2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章三角形中的邊角關(guān)系命題與證明13.2命題與證明第4課時(shí)三角形內(nèi)角和定理的推論-三角形外角的性質(zhì)習(xí)題課件新版滬科版

滬科版八年級(jí)上第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明第4課時(shí)三角形內(nèi)角和定理的推論——三角形外角的性質(zhì)01名師點(diǎn)金02基礎(chǔ)題03綜合應(yīng)用題目

錄CONTENTS04創(chuàng)新拓展題

三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)是角的有關(guān)

計(jì)算及推理論證時(shí)經(jīng)常使用的理論依據(jù).運(yùn)用三角形的外

角性質(zhì)時(shí)，一定要特別注意“不相鄰”這三個(gè)字，否則

極易產(chǎn)生錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)1

三角形外角的定義1.

下列各圖中，∠1是△

ABC

的外角的是(

D

)D123456789101112132.[新考法·定義解釋法]關(guān)于三角形的外角，下列說法中錯(cuò)誤

的是(

A

)A.

一個(gè)三角形只有三個(gè)外角B.

三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角C.

三角形的每個(gè)外角是與它相鄰內(nèi)角的鄰補(bǔ)角D.

一個(gè)三角形共有六個(gè)外角【點(diǎn)撥】三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，一共有六個(gè)外

角，故A錯(cuò)誤，B，D正確；根據(jù)三角形外角的定義可知C

正確.A12345678910111213知識(shí)點(diǎn)2

三角形外角的性質(zhì)3.

[2023·陜西]如圖，直線

l1∥

l2，點(diǎn)

A

在

l2上，

AB

⊥

l3，垂

足為

B

.

若∠1＝138°，則∠2的度數(shù)為(

D

)A.32°B.38°C.42°D.48°(第3題)12345678910111213【點(diǎn)撥】如圖.∵直線

l1∥

l2，∴∠3＝∠1＝138°.∵

AB

⊥

l3，∴∠

ABC

＝90°.∵∠3＝∠2＋∠

ABC

，∴∠2＝48°.故選D.

D【答案】123456789101112134.

[2023·大連]如圖，

AB

∥

CD

，∠

A

＝45°，∠

C

＝

20°，則∠

E

的度數(shù)為(

B

)A.20°B.25°C.35°D.45°(第4題)12345678910111213【點(diǎn)撥】如圖.∵

AB

∥

CD

，∴∠

A

＝∠

DFE

.

∵∠

A

＝45°，∴∠

DFE

＝45°.∵∠

DFE

是△

CEF

的一個(gè)外角，∴∠

DFE

＝∠

C

＋∠

E

.又∵∠

C

＝20°，

∴45°＝20°＋∠

E

.

∴∠

E

＝25°.故選B.

【答案】B123456789101112135.

[2023·日照]在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)將含30°角的直角

三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺上，測(cè)得∠1＝

23°，則∠2的度數(shù)是(

B

)A.23°B.53°C.60°D.

67°12345678910111213如圖.∵

BC

∥

DE

，∴∠2＝∠

BCD

.

又∵∠

BCD

＝∠1＋∠

A

，∠

A

＝30°，∴∠2＝∠1

＋∠

A

＝23°＋30°＝53°.故選B.

【點(diǎn)撥】【答案】B123456789101112136.

如圖是四條互相不平行的直線

l1，

l2，

l3，

l4相交所形成的

七個(gè)角，關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，下列結(jié)論中正確的是

(

C

)A.

∠2＝∠4＋∠7B.

∠1＋∠4＋∠6＝180°C.

∠3＝∠1＋∠7D.

∠2＋∠3＋∠5＝360°(第6題)C12345678910111213知識(shí)點(diǎn)3

三角形內(nèi)、外角的關(guān)系7.

如圖，∠1，∠2，∠3，∠4恒滿足的關(guān)系式是(

D

)A.

∠1＋∠2＝∠3＋∠4B.

∠1＋∠2＝∠4－∠3C.

∠1＋∠4＝∠2＋∠3D.

∠1＋∠4＝∠2－∠3(第7題)12345678910111213【點(diǎn)撥】如圖.因?yàn)椤?＝∠1＋∠4，∠2＝∠5＋∠3，所以∠1＋∠4＝∠2－∠3.【答案】D123456789101112138.[新考法·整體求值法]如圖，

D

，

E

，

F

分別是△

ABC

三

邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝107°，則∠1＋

∠2＋∠3的度數(shù)為(

A

)A.73°B.63°C.83°D.93°(第8題)12345678910111213【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠

D

＋∠3＝∠

CAB

，∠

E

＋∠1＝∠

ABC

，∠

F

＋∠2＝∠

ACB

，利用三角形內(nèi)角

和定理及已知條件即可求解.【答案】A12345678910111213易錯(cuò)點(diǎn)忽略外角的性質(zhì)中“不相鄰”這一條件9.

如圖，在△

ABC

中，在

BC

的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)

D

，

E

，連接

AD

，

AE

，則下列式子中正確的是(

C

)A.

∠

ACB

＞∠

ACD

B.

∠

ACB

＞∠1＋∠2＋∠3C.

∠

ACB

＞∠2＋∠3D.

以上都正確(第9題)C12345678910111213【點(diǎn)撥】∵∠

ACB

＝∠

CAE

＋∠

E

＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠

ACB

＞∠2＋∠3.故C正確.【點(diǎn)易錯(cuò)】解答這類題時(shí)，一定要有正確的理論依據(jù)，不能單憑

直覺判斷.此題學(xué)生容易

忽略外角的性質(zhì)中“不相鄰”這

一條件

，而錯(cuò)選A.

解答這類題時(shí)，一定要有正確的理論依據(jù)，不能單憑

直覺判斷.此題學(xué)生容易

忽略外角的性質(zhì)中“不相鄰”這

一條件

，而錯(cuò)選A.

1234567891011121310.

定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和.已知：如圖，∠

ACD

是△

ABC

的外角.求證：∠

ACD

＝

∠

A

＋∠

B

.

12345678910111213證法1：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形內(nèi)角和定

理)，∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定義)，∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB(等量代換).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等式性質(zhì)).證法2：∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°(量

角器測(cè)量所得)，135°＝76°＋59°(計(jì)算所得)，∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代換).12345678910111213下列說法正確的是(

B

)A.

證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理

的證明才完整B.

證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理C.

證法2用特殊到一般法證明了該定理D.

證法2只要測(cè)量夠100個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就

能證明該定理B12345678910111213【點(diǎn)撥】證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，不用再

證明其他形狀的三角形，故A錯(cuò)誤，B正確.證法2用量

角器測(cè)量，只能驗(yàn)證定理的正確性，缺少理論證明過

程，也與測(cè)量三角形的數(shù)量多少無關(guān)，故C，D錯(cuò)誤.1234567891011121311.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝40°，△

ABC

的外角∠

CBD

的平分線

BE

交

AC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

.

(1)求∠

CBE

的度數(shù)；

12345678910111213(2)過點(diǎn)

D

作

DF

∥

BE

，交

AC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F

，求∠

F

的度數(shù).【解】∵∠

ACB

＝90°，∠

CBE

＝65°，∴∠

CEB

＝90°－65°＝25°.∵

DF

∥

BE

，∴∠

F

＝∠

CEB

＝25°.1234567891011121312.

[新考法·分類討論法]如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于

點(diǎn)

D

，

BE

平分∠

ABC

，若∠

ABC

＝64°，∠

AEB

＝

70°.(1)求∠

CAD

的度數(shù)；【解】∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABC

＝2∠

EBC

＝64°.∴∠

EBC

＝32°.∴∠

C

＝∠

AEB

－∠

EBC

＝70°－32°＝38°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADC

＝90°.∴∠

CAD

＝90°－∠

C

＝90°－38°＝52°.12345678910111213(2)若點(diǎn)

F

為線段

BC

上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△

EFC

為直角三

角形時(shí)，求∠

BEF

的度數(shù).【解】分兩種情況：①如圖①所示，當(dāng)∠

EFC

＝90°

時(shí)，∠

BFE

＝90°，∴∠

BEF

＝90°－∠

EBC

＝90°－32°＝58°；12345678910111213②如圖②所示，當(dāng)∠

FEC

＝90°時(shí)，∠

EFC

＝90°

－∠

C

＝90°－38°＝52°，∴∠

BEF

＝∠

EFC

－

∠

EBC

＝52°－32°＝20°.綜上所述，∠

BEF

的度數(shù)為58°或20°.1234567891011121313.[新考法·猜想驗(yàn)證法]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

的平

分線與△

ABC

的外角∠

ACE

的平分線交于點(diǎn)

D

.

(1)若∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝40°，求∠

A

和∠

D

的

度數(shù)；12345678910111213【解】∵在△

ABC

中，∠