江蘇省南通市海門市海門中學2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

江蘇省南通市海門市海門中學2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.2．已知數列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.3．等差數列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2084．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.5．已知數列為等比數列，則“為常數列”是“成等差數列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．從2，4中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數的個數為（）A.48 B.36C.24 D.187．已知雙曲線的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.8．設分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.9．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直10．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）11．設，則當數列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或612．設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不大于100的正整數中，被3除余1的所有數的和是___________14．若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為3，則__.15．已知直線，，若，則實數______16．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點，，則球的體積為_________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數列的前項和.18．（12分）已知函數f(x)＝（1）求函數f(x)在x=1處的切線方程；（2）求證：19．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和20．（12分）已知數列是遞增的等差數列，，若成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和，求.21．（12分）已知函數，且a0（1）當a=1時，求函數f(x)的單調區(qū)間；（2）記函數，若函數有兩個零點，①求實數a的取值范圍；②證明：22．（10分）年月日，中國向世界莊嚴宣告，中國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現行標準下萬農村貧困人口全部脫貧，個貧困縣全部摘帽，萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務，困擾中華民族幾千年的絕對貧困問題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農科所實地考察，研究發(fā)現某脫貧村適合種植、兩種經濟作物，可以通過種植這兩種經濟作物鞏固脫貧成果，通過大量考察研究得到如下統計數據：經濟作物的畝產量約為公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：年份編號年份單價（元/公斤）經濟作物的收購價格始終為元/公斤，其畝產量的頻率分布直方圖如下：（1）若經濟作物的單價（單位：元/公斤）與年份編號具有線性相關關系，請求出關于的回歸直線方程，并估計年經濟作物的單價；（2）用上述頻率分布直方圖估計經濟作物的平均畝產量（每組數據以區(qū)間的中點值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應種植經濟作物還是經濟作物？并說明理由附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據三角函數圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A2、B【解析】根據題意，依次求出，觀察規(guī)律，進而求出數列的周期，然后通過周期性求得答案.【詳解】因為數列滿足，，所以，所以，，，可知數列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B3、D【解析】利用等差數列下標的性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D4、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【詳解】故選：B.5、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數列，則成等差數列，所以“為常數列”是“成等差數列”的充分條件；等差數列，所以，所以數列為，所以數列是常數列，所以“為常數列”是“成等差數列”的必要條件.所以“為常數列”是“成等差數列”的充要條件.故選：C6、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步計算即得解.【詳解】從中選一個數字，有種方法；從中選兩個數字，有種方法；組成無重復數字的三位數，有個.故選：B7、D【解析】設，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D8、D【解析】轉化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設，圓心為，則，當時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關鍵是圓上的點轉化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結論9、C【解析】由韋達定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進而可判斷兩直線的位置關系【詳解】設方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C10、A【解析】直接根據空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A11、A【解析】結合等差數列的性質得到，解不等式組即可求出結果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.12、D【解析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得故選：【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，雙曲線的幾何性質，以及直線與直線的位置關系的應用，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1717【解析】利用等差數列的前項和公式可求所有數的和.【詳解】100以內的正整數中，被3除余1由小到大構成等差數列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.14、【解析】通過拋物線的定義列式求解【詳解】根據拋物線的定義知，所以.故答案為：15、【解析】由直線垂直可得到關于實數a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：16、【解析】由已知設出，，，分別在中和在中運用余弦定理表示，得到關于x與y的關系式，再在中運用勾股定理得到關于x與y的又一關系式，聯立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設，，，,，因為點，點分別是，的中點，所以，，在中，，在中，，整理得，因為是邊長為的正三角形，所以，又因為，所以，由，解得，所以又因為是邊長為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球為以為棱的正方體的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關鍵在于熟悉正三棱錐的結構特征，運用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求解更方便快捷，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）根據等差數列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進而可得等差數列的通項公式，再利用等差數列的前項和公式可得；（2）將數列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結果.【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解.18、（1）y=5x－1；（2）證明見解析【解析】（1）求出導函數，求出切線的斜率，切點坐標，然后求切線方程（2）不等式化簡為．設，求出導函數，判斷函數的單調性求解函數的最值，然后證明即可【詳解】解：（1）的定義域為，的導數由（1）可得，則切點坐標為，所求切線方程為（2）證明：即證．設，則，由，得當時，；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，（1），即不等式成立，則原不等式成立19、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列公差為，，【小問2詳解】解：，.20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，若成等比數列，可得，解得，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關于數列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前項和.2、消項的規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.21、（1）函數f(x)在區(qū)間(0，+)上單調遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導，求解可得導函數恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數的單調性，由有兩個實數根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當a=1時，函數因為所以函數f(x)在區(qū)間(0，+)上單調遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個實數根記，則．當時，，函數k(x)是增函數；當時，，函數k(x)是減函數，所以，故（ii）易知，當x1時，，故．由（1）可知，當0x1時，，所以2lnxx?由