2024八年級數(shù)學上冊第15章軸對稱圖形和等腰三角形15.4角的平分線習題課件新版滬科版

滬科版八年級上第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線01名師點金02基礎題03綜合應用題目

錄CONTENTS04創(chuàng)新拓展題1.

角平分線上的點到角兩邊的距離是指角平分線上的點到角

兩邊的垂線段的長.2.

角平分線的性質是證明線段相等的一個重要方法，應用時

要注意兩點：一是不要漏掉垂直關系這個關鍵條件；二是

直接得到線段相等，而不必再證兩三角形全等.知識點1

角的平分線的畫法1.

如圖，用直尺和圓規(guī)作∠

AOB

的平分線，能得出∠

MOC

＝∠

NOC

的依據是(

A

)A.

SSS

B.

SAS

C.

ASA

D.

AAS

A123456789101112132.

[2023·河南]如圖，在△

ABC

中，點

D

在邊

AC

上，且

AD

＝

AB

.

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠

A

的平分線(保留作圖

痕跡，不寫作法)；【解】如圖所示，

AE

即為所求.12345678910111213(2)若(1)中所作的角平分線與邊

BC

交于點

E

，連接

DE

.

求證：

DE

＝

BE

.

【證明】如圖，∵

AE

平分∠

BAC

，

∴∠

BAE

＝∠

DAE

.

又∵

AB

＝

AD

，

AE

＝

AE

，∴△

BAE

≌△

DAE

(

SAS

)，∴

DE

＝

BE

.

12345678910111213知識點2

角平分線的性質3.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分∠

BAC

，

交

BC

于點

D

，

DE

⊥

AC

，垂足為點

E

，若

BD

＝2，則

DE

的長為(

C

)A.3C.2D.6(第3題)C12345678910111213

A.

BC

＝

BE

B.

CD

＝

DE

C.

BD

＝

AD

D.

BD

一定經過△

ABC

三條內角平分線的交點(第4題)12345678910111213【點撥】由作圖知，

BD

平分∠

ABC

.

∵∠

C

＝90°，

DE

⊥

AB

，∴

CD

＝

DE

，

BD

一定經過△

ABC

三條內角平分線

的交點，故B，D正確，不符合題意；

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(

HL

)

，12345678910111213∴

BC

＝

BE

，故A正確，不符合題意；無法證明

BD

＝

AD

，故C錯誤，符合題意.故選C.

【答案】C12345678910111213

12

(第5題)12345678910111213知識點3

角的平分線的判定6.

如圖，

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分別為

D

，

C

，

AD

，

BC

相交于點

P

，若

PA

＝

PB

，則∠1與∠2的大小

關系是(

A

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

無法確定(第6題)12345678910111213【點撥】因為

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，所以∠

PDB

＝∠

PCA

＝90°.又因為∠

APC

＝∠

BPD

，

PA

＝

PB

，所以△

PAC

≌△

PBD

，所以

PC

＝

PD

，所以

OP

平分∠

AOB

，

所以∠1＝∠2.A【答案】123456789101112137.

如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝42°，

AD

⊥

BC

于點

D

，

E

是

BD

上一點，

EF

⊥

AB

于點

F

.

若

ED

＝

EF

，則∠

AEC

的度數(shù)為

?.(第7題)66°

12345678910111213知識點4三角形的角平分線8.

到△

ABC

的三邊距離相等的點是△

ABC

的(

C

)A.

三條中線的交點B.

三條高的交點C.

三條角平分線的交點D.

以上均不對【點撥】角平分線上的點到角兩邊的距離相等.C12345678910111213易錯點因考慮問題不全面而漏解9.

如圖，直線

l1，

l2，

l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現(xiàn)

在擬建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相

等，則可供選擇的地址有

處.【點撥】

l1，

l2，

l3圍成的三角形內部有一處，為三條角平分

線的交點；外部有三處，分別為兩條外角平分線的交點.4

12345678910111213

A.

AB

＝

AC

B.

AG

⊥

BC

C.

∠

DGB

＝∠

EGC

D.

AG

＝

AC

12345678910111213【點撥】根據題中所給的作圖步驟可知，

AG

是△

ABC

的角平分線，所以∠

BAG

＝∠

CAG

.

當

AB

＝

AC

時，因為∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(

SAS

)，所以

BG

＝

CG

，故A選項正確，不符合題意.當

AG

⊥

BC

時，∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，12345678910111213因為∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(

ASA

)，所以

BG

＝

CG

，故B選項正確，不符合題意.當∠

DGB

＝∠

EGC

時，因為

AD

＝

AE

，∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ADG

≌△

AEG

(

SAS

)，所以∠

AGD

＝∠

AGE

，12345678910111213所以∠

AGD

＋∠

DGB

＝∠

AGE

＋∠

EGC

，即∠

AGB

＝∠

AGC

.

又因為∠

AGB

＋∠

AGC

＝180°，所以∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，所以

BG

＝

CG

，故C選項正確，不符合題意.由

AG

＝

AC

不能得出

BG

＝

CG

，故D選項錯誤，符

合題意.【答案】D1234567891011121311.

如圖，

PA

＝

PB

，∠1＋∠2＝180°.求證：

OP

平分∠

AOB

.

【證明】如圖，過點

P

作

PE

⊥

AO

，

PF

⊥

OB

，垂足分別為點

E

，

F

，則∠

AEP

＝∠

BFP

＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠

PBO

＝180°，∴∠1＝∠

PBO

.

12345678910111213

∴△

PAE

≌△

PBF

(

AAS

).∴

PE

＝

PF

.

∴

OP

為∠

AOB

的平分線，即

OP

平分∠

AOB

.

1234567891011121312.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

的平分線與△

ABC

的外角

∠

ACE

的平分線相交于點

P

，

PD

⊥

AC

于點

D

，

PH

⊥

BA

交

BA

的延長線于點

H

.

(1)若點

P

到直線

BA

的距離是5

cm，求點

P

到直線

BC

的

距離；12345678910111213【解】如圖，過點

P

作

PF

⊥

BE

于

點

F

.

由題意可知

PH

＝5

cm.∵

BP

平分∠

ABC

，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PH

＝5

cm，即點

P

到直線

BC

的距離為5

cm.12345678910111213(2)求證：點

P

在∠

HAC

的平分線上.【證明】∵

CP

平分∠

ACE

，

PD

⊥

AC

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PD

.

由(1)知

PH

＝

PF

，∴

PD

＝

PH

.

又∵

PH

⊥

BA

，

PD

⊥

AC

，∴點

P

在∠

HAC

的平分線上.1234567891011121313.

[新考法·變式探究法]如圖①，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分別是∠

BAC

，∠

BCA

的平分線，

AD

，

CE

相交于點

F

.

(1)

FE

與

FD

之間的數(shù)量關系為

，并說明

理由.EF

＝

FD

12345678910111213【點撥】

FE

＝

FD

.

理由如下：過點

F

作

FM

⊥

AB

于點

M

，

FN

⊥

BC

于點

N

，則∠

FME

＝∠

FND

＝90°.∵∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，∴∠

BAC

＝90°－∠

B

＝30°.