查補重難點02 方程、不等式（組）與函數(shù)的實際應(yīng)用（解析版）

查補重難點02方程、不等式（組）與函數(shù)的實際應(yīng)用考點一：方程（組）、不等式（組）的實際應(yīng)用方程（組）的應(yīng)用題以實際問題為背景，一般為生活中常見的分析決策問題，且情境真實、貼近學(xué)生生活。程（組）的應(yīng)用題考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模以及閱讀能力，讓學(xué)生學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程（組）、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，并設(shè)計出適當?shù)慕鉀Q問題的方案，培養(yǎng)應(yīng)用意識和模型思想，提高解決實際問題能力。題型1.一次方程（組）的實際應(yīng)用列一次方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題；（2）設(shè)出未知數(shù)；（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結(jié)果；（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）。例1.（2023·江蘇連云港·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)快馬天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得故選：D．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．【答案】(1)(2)獸有8只，鳥有7只．【分析】（1）根據(jù)“獸與鳥共有76個頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）解方程組，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵獸與鳥共有76個頭，∴6x+4y=76；∵獸與鳥共有46只腳，∴4x+2y=46．∴可列方程組為．故答案為：；（2）解：原方程組可化簡為，由②可得y=23-2x③，將③代入①得3x+2（23-2x）=38，解得x=8，∴y=23-2x=23-2×8=7．答：獸有8只，鳥有7只．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·北京·中考真題）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

【答案】邊的寬為，天頭長為【分析】設(shè)天頭長為，則地頭長為，邊的寬為，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長和寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)天頭長為，由題意天頭長與地頭長的比是，可知地頭長為，邊的寬為，裝裱后的長為，裝裱后的寬為，由題意可得：解得，∴，答：邊的寬為，天頭長為．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準數(shù)量關(guān)系．例2.（2023·江蘇鹽城·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：“幾個人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為.【答案】7人【分析】設(shè)共有x人，價格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)共有x人，價格為y錢，依題意得：，解得：，答：物品價格為53錢，共同購買該物品的人數(shù)有7人,故答案為：7．【點睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解．變式1．（2024·江蘇無錫·一模）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查列二元一次方程組，理解題意，根據(jù)題中等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故選：B．變式2．（2022·江蘇南京·中考真題）某文印店用2660元購進一批白色復(fù)印紙和彩色復(fù)印紙，白色復(fù)印紙每箱80元，彩色復(fù)印紙每箱180元，購買白色復(fù)印紙得箱數(shù)是彩色復(fù)印紙得箱數(shù)得5倍少3箱，求購買的白色復(fù)印紙得箱數(shù)和彩色復(fù)印紙得箱數(shù)．【答案】購買的白色復(fù)印紙22箱，彩色復(fù)印紙5箱【分析】設(shè)購買的白色復(fù)印紙箱，彩色復(fù)印紙箱，根據(jù)總價是2660元、購買白色復(fù)印紙得箱數(shù)是彩色復(fù)印紙得箱數(shù)得5倍少3箱，列二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)購買的白色復(fù)印紙箱，彩色復(fù)印紙箱．由題意得：解得：答：購買的白色復(fù)印紙22箱，彩色復(fù)印紙5箱．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)量關(guān)系正確列出方程組．題型2.分式方程的實際應(yīng)用1.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答。2.分式方程的應(yīng)用題題型主要涉及工程問題、行程問題、利潤問題等，每個問題中涉及到三個量的關(guān)系。如：工作時間＝，時間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。例1．（2023·江蘇徐州·中考真題）隨著2022年底城東快速路的全線通車，徐州主城區(qū)與東區(qū)之間的交通得以有效改善，如圖某人乘車從徐州東站至戲馬臺景區(qū)，可沿甲路線或乙路線前往．已知甲、乙兩條路線的長度均為，甲路線的平均速度為乙路線的倍，甲路線的行駛時間比乙路線少，求甲路線的行駛時間．

【答案】甲路線的行駛時間為．【分析】設(shè)甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，根據(jù)“甲路線的平均速度為乙路線的倍”列分式方程求解即可．【詳解】解：甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴甲路線的行駛時間為，答：甲路線的行駛時間為．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系列出相應(yīng)的分式方程．變式1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）某班將舉行一次知識競賽活動，班長安排小紅購買獎品，下面是小紅買回獎品時與班長的對話．小紅：我買了甲、乙兩種筆記本共本，甲種筆記本的單價比乙種筆記本的少元，我給了老板元，老板給我找回元，其中買甲種筆記本花了元．班長：你肯定說錯了！小紅：我把自己口袋里的元一起當做找回的錢了．班長：這就對了！請你根據(jù)對話信息，計算乙種筆記本買了（

）A．本 B．本 C．本 D．本【答案】C【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)甲種筆記本的單價為元，則乙種筆記本的單價為元，根據(jù)題意列出方程，求解檢驗即可，解題的關(guān)鍵讀懂題意列出分式方程．【詳解】設(shè)甲種筆記本的單價為元，則乙種筆記本的單價為元，由題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，則甲種筆記本買了本，∴乙種筆記本買了本，故選：．變式2．（2022·江蘇揚州·中考真題）某中學(xué)為準備十四歲青春儀式，原計劃由八年級（1）班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任務(wù)，其余3個小組的每名學(xué)生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組有學(xué)生多少名？【答案】每個小組有學(xué)生10名．【分析】設(shè)每個小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)每個小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意，得，解這個方程，得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的根，∴每個小組有學(xué)生10名．【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．題型3.一元二次方程的實際應(yīng)用1.利用一元二次方程解決實際問題：列一元二次方程解應(yīng)用題步驟，即審、設(shè)、列、解、驗、答六步．2.增長率等量關(guān)系：設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當為平均下降率時，則有．3.利潤等量關(guān)系：1）利潤=售價－成本；2）利潤率=×100％；3）總利潤=單位利潤×數(shù)量4.面積問題：常用平移法解決面積問題5.碰面問題（循環(huán)問題）：（1）雙循環(huán)：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；則m=n（n－1）。（2）單循環(huán)：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次m。則m=n（n－1）。例1．（2023·江蘇·中考真題）為了便于勞動課程的開展，學(xué)校打算建一個矩形生態(tài)園（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由．

【答案】的長為米或米【分析】設(shè)米，則米，根據(jù)矩形生態(tài)園面積為，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)米，則米，根據(jù)題意得，，解得：，答：的長為米或米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得：．故選：A．【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則第一輪傳染了個人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：．【詳解】由題意得：，故選：C．【點睛】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．變式3．（2023·江蘇無錫·中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．變式4.（2022·湖北宜昌·中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分數(shù)相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？【答案】(1)4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸(2)的值20(3)6月份每噸再生紙的利潤是1500元【分析】（1）設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，然后根據(jù)該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；（2）根據(jù)總利潤=每一噸再生紙的利潤×數(shù)量列出方程求解即可；（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，根據(jù)總利潤=每一噸再生紙的利潤×數(shù)量列出方程求解即可；【解析】(1)解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，由題意得：，解得：，∴，答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；(2)解：由題意得：，解得：或（不合題意，舍去）∴，∴的值20；(3)解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，∴答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．題型4.不等式（組）的實際應(yīng)用列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案．注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等。列不等式時，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．例1．（2024·江蘇常州·一模）某商場在世博會上購置甲、乙兩種禮盒，其中甲禮盒的單價比乙禮盒的單價貴25元，且購置2個甲禮盒與1個乙禮盒共花費200元．(1)求甲、乙兩種禮盒的單價；(2)若該商場要求購置甲禮盒的數(shù)量是乙禮盒數(shù)量的2倍，且購置禮盒的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個乙禮盒？【答案】(1)甲種禮盒的單價為75元，乙種禮盒的單價為50元(2)該商場最多可以購置100個乙禮盒【分析】本題考查一元一次方程與一元一次不等式解決實際問題．（1）設(shè)甲禮盒的單價為x元，則乙禮盒的單價為元．根據(jù)“購置2個甲禮盒與1個乙禮盒共花費200元”列出方程，求解即可解答；（2）設(shè)該商場購置n個乙禮盒，則購置個甲禮盒．根據(jù)“購置禮盒的總額不高于20000元”列出不等式，求解即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)甲禮盒的單價為x元，則乙禮盒的單價為元．根據(jù)題意，得，解得：，∴，答：甲禮盒的單價為75元，乙禮盒的單價為50元．（2）設(shè)該商場購置n個乙禮盒．則購置個甲禮盒，根據(jù)題意，得，解得：，答：該商場最多可以購置100個乙禮盒．變式1．（2023·湖南·中考真題）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．(1)比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數(shù)分別是多少？(2)投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？【答案】(1)該班級勝負場數(shù)分別是場和場；(2)該班級這場比賽中至少投中了個分球．【分析】（1）設(shè)勝了場，負了場，根據(jù)場比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．（2）設(shè)班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據(jù)所得總分不少于分，列出相應(yīng)的不等式，從而可以求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)勝了場，負了場，根據(jù)題意得：，解得，答：該班級勝負場數(shù)分別是場和場；（2）設(shè)班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據(jù)題意得：，解得，答：該班級這場比賽中至少投中了個分球．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式．變式2．（2023·河南·中考真題）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時只能選擇其中一種．活動一：所購商品按原價打八折；活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內(nèi)，選擇活動二比選擇活動一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)活動一更合算(2)400元(3)當或時，活動二更合算【分析】（1）分別計算出兩個活動需要付款價格，進行比較即可；（2）設(shè)這種健身器材的原價是元，根據(jù)“選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等”列方程求解即可；（3）由題意得活動一所需付款為元，活動二當時，所需付款為元，當時，所需付款為元，當時，所需付款為元，然后根據(jù)題意列出不等式即可求解．【詳解】（1）解：購買一件原價為450元的健身器材時，活動一需付款：元，活動二需付款：元，∴活動一更合算；（2）設(shè)這種健身器材的原價是元，則，解得，答：這種健身器材的原價是400元，（3）這種健身器材的原價為a元，則活動一所需付款為：元，活動二當時，所需付款為：元，當時，所需付款為：元，當時，所需付款為：元，①當時，，此時無論為何值，都是活動一更合算，不符合題意，②當時，，解得，即：當時，活動二更合算，③當時，，解得，即：當時，活動二更合算，綜上：當或時，活動二更合算．【點睛】此題考查了一元一次方程及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，注意分類討論的應(yīng)用．考點二：函數(shù)相關(guān)的實際應(yīng)用函數(shù)相關(guān)的實際應(yīng)用問題在中考中的考查常以解答題為主，通過設(shè)置一個實際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求學(xué)生運用學(xué)過的技能和方法，進行設(shè)計和操作，尋求恰當?shù)慕鉀Q方案，有時也給出幾個不同的解決方案，要求判斷哪個方案較優(yōu)，主要考查解一元一次方程、二元一次方程（組）、不等式（組）、分式方程、一元二次方程，一次函數(shù)、二次函數(shù)求最值。設(shè)題背景有：工程問題、利潤問題、平均變化率問題、方案選擇問題等．由于此類專題應(yīng)用范圍較廣，因此是中考的?？碱}。題型1.一次函數(shù)的實際應(yīng)用1）一次函數(shù)的應(yīng)用問題的求解思路：①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；②利用函數(shù)并與方程（組）、不等式（組）聯(lián)系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計問題以及經(jīng)濟決策、市場經(jīng)濟等方面的應(yīng)用。2）建立函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：①審題，設(shè)定實際問題中的變量，明確變量x和y；②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；⑤寫出答案。3）利用一次函數(shù)的圖象解決實際問題的一般步驟：①觀察圖象，獲取有效信息；②對獲取的信息進行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；③選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)工具（如函數(shù)、方程、不等式等），通過建模解決問題。【注意】時刻注意根據(jù)實際情況確定變量的取值范圍。例1.（2023·江蘇·中考真題）快車和慢車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達乙地卸裝貨物用時，結(jié)束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為．兩車之間的距離與慢車行駛的時間的函數(shù)圖像如圖所示．

(1)請解釋圖中點的實際意義；(2)求出圖中線段所表示的函數(shù)表達式；(3)兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達甲地還需多長時間．【答案】(1)快車到達乙地時，慢車距離乙地還有(2)(3)小時【分析】（1）根據(jù)點的縱坐標最大，可得兩車相距最遠，結(jié)合題意，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，進而待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（3）先求得快車的速度進而得出總路程，再求得快車返回的速度，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)圖象，可得點的實際意義為：快車到達乙地時，慢車距離乙地還有（2）解：依題意，快車到達乙地卸裝貨物用時，則點的橫坐標為，此時慢車繼續(xù)行駛小時，則快車與慢車的距離為，∴設(shè)直線的表達式為∴解得：∴直線的表達式為（3）解：設(shè)快車去乙地的速度為千米/小時，則，解得：∴甲乙兩地的距離為千米，設(shè)快車返回的速度為千米/小時，根據(jù)題意，解得：，∴兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達甲地還需（小時）【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇連云港·中考真題）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎(chǔ)、年為計算周期設(shè)定了如下表的三個氣量階梯：階梯年用氣量銷售價格備注第一階梯（含400）的部分2.67元若家庭人口超過4人的，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加．第二階梯（含1200）的部分3.15元第三階梯以上的部分3.63元(1)一戶家庭人口為3人，年用氣量為，則該年此戶需繳納燃氣費用為__________元；(2)一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為，該年此戶需繳納燃氣費用為元，求與的函數(shù)表達式；(3)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣？（結(jié)果精確到）【答案】(1)534(2)(3)26立方米【分析】（1）根據(jù)第一階梯的費用計算方法進行計算即可；（2）根據(jù)“單價×數(shù)量=總價”可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)兩戶的繳費判斷收費標準列式計算即可解答．【詳解】（1）∵，∴該年此戶需繳納燃氣費用為：（元），故答案為：534；（2）關(guān)于的表達式為（3）∵，∴甲戶該年的用氣量達到了第三階梯．由（2）知，當時，，解得．又∵，且，∴乙戶該年的用氣量達到第二階梯，但末達到第三階梯．設(shè)乙戶年用氣量為．則有，解得，∴．答：該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．變式2．（2022·江蘇宿遷·中考真題）某單位準備購買文化用品，現(xiàn)有甲、乙兩家超市進行促銷活動，該文化用品兩家超市的標價均為10元/件，甲超市一次性購買金額不超過400元的不優(yōu)惠，超過400元的部分按標價的6折售賣；乙超市全部按標價的8折售賣．(1)若該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為元；乙超市的購物金額為元；(2)假如你是該單位的采購員，你認為選擇哪家超市支付的費用較少？【答案】(1)300，240(2)當時，選擇乙超市更優(yōu)惠，當時，兩家超市的優(yōu)惠一樣，當時，選擇甲超市更優(yōu)惠．【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩家超市的優(yōu)惠方案分別進行計算即可；（2）設(shè)單位購買x件這種文化用品，所花費用為y元，可得當時，顯然此時選擇乙超市更優(yōu)惠，當時再分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：甲超市一次性購買金額不超過400元的不優(yōu)惠，超過400元的部分按標價的6折售賣；∴該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為（元），∵乙超市全部按標價的8折售賣，∴該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為（元），故答案為：（2）設(shè)單位購買x件這種文化用品，所花費用為y元，又當10x=400時，可得當時，顯然此時選擇乙超市更優(yōu)惠，當時，當時，則解得：∴當時，兩家超市的優(yōu)惠一樣，當時，則解得：∴當時，選擇乙超市更優(yōu)惠，當時，則解得：∴當時，選擇甲超市更優(yōu)惠．【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．題型2.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍。例1.（2023·江蘇蘇州·九年級?？计谥校榱隧憫?yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開始限產(chǎn)并進行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項錯誤的是（

）A．月份的利潤為萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元C．月份該廠利潤達到萬元D．治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元【答案】D【分析】利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后逐項分析即可解答．【詳解】解：A、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式：，∵當時，，月份的利潤為萬元，正確，不合題意；B、治污改造完成后，從月到月，利潤從萬到萬，故每月利潤比前一個月增加萬元，正確，不合題意；C、設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，當時，，解得：，∴治污改造完成后的第個月，即月份該廠利潤達到萬元，正確，不合題意．D、當時，，解得：，∴只有月，月，月共個月的利潤低于萬元，不正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）某種玻璃原材料需在環(huán)境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時間的函數(shù)圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，以下判斷正確的是（

）A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為C．能夠?qū)ΣＡнM行加工時長為 D．玻璃從降至室溫需要的時間為【答案】C【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項分析求解即可．【詳解】解：∵，∴玻璃加熱速度為，故A選項不合題意；由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，代入點可得，，∴玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是，故B選項不合題意；∴設(shè)玻璃溫度上升時的函數(shù)表達式為，由題可得，在正比例函數(shù)圖象上，代入點可得，，∴玻璃溫度上升時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是，∴將代入，得，∴將代入，得，∴，∴能夠?qū)ΣＡнM行加工時長為，故C選項符合題意；將代入得，，∴，∴玻璃從降至室溫需要的時間為，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖像，獲取信息是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·河南信陽·校考三模）濕度是指空氣的干濕程度，或含有的水蒸氣的多少，天氣預(yù)報中最常用的是相對濕度，相對濕度是空氣中實際水蒸氣含量與同溫度下的最大可容納水蒸氣含量的百分比值，符號為%RH．人體感覺舒適的濕度一般為40%RH~70%RH．如圖1所示為某實驗室的自動除濕機簡化后的電路圖，R為裝在除濕機內(nèi)的濕敏電阻，其阻值隨相對濕度變化的圖象如圖2所示，當濕敏電阻R的阻值發(fā)生變化時，控制電路中線圈的電流I隨之發(fā)生變化，控制電路中總電阻（調(diào)控電阻和濕敏電阻R的阻值之和，其他忽略不計）與電流I的關(guān)系圖象如圖3所示，當電流大于或等于20mA時，L的兩個磁性彈片相互吸合，工作電路的壓縮機開始帶動系統(tǒng)進行除濕．下列說法不正確的是（

）

A．相對濕度越高，濕敏電阻R的阻值越小B．當相對濕度為35%RH時，濕敏電阻R的阻值為150ΩC．當濕敏電阻R的阻值為50Ω時，實驗室內(nèi)的相對濕度在人體感覺舒適的濕度范圍內(nèi)D．當相對濕度為45%RH時，若要壓縮機開始工作，則調(diào)控電阻的阻值不能低于500Ω【答案】D【分析】根據(jù)所給條件和函數(shù)圖象，逐條分析判斷即可．【詳解】由題圖2，可知濕敏電阻R的阻值隨相對濕度的增大而減小，且當時，，故選項A，B說法正確，不符合題意．當時，，在40%RH~70%RH范圍內(nèi)，故選項C說法正確，不符合題意．當時，濕敏電阻．若要壓縮機開始工作，則電流，．∴調(diào)控電阻，故選項D說法錯誤，符合題意．故選D【點睛】本題考查函數(shù)及其圖象的意義，正確讀取圖象信息是解題關(guān)鍵．還要明白在電壓一定時，電阻越大電流越?。}型3.二次函數(shù)的實際應(yīng)用用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：1）審：仔細審題，理清題意；2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；5）檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論。例1．（2024·江蘇無錫·一模）陽春三月，又到了一年最美櫻花季，黿頭渚某商家借機推出新款櫻花雪糕，其中雪糕每支成本5元．該商家每支雪糕定價元，平均每天可售出支，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商家決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每支雪糕降價元，商場平均每天可多售出支．求：(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕應(yīng)降價多少元？(2)每支雪糕降價多少元時，商家平均每天盈利最多？【答案】(1)10元(2)當時，售出所獲利潤最大，最大利潤為22687.5元【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于的一元二次方程（二次函數(shù)關(guān)系式）是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每支雪糕應(yīng)降價元，根據(jù)“商家盈利單支盈利銷售數(shù)量”，即可列出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得出的值，再結(jié)合減少庫存即可確定的值；（2）設(shè)每支雪糕降價元時，商家所獲得的利潤為元，根據(jù)“商場盈利單件盈利銷售數(shù)量”，即可找出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出每支雪糕降價多少元時盈利最大．【詳解】（1）解：設(shè)每支雪糕應(yīng)降價x元，得：，解得：（舍），∵為了盡快減少庫存，∴每支雪糕應(yīng)降價10元；（2）解：設(shè)每支雪糕降價元時，商家所獲得的利潤為元，根據(jù)題意，得，∵，∴元時，利潤最大為：22687.5元；答：當時，售出所獲利潤最大，最大利潤為22687.5元．變式1．（2021·江蘇揚州·中考真題）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是_______元；當每個公司租出的汽車為_______輛時，兩公司的月利潤相等；（2）求兩公司月利潤差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）【分析】（1）用甲公司未租出的汽車數(shù)量算出每輛車的租金，再乘以10，減去維護費用可得甲公司的月利潤；設(shè)每個公司租出的汽車為x輛，根據(jù)月利潤相等得到方程，解之即可得到結(jié)果；（2）設(shè)兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，同（1）可得y甲和y乙的表達式，再分甲公司的利潤大于乙公司和甲公司的利潤小于乙公司兩種情況，列出y關(guān)于x的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x的范圍求出最值，再比較即可；（3）根據(jù)題意得到利潤差為，得到對稱軸，再根據(jù)兩公司租出的汽車均為17輛，結(jié)合x為整數(shù)可得關(guān)于a的不等式，即可求出a的范圍．【詳解】解：（1）=48000元，當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；設(shè)每個公司租出的汽車為x輛，由題意可得：，解得：x=37或x=-1（舍），∴當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；（2）設(shè)兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，則y甲=，y乙=，當甲公司的利潤大于乙公司時，0＜x＜37，y=y甲-y乙==，當x==18時，利潤差最大，且為18050元；當乙公司的利潤大于甲公司時，37＜x≤50，y=y乙-y甲==，∵對稱軸為直線x==18，當x=50時，利潤差最大，且為33150元；綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，則利潤差為=，對稱軸為直線x=，∵x只能取整數(shù)，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大，∴，解得：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題時要讀懂題意，列出二次函數(shù)關(guān)系式，尤其（3）中要根據(jù)x為整數(shù)得到a的不等式．變式2．（2023·湖南益陽·中考真題）某企業(yè)準備對A，B兩個生產(chǎn)性項目進行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達式為：，投資B項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達式為：．(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？【答案】(1)4萬元(2)(3)當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【分析】（1）把代入可得答案；（2）當時，可得，再解方程可得答案；（3）設(shè)投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設(shè)總收益為y萬元，，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達式為：，當時，（萬元）；（2）∵對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，∴，整理得：，解得：，（不符合題意），∴m的值為8．（3）設(shè)投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設(shè)總收益為y萬元，∴，而，∴當時，（萬元）；∴當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【點睛】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，列二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．題型4.方程、不等式、函數(shù)綜合的實際應(yīng)用建立方程、不等式、函數(shù)模型解決問題的一般步驟：①閱讀，弄清問題背景和基本要求；②分析，尋找問題的數(shù)量關(guān)系，找到與其相關(guān)的知識；③建模，由分析得出的相關(guān)知識建立方程模型、不等式(組)模型或函數(shù)模型；④解題，求解上述建立的方程、不等式或函數(shù)，結(jié)合實際確定最優(yōu)方案。例1．（2023·江蘇揚州·中考真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．【分析】（1）設(shè)購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據(jù)題意，得，求解；（2）設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設(shè)總費用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=．【詳解】（1）解:設(shè)購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據(jù)題意，得解得，，，答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．（2）解：設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設(shè)總費用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，∵，則w隨m的增大而增大，∴時，w取最小值，最小值．答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022·江蘇蘇州·中考真題）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如下表所示：進貨批次甲種水果質(zhì)量（單位：千克）乙種水果質(zhì)量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次60401520第二次30501360(1)求甲、乙兩種水果的進價；(2)銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)m的最大值．【答案】(1)甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元(2)正整數(shù)m的最大值為22【分析】（1）設(shè)甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元，根據(jù)總費用列方程組即可；（2）設(shè)水果店第三次購進x千克甲種水果，根據(jù)題意先求出x的取值范圍，再表示出總利潤w與x的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】（1）設(shè)甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元．根據(jù)題意，得解方程組，得答：甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元．（2）設(shè)水果店第三次購進x千克甲種水果，則購進千克乙種水果，根據(jù)題意，得．解這個不等式，得．設(shè)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意，得．∵，∴w隨x的增大而減?。喈敃r，w的最大值為．根據(jù)題意，得．解這個不等式，得．∴正整數(shù)m的最大值為22．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．變式2.（2023·江蘇宿遷·中考真題）某商場銷售兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．(1)求兩種商品的銷售單價．(2)經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價．設(shè)種商品降價元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)的銷售單價為元、的銷售單價為元(2)當時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【分析】（1）設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，根據(jù)題中售出種20件，種10件，銷售總額為840元；售出種10件，種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案；（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及題中限制條件分析求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，則，解得，答：的銷售單價為元、的銷售單價為元；（2）解：種商品售價不低于種商品售價，，解得，即，設(shè)利潤為，則，，在時能取到最大值，最大值為，當時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查二元一次方程組及二次函數(shù)解實際應(yīng)用題，讀懂題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，根據(jù)函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)關(guān)系式分析是解決問題的關(guān)鍵．專項訓(xùn)練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）小明從家出發(fā)到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系．已知小明購物用時，從商場返回家的速度是從家去商場速度的倍，則的值為（

）

A．46 B．48 C．50 D．52【答案】D【分析】設(shè)小明從家去商場的速度為，則他從商場返回家的速度為，根據(jù)“從家去商場和從商場返回家路程不變”列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小明從家去商場的速度為，則他從商場返回家的速度為，根據(jù)題意得：，解得：，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像、一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖象正確列出一元一次方程式解題關(guān)鍵．2．（2023·湖南·中考真題）某校組織九年級學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動，已知學(xué)校離韶山50千米，師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的倍前往，結(jié)果同時到達．設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為千米/時，根據(jù)時間的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為千米/時，根據(jù)題意列方程為：，故答案為：A．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何？設(shè)有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人乘一車，最終剩余9人無車可乘，進而表示出總?cè)藬?shù)得出等式即可；【詳解】由題意可列出方程，故選D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，準確分析列方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇宿遷·中考真題）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程組即可．【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：，故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北襄陽·中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)寬為x步，則長為步，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長為步，由題意得：，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．6．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）為了預(yù)防“流感”，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖）．現(xiàn)測得藥物燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為．研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于才有效，那么此次消毒的有效時間是分鐘．

【答案】12【分析】首先根據(jù)題意確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后代入確定兩個自變量的值，差即為有效時間．【詳解】解：藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入中得；，∴，∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入中得；，∴，∴藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入，得：，把代入，得：，∵，∴那么此次消毒的有效時間是12分鐘，故答案為：12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．7．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球．他們兩家到體育公園的距離分別是、，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度．設(shè)小明的速度是，根據(jù)題意可列方程為．【答案】；【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)時間方程列式即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，小剛騎自行車的速度是：，∵若二人同時到達，則小明需提前出發(fā)，∴，故答案為：．8．（2024·江蘇南京·一模）某產(chǎn)品原來成本是25元，按照固定的百分率降低成本，連續(xù)兩次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)降低的百分率為x，再表示出連續(xù)兩次降低后的成本，一次降低后的成本，根據(jù)連續(xù)兩次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)降低的百分率為x，根據(jù)題意得：．故答案為：．9．（2023·湖南婁底·中考真題）若干個同學(xué)參加課后社團——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．

【答案】【分析】由第一次操作可得：，則，設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，可得，解得，再代入化簡即可．【詳解】解：由第一次操作可得：，∴，設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，則，∴，故答案為：【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式的化簡，準確的理解題意確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·山東·中考真題）《九章算術(shù)》中有一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價值多少元？設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)題意列方程組：．【答案】【分析】設(shè)有人，物品價值為元，根據(jù)等量關(guān)系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程組即可解答．【詳解】解：設(shè)有人，物品價值為元，由題意得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查列二元一次方程組．根據(jù)題意、正確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇連云港·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格．【答案】有7人，物品價格是53錢【分析】設(shè)人數(shù)為人，根據(jù)“物品價格=8×人數(shù)-多余錢數(shù)=7×人數(shù)+缺少的錢數(shù)”可得方程，求解方程即可．【詳解】解：設(shè)人數(shù)為人，由題意得，解得．所以物品價格是．答：有7人，物品價格是53錢．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．12．（2023·江蘇揚州·中考真題）甲、乙兩名學(xué)生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時到達，求乙同學(xué)騎自行車的速度．【答案】【分析】根據(jù)甲、乙同學(xué)步行和騎自行車的速度之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)所走時間之間的數(shù)量關(guān)系列方程即可．【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)步行的速度為，則乙同學(xué)騎自行車速度為，

，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，也符合實際．，答：乙同學(xué)騎自行車的速度為．【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，解決問題時需注意時間單位的統(tǒng)一，同時解分式方程需檢驗．13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為．若紙張大小為，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的，則需如何設(shè)置頁邊距？

【答案】【分析】設(shè)頁邊距為，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列方程，解方程即可解題．【詳解】解：設(shè)頁邊距為則列方程為：，解得：，（舍去），答：頁邊距為．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列方程式解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南湘西·中考真題）2023年“地攤經(jīng)濟”成為社會關(guān)注的熱門話題，“地攤經(jīng)濟”有著啟動資金少、管理成本低等優(yōu)點，特別是在受到疫情沖擊后的經(jīng)濟恢復(fù)期，“地攤經(jīng)濟”更是成為許多創(chuàng)業(yè)者的首選，甲經(jīng)營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍．(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元(2)(3)型30臺，型120臺，最大利潤是570元．【分析】（1）列方程組即可求出兩種風(fēng)扇的進價，（2）列一元一次不等式組求出取值范圍即可，（3）再求出利潤和自變量之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的增減性確定當自變量為何值時，利潤最大，由關(guān)系式求出最大利潤．【詳解】（1）設(shè)、型品牌小電器每臺的進價分別為元、元，根據(jù)題意得：，解得：，答：、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元．（2）設(shè)購進型品牌小電器臺由題意得：，解得，答：購進A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍．（3）設(shè)獲利為元，由題意得：，∵所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元∴解得：∴隨的增大而減小，當臺時獲利最大，最大元，答：型30臺，型120臺，最大利潤是570元．【點睛】考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組解法和應(yīng)用以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，搞清這些知識之間的相互聯(lián)系是解決問題的前提和必要條件．15．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．【答案】(1)A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元(2)共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件(3)這10件家電中B種家電的件數(shù)4件【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元，建立分式方程求解即可；（2）設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件，建立不等式，求解不等式，選擇符合實際的解即可；（3）設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，根據(jù)題意，建立一元一次方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元．根據(jù)題意，得．解得．經(jīng)檢驗是原分式方程的解．．答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；（2）設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件．根據(jù)題意，得．解得．，．

為正整數(shù)，，則，共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件；（3）解：設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，根據(jù)（1）和（2）及題意，當購進A種家電65件，B種家電35件時，得：，整理得：，解得：，不符合實際；當購進A種家電66件，B種家電34件時，得：，整理得：，解得：，不符合實際；當購進A種家電67件，B種家電33件時，得：，整理得：，解得：，符合實際；則B種家電拿出件．【點睛】本題考查分式方程的實際問題，一元一次方程的實際問題與一元一次不等的實際問題，正確理解題意，建立正確的等量關(guān)系與不等式是解題的關(guān)鍵，注意結(jié)果要符合實際及分式方程的檢驗．16．（2023·江蘇鹽城·中考真題）某校舉行“二十大知識學(xué)習(xí)競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數(shù)）．(1)若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．【答案】(1)甲商店硬面筆記本的單價為16元(2)乙商店硬面筆記本的原價18元【分析】（1）根據(jù)“硬面筆記本數(shù)量=軟面筆記本數(shù)量”列出分式方程，求解檢驗即可；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，由再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同可得，再根據(jù)且m，均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)硬面筆記本的單價為x元，則軟面筆記本的單價為元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，且符合題意，故甲商店硬面筆記本的單價為16元；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，由題意可得，解得，根據(jù)題意得，解得，為正整數(shù)，，，，，，分別代入，可得，，，，，由單價均為整數(shù)可得，故乙商店硬面筆記本的原價18元．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程．17．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）甲、乙兩家商場以同樣的價格出售同樣的電器，但是各自推出的優(yōu)惠方案不同．甲商場規(guī)定：凡購買超過1000元電器的，超出的金額按90%實收；乙商場規(guī)定：凡購買超過500元電器的，超出的金額按95%實收．顧客怎樣選擇商場購買電器能獲得更大的優(yōu)惠？【答案】（1）當累計購物不超過500元時，兩商場購物花費一樣；（2）當累計購物超過500元而不超過1000元時，乙商場購物花費少；（3）當累計購物超過1000元時，設(shè)累計購物元，①累計購物超過1500元時，到甲商場購物花費少；②累計購物超過1000元而不到1500元時，到乙商場購物花費少；③累計購物為1500元時，到甲、乙兩商場購物花費一樣．【分析】題目主要考查一元一次不等式的應(yīng)用及分類討論思想，設(shè)累計購物x，分、和三種情況分別求解可得．【詳解】解：（1）當累計購物不超過500元時，在甲、乙兩商場購物都不享受優(yōu)惠且兩商場以同樣價格出售同樣的電器，因此到兩商場購物花費一樣．（2）當累計購物超過500元而不超過1000元時，享受乙商場的購物優(yōu)惠不享受甲商場的購物優(yōu)惠，因此到乙商場購物花費少．（3）當累計購物超過1000元時，設(shè)累計購物元．①若到甲商場購物花費少，則．解得．這就是說，累計購物超過1500元時，到甲商場購物花費少．②若到乙商場購物花費少，則．解得．這就是說，累計購物超過1000元而不到1500元時，到乙商場購物花費少．③若．解得．這就是說，累計購物為1500元時，到甲、乙兩商場購物花費一樣．18．（2022·江蘇無錫·中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；(2)當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時，S隨著x的增大而增大，∴當x=時，S有最大值，最大值為，即當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇淮安·中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進、兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，總費用為8100元．(1)求、兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；(2)當品牌粽子