江西省重點中學(xué)盟校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

江西省重點中學(xué)盟校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°2．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.3．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.84．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.5．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為6．已知集合，則（）A. B.C. D.7．對數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550-1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，人們才認(rèn)識到指數(shù)與對數(shù)之間的天然關(guān)系對數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀察，需要進(jìn)行很多計算，特別是大數(shù)的連乘，需要花費很長時間．基于這種需求，1594年，奈皮爾運用了獨創(chuàng)的方法構(gòu)造出對數(shù)方法．現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4．那么的數(shù)位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.6078．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.9．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.10．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.12．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，則_____________.14．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）15．不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機取出3張．設(shè)X為這3張卡片的標(biāo)號相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標(biāo)號為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號3、4和4、5，此時X的值是2）．則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望______16．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，且，為的中點（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由19．（12分）已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點，求過點的圓的切線方程.20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值21．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.2、A【解析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計算.【詳解】.故選：A3、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選4、D【解析】以點A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D5、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當(dāng)時，為鈍角，∴C錯；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點：立體幾何中的動態(tài)問題【思路點睛】立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛?，既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點間的距離6、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)，則，求出t的范圍，即可判斷其數(shù)位.【詳解】設(shè)，則，則，則，，的數(shù)位是607.故選：D.8、A【解析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解9、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.10、B【解析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B11、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.12、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)15、##【解析】設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量的數(shù)學(xué)期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機取出3張，共有種，設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個，，的情況有：取，另外一個數(shù)有5種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機變量的數(shù)學(xué)期望：故答案為：16、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再運用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的極值，進(jìn)而討論其零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當(dāng)時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當(dāng)時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當(dāng)時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當(dāng)時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當(dāng)時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點；當(dāng)時，有3個零點.18、（1）（2）存在，點為線段的靠近點的三等分點【解析】（1）根據(jù)題意證得平面，進(jìn)而證得平面，得到平面，以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）設(shè)點，求得平面的法向量為，結(jié)合向量的距離公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小問1詳解】解：因為四邊形為正方形，則，，由，，，所以平面，因為平面，所以，又由，，，所以平面，又因為平面，所以，因為且平面，所以平面，由平面，且，不妨以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，易得平面的法向量為，則，由平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值【小問2詳解】解：設(shè)點，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以點到平面的距離為，解得，即或因為，所以故當(dāng)點為線段的靠近點的三等分點時，點到平面的距離為.19、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合點到直線的距離公式、弦長公式求得，由此求得圓的方程.（2）根據(jù)過的圓的切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得切線方程.【小問1詳解】由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓關(guān)于直線對稱，圓與軸相切：…①點到的距離為：，圓被直線截得的弦長為，，結(jié)合①有：，，又，，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由，解得.所以直線方程為，即即直線的方程為或.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設(shè)l與平面MND所成角為，則21、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l的斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+