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，當且僅當時，即當時等號成立，的最小值為；（2）由知.當或時，；當時，，由基本不等式可得.當且僅當，即當時等號成立.綜上，的最大值為.【點睛】本題考查基本不等式求最值，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.2.（1）把寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？（2）把寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？【答案】（1）a=b=6時，它們的和最小，為12；（2）a=b=9時，它們的積最大，為81【解析】設(shè)兩個正數(shù)為a，b（1），則，當且僅當?shù)忍柍闪?，即a=b=6時，它們的和最小，為12.（2），則當且僅當?shù)忍柍闪⒓碼=b=9時，它們的積最大，為81.【點睛】本題考查基本不等式求最值．即兩個正數(shù)，積為定值時和有最小值，和為定值時積有最大值，都是當且僅當這兩個數(shù)相等時取得最值．3.某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側(cè)面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？【答案】當房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.【解析】設(shè)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為，總造價為元，則，即，.當時，即當時，有最小值，最低總造價為元.答：當房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時，要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.第48頁綜合運用4.已知、、都是正數(shù)，求證：.【解析】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性質(zhì)可得，當且僅當時等號成立.【點睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，求證：的最大值是.【答案】見解析【解析】，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最大值是.【點睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在應(yīng)用基本不等式時，要注意“一正二定三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應(yīng)該把倉建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最?。俊敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，，當時，，，，，，，兩項費用之和為.當且僅當時，即當時等號成立.即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項費用之和最小，且最小費