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寧夏石嘴山三中2025屆高三數(shù)學第一學期期末檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z,則復數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i2.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③3.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科,則一名學生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種4.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.15.設,,則的值為()A. B.C. D.6.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關系不能確定7.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.若復數(shù),則()A. B. C. D.2010.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內的任何直線都與平行11.()A. B. C. D.12.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的前n項和為,,,則=_______.14.用數(shù)字、、、、、組成無重復數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.15.已知,復數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.16.在中,角的對邊分別為,且.若為鈍角,,則的面積為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.18.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調性;(Ⅱ)若對任意的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.20.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問函數(shù)有無極值點?若有,請求出極值點的個數(shù);若沒有,請說明理由.21.(12分)在直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)若射線的極坐標方程為().設與相交于點,與相交于點,求.22.(10分)設函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調性;(Ⅱ)證明:當x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復數(shù)z的虛部為.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.2、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.3、C【解析】

分兩類進行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應的組合數(shù),即可求出結果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理,熟記其計數(shù)原理的概念,即可求出結果,屬于??碱}型.4、B【解析】

過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設,將表示成關于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設,則,.因為,所以,所以,當時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應用.5、D【解析】

利用倍角公式求得的值,利用誘導公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關系式,正切差角公式,屬于基礎題目.6、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.7、B【解析】

首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計算可得.【詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【點睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運算,集合子集個數(shù)的計算公式,屬于基礎題.8、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當設切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運用轉化思想和數(shù)形結合思想,屬于較難的壓軸題.9、B【解析】

化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算,復數(shù)的模,意在考查學生的計算能力.10、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關系,依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當,不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內的任何直線都與平行,故,若,則內的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關系,意在考查學生的綜合應用能力.11、A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.12、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù),屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用求出公差,結合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設公差為,因為,所以,即.所以.故答案為:【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進行分類討論,利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時,符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個;②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個數(shù)位上,第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應用,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】∵復數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,16、【解析】

轉化為,利用二倍角公式可求解得,結合余弦定理可得b,再利用面積公式可得解.【詳解】因為,所以.又因為,且為銳角,所以.由余弦定理得,即,解得,所以故答案為:【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、另一個特征值為,對應的一個特征向量【解析】

根據(jù)特征多項式的一個零點為3,可得,再回代到方程即可解出另一個特征值為,最后利用求特征向量的一般步驟,可求出其對應的一個特征向量.【詳解】矩陣的特征多項式為:,是方程的一個根,,解得,即方程即,,可得另一個特征值為:,設對應的一個特征向量為:則由,得得,令,則,所以矩陣另一個特征值為,對應的一個特征向量【點睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量,需掌握特征多項式的計算形式,屬于基礎題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求導得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設,求,令,故在單調遞增,存在使得,,計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當時,在單調遞減,在單調遞增;當時,在單調遞增,在單調遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調遞增,在單調遞減.∴.綜上知,.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性,恒成立問題,意在考查學生對于導數(shù)知識的綜合應用能力.19、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】

(1)用直接法求軌跡方程,即設動點為,把已知用坐標表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設:,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設,,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計算,設.顯然,構造,由導數(shù)的知識求得其最小值,同時可得直線的方程.【詳解】(1)設,則,即整理得(2)設:,將其與曲線的方程聯(lián)立,得即設,,則,將直線:與聯(lián)立,得∴∴設.顯然構造在上恒成立所以在上單調遞增所以,當且僅當,即時取“=”即的最小值為1,此時直線:.(注:1.如果按函數(shù)的性質求最值可以不扣分;2.若直線方程按斜率是否存在討論,則可以根據(jù)步驟相應給分.)【點睛】本題考查求軌跡方程,考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設而不求”的思想方法,即設交點坐標為,設直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元,然后用韋達定理得(或),把這個代入其他條件變形計算化簡得出結論,本題屬于難題,對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求.20、(1)(2)沒有,理由見解析【解析】

(1)求導,研究函數(shù)在x=0處的導數(shù),等于切線斜率,即得解;(2)對f(x)求導,構造,可證得,得到,即得解【詳解】(1)由題意得,∵曲線在點處的切線與直線平行,∴切線的斜率為,解得.(2)當時,,,設,則,則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,又函數(shù),故恒成立,∴函數(shù)在定義域內單調遞增,函數(shù)不存在極值點.【點睛】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應用,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.21、(1)曲線的普通方程為;直線的直角坐標方程為(2)【解析】

(1)利用消去參數(shù),將曲線的參數(shù)方程化成普通方程,利用互化公式,將直線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)根據(jù)(1)求出曲線的極坐標方程,分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標方程,求出和,即可求出.【詳解】解:(1)因為(為參數(shù)),所以消去參數(shù),得,所以曲線的普通方程為.因為所以直線的直角坐標方程為.(2)曲線的極坐標方程為.設的極徑分別為和,將()代入,解得,將()代入,解得.故.【點睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通

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