專題02 等邊三角形的性質(zhì)與判定（十三大題型+跟蹤訓練）（原卷版）

專題02等邊三角形的性質(zhì)與判定（十三大題型+跟蹤訓練）題型1：等邊三角形1．三邊都相等的三角形叫做________．等邊三角形的內(nèi)角都等于________度，各條________所在的直線都是它的對稱軸．2．等邊三角形的邊長為a，則它的周長為______，等邊三角形共有________條對稱軸．3．等邊三角形是（

）.A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形題型2：等邊三角形的性質(zhì)4．如圖，在等邊中，，，則的長為___．5．如圖，直線，是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交于點E，交于點F，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=（

）A． B． C． D．7．如圖，是等邊三角形，，連接，，則的度數(shù)為________．8．如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點，則（

）

A． B． C． D．9．如圖，在等邊三角形中，于點D，點E是延長線上一點，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．如圖，和都是等邊三角形，點A，D，E在同一條直線上，，則（）A．6 B．5 C．8 D．711．如圖，是等邊三角形，延長到D，使，在右側作等腰直角，與相交于點F，則的度數(shù)為___________．

題型3：動態(tài)問題12．如圖，將等邊三角形沿著折疊，點落到點處，連接．若，則___________．

13．如圖，四邊形中，是對角線，是等邊三角形．線段繞點C順時針旋轉得到線段，連接．求證：．

題型4：最值問題14．如圖，等邊中，于點H，點D為的中點，，，點E為上一點，連接，如果，那么m的最小值為___________．15．如圖，在等邊中，D，E分別為邊的中點，，且P為上的動點，連接，則的最小值為______．16．如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為__________．題型5：等邊三角形解答題17．已知：如圖，E是四邊形的邊上一點，且和都是等邊三角形．請問嗎？說明理由．

18．如圖，點O是等邊內(nèi)一點，以OC為邊作等邊三角形OCD，連接OD．

(1)求證：；(2)若，，當為多少度時，是等腰三角形．19．在中，，以為邊向外作等邊和等邊．

(1)如圖1，連接，與相交于點O．①說明的理由．②°．（直接填答案）(2)如圖2，過D做的垂線，垂足為H，連接，交于點F，與相等嗎？為什么？題型6：等邊三角形的判定20．下列說法不正確的是（

）A．有一個角為的三角形是等邊三角形； B．三邊相等的三角形是等邊三角形C．三個角相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是的等腰三角形是等邊三角形21．在下列結論中：（1）有一個外角是的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個題型7：等邊三角形判定的應用22．在中，，，則的周長為（

）A．24 B．18 C．12 D．623．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．1 B． C． D．424．a(chǎn)、b、c是的三邊，且，那么的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形25．如圖，∠AOB＝30°，點P在∠AOB的內(nèi)部，點C，D分別是點P關于OA，OB的對稱點，連接CD交OA，OB分別于點E，F(xiàn)；若△PEF的周長的為9，則線段OP＝_____題型8：等邊三角形判定有關的最值問題26．如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．題型9：符合條件的格點問題27．如圖，在中，，，在直線BC或AC上取一點P，使得為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型10：新定義問題28．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個箏形，其中，，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結論：①；②；③；④四邊形的面積；⑤是等邊三角形．其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型11：等邊三角形的判定解答題29．已知點C和點F在線段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于點G．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）當∠AGF＝120°，猜想△GFC的形狀，并說明理由．30．如圖，已知在中，平分，，，．求證：是等邊三角形．31．在中，，，、兩點在直線上（點在點的左側）．若，，求證：是等邊三角形．32．如圖，和都是等邊三角形，點在上，點在上，，連接，，．(1)求證：．(2)判斷的形狀，并說明理由．題型12：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合33．如圖，在中，，，，將沿所在直線向右平移得到，連接．若，則線段的長為（）A．2 B．4 C．5 D．634．如圖，中，，是中線，，將沿折疊至，則點C到的距離是（

）A．4 B． C．3 D．35．已知是等邊三角形，點P在上，過點P作，垂足為D，延長至點Q，使，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊的邊長為4，那么線段的長為（）A．1 B．2 C． D．36．如圖，在中，，點D為上一點，連接，將繞點A逆時針旋轉得到，點D的對應點為點E，連接．下列結論錯誤的是（

）

A． B．C． D．當時，題型13：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合解答題37．如圖，等邊的邊長為3，點P是邊上的一個動點，過點P作于點D，延長至點Q，使得，連接交于點E，則之長為（

）

A．1 B． C．2 D．38．如圖，在等腰中，，，于點D，點P是延長線上一點，點O在延長線上，，下面的結論：①；②是正三角形；③；④，其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個39．如圖，已知，，，，和交于點，則下列結論：①；②；③；④平分．其中正確的有（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④40．已知線段和點，，，，，相交于點．(1)如圖1，若點在線段上，①求證：；②若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點是線段上方的一點，且保持，連接，求證：．41．已知和為等腰三角形，，，，點在上，點在射線上，交于點．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若，點與點重合，求證：；(3)如圖③，若，求證：．一、單選題1．下列條件不能得到等邊三角形的是（

）A．有一個內(nèi)角是60°的銳角三角形 B．有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形C．頂角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底邊相等的等腰三角形2．如圖，是等邊三角形，則（

）A． B． C． D．3．如圖，等邊中，點D是上一點，，則（

）A． B． C． D．4．三角形三邊長分別為a，b，c，它們滿足(a－b)2＋|b－c|＝0，則該三角形是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．如圖，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，則AC=（

）A．5 B．10 C．15 D．2.56．如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E為AD上一點，∠CED＝50°，則∠ABE等于（

）A．10° B．15° C．20° D．25°7．如圖，D、E是等邊的BC邊和AC邊上的點，，AD與EE相交于P點，則的度數(shù)是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°8．下列結論中：①有一個外角是的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，點D在上，，則等于（

）A．4 B．5 C．6 D．810．如圖，等邊的邊長為12，D是邊上一點，交于點E，連接，F(xiàn)是上的一點，，則的長為（）A．4 B．5 C． D．11．如圖，在正方形網(wǎng)格中有，兩點，點在點的南偏東方向上，且點在點的東北方向上，則點可能的位置是圖中的（

）A．點處 B．點處 C．點處 D．點處12．如圖，已知和都是等邊三角形，且A、C、E三點共線，與交于點O，與交于點P，與交于點，連接．有以下五個結論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題13．等邊三角形是特殊的三角形，因此它也是圖形，有條對稱軸．14．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等邊三角形，則需要添加一條件是.15．如圖，在等邊△ABC中，于點D，若，則．16．如圖，中，平分交于D，，則．17．如圖，已知點B、C、D、E在同一直線上，是等邊三角形，且，則．18．如圖，中，，，于，是的平分線，且交于點.如果，則的長為.19．如圖，在的同側，點為線段中點，，若，則的最大值是．20．如圖，是等邊三角形，F(xiàn)為的中點，D在線段上，且，連接．以為邊作等邊，的延長線交于H，連接，則以下結論：①；②；③；④．其中正確的結論是．

三、解答題21．如圖，等邊中，分別交BC，AC于點D、E．求證：是等邊三角形．22．已知：如圖，在中，是腰上的高．求證：．23．如圖，在等邊中，點D，E分別在邊上，且與交于點F．求證：．24．如圖，在中，交邊于點，，，.(1)求的度數(shù)；(2)求證：.25．如圖，、分別是等邊三角形的邊，上的點，且，、交于點．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．26．如圖，在中，，點在內(nèi)，，，點在外，，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．27．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線，，且在下方，點、分別是線段、射線上的動點，且點不與點重合，點不與點重合，．(1)求的度數(shù)；(2)連接，求證：是等邊三角形．28．如圖，已知是等邊三角形，點在邊上．

(1)如圖1，在的延長線上取點，使，在上截取，連接．①求證：是等邊三角形；②求證：．(2)如圖2，在的延長線上取點，使，直接寫出之間的等量關系．29．已知為等邊三角形，點為的垂直平分線上一點，連接、，點、分別在、所在的直線上，連接、．(1)如圖①，若，點、在邊、上，，則、、之間的數(shù)量關系是_______；