2.7 確定二次函數(shù)的表達式（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.7確定二次函數(shù)的表達式學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·湖南長沙市九年級期中）如圖，拋物線與拋物線交于點，且它們分別與軸交于點、．過點B作軸的平行線，分別與兩拋物線交于點A、，則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當時，隨著的增大，的值先增大后減小；④四邊形為正方形．其中正確的是（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③【答案】B【分析】①根據(jù)非負數(shù)的相反數(shù)或者直接由圖像判斷即可；②先求拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點坐標，判斷平移方向和平移距離即可判斷②；③先根據(jù)題意得出時，觀察圖像可知，然后計算，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；④分別計算出的坐標，根據(jù)正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】①，，，無論取何值，總是負數(shù)，故①正確；②拋物線與拋物線交于點，，即，解得，拋物線，拋物線的頂點，拋物線的頂點為，將向右平移3個單位，再向下平移3個單位即為，即將拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位可得到拋物線，故②正確；③，將代入拋物線，解得，，將代入拋物線，解得，，，從圖像可知拋物線的圖像在拋物線圖像的上方，當，隨著的增大，的值減小，故③不正確；④設(shè)與軸交于點，，，由③可知，，，，當時，，即，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，故④正確，綜上所述，正確的有①②④，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移，正方形的判定定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2021·溫州市實驗中學(xué)九年級月考）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點為點D，把拋物線在x軸下方部分關(guān)于點B作中心對稱，頂點對應(yīng)D′，點A對應(yīng)點C，連接DD′，CD′，DC，當△CDD′是直角三角形時，a的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】先求出點A（-3，0），點B（1，0），由點B為中心對稱，求出點C（5，0），把拋物線配方為頂點式可得D（－1，－4a），點D與點D′關(guān)于點B對稱，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分兩種情況，當∠CD′D=90°，∠DCD′=90°時利用勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，∴∵a＞0解得∴點A（-3，0），點B（1，0），∵點B為中心對稱，∴點C的橫坐標為：1+（1+3）=5，∴點C（5，0），∴拋物線，∴D（－1，－4a），點D與點D′關(guān)于點B對稱，點D′的橫坐標為1+（1+1）=3，縱坐標為4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，當∠CD′D=90°，根據(jù)勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；當∠DCD′=90°，根據(jù)勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴綜合得a的值為或．故答案選：A．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，分類思想的應(yīng)用，勾股定理，中心對稱性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，分類思想的應(yīng)用，勾股定理，中心對稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題3．在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（1，0）．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點為P．無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點H．當∠AHP＝45°時，求拋物線的解析式是__．【答案】或【分析】發(fā)現(xiàn)當x＝2時，y＝4，所以定點H（2，4）．過點A作AB⊥PH于點B，過點B作DC⊥x軸于點C，過點H作HD⊥CD于點D，構(gòu)造△ABC≌△BHD，利用對應(yīng)邊AC＝BD，BC＝HD求點B坐標，再求直線BH解析式，把用m表示的點P坐標代入BH解析式即求得m的值．由于滿足∠AHP＝45°的點P可以在AH左側(cè)或右側(cè)，故需分情況討論．【詳解】解：當x=2時，y=4+2m-2m=4．

∴無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點H（2，4）．過點A作AB⊥PH于點B，過點B作DC⊥x軸于點C，過點H作HD⊥CD于點D．∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°．∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°．∴∠BAC＝∠DBH．∵∠AHP＝45°．∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH．在△ABC與△BHD中，，∴△ABC≌△BHD（AAS）．∴AC＝BD，BC＝HD．設(shè)點B坐標為（a，b）．①若點P在AH左側(cè)，即點B在AH左側(cè)，如圖1．

∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a．∴，解得，．∴點B（﹣，）．設(shè)直線BH解析式為y＝kx+h．∴，解得，．∴直線BH：y＝x+．∵y＝x2+mx﹣2m，∴拋物線頂點P為（﹣，﹣﹣2m）．∵點P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上，∴（﹣）+＝﹣﹣2m．解得：m1＝﹣，m2＝﹣4．∵m＝﹣4時，P（2，4）與點H重合，舍去，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+．②若點P在AH右側(cè)，即點B在AH右側(cè)，如圖2．

∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2．∴，解得，．∴點B（，）．設(shè)直線BH解析式為y＝kx+h．∴，解得，．∴直線BH：y＝﹣x+．∵點P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上，∴﹣（﹣）+＝﹣﹣2m．解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）．∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+．綜上所述，拋物線解析式為y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．故答案為：y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點．確定定點H的位置是解題的基礎(chǔ)，構(gòu)造全等三角形將線段長轉(zhuǎn)化為點坐標是求函數(shù)解析式的關(guān)鍵．4．如圖，平面直角坐標系中，點A在y軸的負半軸上，點B，C在x軸上，OA＝8，AB＝AC＝10，點D在AB上，CD與y軸交于點E，且滿足S△COE＝S△ADE，則過點B，C，E的拋物線的函數(shù)解析式為__．【答案】【分析】根據(jù)OA＝8，AB＝AC＝10，可得B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8），設(shè)點D（m，n），由S△COE＝S△ADE，得S△CDB＝S△AOB，從而求出n的值，可得點D是AB的中點，進而可得點E為△ABC的重心，即可得點E的坐標，最后即可求出過點B，C，E的拋物線的函數(shù)解析式．【詳解】解：∵OA＝8，AB＝AC＝10，∴OB＝OC＝＝6，∴B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8）設(shè)點D（m，n），∵S△COE＝S△ADE，∴S△COE+S四邊形OEDB＝S△ADE+S四邊形OEDB∴S△CDB＝S△AOB，∴BC?|n|＝AO?BO，∴12（﹣n）＝8×6，解得n＝﹣4，設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，把A（0，﹣8），B（6，0），代入得，解得，b＝﹣8，k＝，∴直線AB解析式為y＝x﹣8，當y＝﹣4時，x＝3，∴D（3，﹣4），∵C（﹣6，0），同理可得CD解析式為y＝x﹣，∴點E的坐標為：（0，﹣），設(shè)經(jīng)過B、C、E三點的二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2﹣，把B（6，0）代入得，0＝36a﹣，a＝，∴過點B，C，E的拋物線的函數(shù)解析式為：y＝x2﹣．故答案為：y＝x2﹣．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解決本題的關(guān)鍵是求出點E的坐標，解題時注意轉(zhuǎn)化思想的合理運用．5．（2021·安徽九年級周測）已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(m﹣4，0)和B(m，0)，與直線y＝﹣x+p相交于點A和C(2m﹣4，m﹣6)，拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點D，點P在拋物線的對稱軸上，連PA，PD，當PA+PD的長最短時，點P的坐標為_____．【答案】(1，﹣2)【分析】把點A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直線y=-x+p上得到方程組，求出方程組的解，得出A、B、C的坐標，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a，得出函數(shù)的解析式，找出P的位置，求出AN的解析式，把x=1代入即可．【詳解】解：∵點A(m﹣4，0)和C(2m﹣4，m﹣6)在直線y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(2，﹣3)，設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c＝a(x﹣3)(x+1)，∵C(2，﹣3)，代入得：﹣3＝a(2﹣3)(2+1)，∴a＝1∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，對稱軸EF為x＝1，當x＝0時y＝﹣3，即D點的坐標為(0，﹣3)，作D關(guān)于EF的對稱點N，連接AN，交EF于P，則此時P為所求，根據(jù)對稱得N的坐標為(2，﹣3)，設(shè)直線AN的解析式為y＝kx+e，把A、N的坐標代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P點的坐標為(1，﹣2)，故答案為：(1，﹣2)．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，軸對稱-最短路線問題等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．6．（2020·溫州市實驗中學(xué)九年級期中）如圖，已知點是拋物線的頂點，過作直線分別交軸正半軸和軸正半軸于點、交拋物線于點，且，過點作軸，垂足為，若的面積是的2倍，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先得到，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長線于點D，然后由相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點C的坐標，把點C代入拋物線方程，即可求出m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，則∵△ACG與△PCG是同高，且底邊在同一條直線上，又∵，∴，∴，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長線于點D，如圖：∴PE∥CG，∴△ACG∽△APE，∴；在拋物線中，對稱軸為，當時，代入，則，∴點P的坐標為（3，9m）；∴，，∴，∵PD∥x軸，∴△ACG∽△PCD，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴點C的坐標為：（，），把點C代入拋物線的方程，則，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出圖形，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題．7．（福建連城九年級期中）平面直角坐標系下，一組有規(guī)律的點A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）、A6（5，0）…（注：當n為奇數(shù)時，An（n﹣1，1），n為偶數(shù)時，An（n﹣1，0）），拋物線C1經(jīng)過點A1、A2、A3三點，…拋物線Cn經(jīng)過Cn，Cn+1，Cn+2三點，請寫出拋物線C2n的解析式_____．【答案】y2n＝﹣（x﹣2n）2+1．【解析】【分析】根據(jù)頂點式即可求出C1，C4的解析式，找出規(guī)律即可求得．【詳解】解：由A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）、A6（5，0）…可知：C1的對稱軸為x＝1，C2的對稱軸為x＝2，C3對稱軸為x＝3，C4對稱軸為x＝4，…，根據(jù)頂點式求出C1的解析式為：y1＝（x﹣1）2，C2解析式為y2＝﹣（x﹣2）2+1，C3解析式為y3＝（x﹣3）2，C4解析式為y4＝﹣（x﹣4）2+1，…∴拋物線C2n的解析式應(yīng)該為：y2n＝﹣（x﹣2n）2+1．故答案為y2n＝﹣（x﹣2n）2+1．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)經(jīng)過的三點的規(guī)律，并利用頂點式求得解析式三、解答題8．（2021·儀征市實驗初中九年級月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，點，交y軸于點C，點是線段OB上一點與點O、B不重合，過點M作軸，交BC于點P，交拋物線于點Q，連接OP，CQ．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若，求QP的長；【答案】（1）二次函數(shù)；（2）PQ=．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點代入拋物線解析式解方程即可；（2）先求OB=OC=3，可得∠OBC=45°，BC=，再證MP=MB，用m表示PM=BM=3-m,PB=，CP=BC-BP=，求出點Q（m，），可求PQ=，證明△OCP∽△CPQ，可得，代入的方程，整理得，解方程即可．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖像過點，∴，解得，∴二次函數(shù)；（2）當x=0時，y=3，∴OC=3，∴OB=OC=3，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，BC=，∵軸，∴∠MPB=90°-∠OBA=45°=∠OBA，∴MP=MB，∵點，∴PM=BM=3-m，∴PB=，∴CP=BC-BP=，當x=m時，，∴點Q（m，），∴PQ=QM-PM=，∵軸，軸，∴CO∥QM，∠MPB=90°-∠OBA=45°，∴∠OCP=∠CPQ，∵，∴△OCP∽△CPQ，∴，∴，∴，整理得，∵m=0（舍去），m=,∴當時，∴PQ．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2021·陜西西安九年級模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知拋物線C1：y＝x2+bx+c與x軸的一個交點是A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式；（2）已知點D是第一象限內(nèi)一點，且△ACD是以AC為直角邊的等腰直角三角形，則點D坐標為；（3）在直線AC左側(cè)有一點M，將拋物線C1的圖象繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，其中點A、C的對應(yīng)點分別是A'、C'，若以A、C、A'、C'為頂點的四邊形是正方形，求點M的坐標并直接寫出拋物線C2的表達式．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（2，1）；（3）點M（﹣2，﹣2），y＝﹣x2﹣10x﹣25．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可；（2）分兩種情況考慮，證明三角形全等即可解決；（3）由全等三角形的性質(zhì)可求得點M的坐標，即可求得點A'、C'的坐標，利用待定系數(shù)法可求解．【詳解】（1）由題意可得：，∴，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，當∠DAC＝90°時，過點D作DE⊥x軸于E，∵點A（﹣1，0），點C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∵∠DAE+∠CAO＝90°＝∠DAE+∠ADE，∴∠ADE＝∠CAO，又∵AD＝AC，∠AOC＝∠AED＝90°，∴△OAC≌△EDA(AAS)，∴OA＝DE＝1，OC＝AE＝3，∴OE＝2，∴點D（2，1），當∠ACD'＝90°，過點D'作D'E'⊥y軸于E'，同理可得CE'＝OA＝1，D'E'＝OC＝3，∴OE'＝2，∴點D'（3，﹣2），∵點D是第一象限內(nèi)一點，∴點D（2，1），故答案為（2，1）；（3）如圖2，過點C'作C'F⊥x軸于F，∵四邊形A'C'AC是正方形，∴AC'＝AC，∠C'AC＝90°＝∠AOC，∴∠C'AF+∠CAO＝90°＝∠CAO+∠ACO，∴∠C'AF＝∠ACO，∴△ACO≌△C'AF（AAS），∴AO＝C'F＝1，AF＝CO＝3，∴點C'坐標為（﹣4，﹣1），∵CM＝C'M，∴點M（﹣2，﹣2），∵AM＝A'M，∴點A'（﹣3，﹣4），∵將拋物線C1的圖象繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，∴設(shè)拋物線C2的解析式為y＝﹣x2+mx+n，由題意可得：，可得，∴拋物線C2的解析式為y＝﹣x2﹣10x﹣25．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·湖北潛江市九年級期中）如圖，直線交軸于點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點與點，且交軸于另一點．

（1）求此拋物線的解析式及點的坐標；（2）在直線上方的拋物線上有一點，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）將線段繞軸上的動點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】（1），（-2，0）；（2）2，（2，2）；（3）或【分析】（1）令，由，得A點坐標，令，由，得點坐標，將A、的坐標代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，從而可以求解；（2）過點作軸，與交于點，設(shè)，則，由三角形的面積公式表示出三角形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，并求得的值，便可得點的坐標；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，求得點和點的坐標，令點和點在拋物線上時，求出的最大和最小值便可．【詳解】解：（1）令，得，，令，得，解得，，，把A、兩點代入得，，解得，拋物線的解析式為；∴拋物線的對稱軸為∵C（4，0）∴B（-2，0）；（2）過點作軸，與交于點，如圖，設(shè)，則，，當時，△面積最大，其最大值為2，此時的坐標為；（3）將線段繞軸上的動點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，如圖，，，，，當在拋物線上時，有，解得，，當點在拋物線上時，有，解得，或2，當或時，線段與拋物線只有一個公共點．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標軸的交點，求函數(shù)的最大值，三角形的面積公式，第（2）題關(guān)鍵在求函數(shù)的解析式，第（3）關(guān)鍵是確定O′，A′點的坐標與位置．11．（2021·蘇州市九年級月考）已知拋物線經(jīng)過點、點、點，點D為拋物線在第一象限內(nèi)圖像上一動點，連接，交y軸于點E，將點C關(guān)于線段作軸對稱，對稱點為，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1如果點落在x軸，求點E坐標；（3）如圖2，連接與交于點F，拖動點D，點落在第四象限，作，交x軸于點M，交于點G，若，求點M的橫坐標．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）點E坐標為（0，）；（3）點M的橫坐標為【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；（2）利用勾股定理求出AC，進而求出點坐標，證明△AOE∽△CO求出OE即可；（3）連接C交AD于Q，過作P⊥x軸于P，證明△AOC≌△PA得到點坐標，進而得到點Q坐標，利用待定系數(shù)法分別求得直線AD、直線AC、直線BC、直線FG的表達式，進而求解M橫坐標即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）在Rt△AOC中，OA=1，OC=3，∴，∵點C與點關(guān)于線段對稱，∴A=AC=，C⊥AD，又A（﹣1，0），∴點坐標為（﹣1，0），O=﹣1，∵∠OAE+∠OEA=∠OAE+∠OC=90°，∴∠OEA=∠OC，又∠AOE=∠CO，∴△AOE∽△CO，∴即，解得：，故點E的坐標為（0，）；（3）連接C交AD于Q，過C′作P⊥x軸于P，∵FG∥AC，F(xiàn)G⊥A，∴AC⊥A，∴∠CAO+∠PAC′=90°，又∠CAO+∠ACO=90°，∴∠PA=∠ACO，又∠AOC=∠PA=90°，AC=A，∴△AOC≌△PA（AAS），∴PA=OC=3，P=OA=1，∴點的坐標為（2，﹣1），∵點C與點關(guān)于線段對稱，∴點Q坐標為（1，1），設(shè)直線AD的表達式為y=kx+b，則，解得：，∴直線AD的表達式為，同樣方法求得直線BC的表達式為y=﹣x+3，直線AC的表達式為y=3x+3，聯(lián)立方程組，解得：，∴點F坐標為（，），∵FG∥AC，∴設(shè)直線FG的表達式為y=3x+t，則=3×+t，解得：t=，∴直線FG的表達式為y=3x，當y=0時，由0=3x解得：x=，∴點M的橫坐標為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、對稱性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩直線的交點問題、解二元一次方程組等知識，知識點較多，綜合性強，難度較難，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，尋找知識之間的關(guān)聯(lián)點，利用數(shù)形結(jié)合思想進行推理、探究和計算．12．（2021·四川雙流九年級期末）如圖1，在平面直角坐標系中，過點A（5，4）作AB⊥x軸于點B，作AC⊥y軸于點C，D為AB上一點，把△ACD沿CD折疊，使點A恰好落在OB邊上的點E處．（1）已知拋物線y＝2x2+bx+c經(jīng)過A、E兩點，求此拋物線的解析式；（2）如圖2，點F為線段CD上的動點，連接BF，當△BDF的面積為時，求tan∠BFD的值；（3）將拋物線y＝2x2+bx+c平移，使其經(jīng)過點C，設(shè)拋物線與直線AC的另一個交點為M，問在該拋物線上是否存在點N，使得△CMN為等邊三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝2x2﹣14x+24；（2）；（3）存在，點N的坐標為（，）或（﹣，）【分析】（1）解直角三角形求出E，A兩點坐標，再利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）如圖2中，過點F作FG⊥AB于G，BH⊥CD交CD的延長線于H．設(shè)DE＝AD＝x，在Rt△BED中，DE2＝BE2+BD2，由此構(gòu)建方程求出x，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）如圖3中，設(shè)平移后的拋物線為y＝2x2+bx+4，由題意△CMN是等邊三角形，推出點N只能是頂點，頂點N（，），根據(jù)IN＝CI，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標為（5，4），AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，∴AC＝5，AB＝4，∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，∴四邊形ABOC是矩形，∴BO＝AC＝5，CO＝AB＝4，∵△CED是由△CAD翻折得到，∴CE＝AC＝5，DE＝AD，在Rt△CEO中，OC＝4，CE＝5，∴OE＝＝＝3，∴E（3，0），BE＝2，把E（3，0），A（5，4）代入y＝2x2+bx+c得，解得，∴拋物線的解析式為y＝2x2﹣14x+24．（2）如圖2中，過點F作FG⊥AB于G，BH⊥CD交CD的延長線于H．設(shè)DE＝AD＝x，在Rt△BED中，DE2＝BE2+BD2，∴x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝，∴AD＝，BD＝，∴×DB×FG＝，∴FG＝，∵FG∥AC，∴＝，∴，∴DG＝，∴DF＝＝，∵∠FGD＝∠BHD，∠FDG＝∠BDH，∴△BDH∽△FDG，∴＝＝，∴，∴DH＝，BH＝，F(xiàn)H＝FD+DH＝，∴tan∠BFN＝＝．（3）如圖3中，設(shè)平移后的拋物線為y＝2x2+bx+4，∵△CMN是等邊三角形，∴點N只能是頂點，頂點N（，），∴IN＝CI，∴||＝4﹣，∴b＝±2，∴滿足條件的點N的坐標為（，）或（﹣，）．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用特殊圖形解決問題，屬于中考壓軸題．13．（2021·江蘇徐州九年級二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D是線段BC上一動點，點D關(guān)于AC、AB的對稱點分別為點M、N，連接MN交線段AC、AB于E、F．求MF?NE最小值；（3）點J是拋物線頂點，連接JC、JA，點H為拋物線對稱軸上一動點，設(shè)縱坐標為m，過點H的直線交邊CJ于P，交邊JA于Q，若對于每個確定的m值，有且只有一個△JQP與△JCA相似，請直接寫出m的取值范圍．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)拋物線為交點式，代入點C坐標即可求得表達式；

（2）由軸對稱性質(zhì)可證得是等腰直角三角形，再證明，得到，即．當時，AD最小，利用三角形的面積公式求出AD的長，從而求得的最小值；

（3）當H在AC上時，容易證得臨界值m＝2，此時有且只有一個△JQP與△JCA相似；當H在AC上方時，過點C作CR⊥AJ于點R，交直線x=1于點H，過點R作直線RF⊥y軸于點F，過點A作AE⊥RF于點E．可證△RFC～△AER．從而得到點R坐標，由此知直線CR的解析式，令x＝1，即可得H點的縱坐標m＝，此為另一臨界值，若，則不存在唯一的△JQP與△JCA相似．根據(jù)m的兩個臨界值，可得m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（3，0），B（-1,0），∴設(shè)拋物線表達式為∵點C（0，3）在拋物線上，∴a（0+1）（0﹣3）=3，解得，a＝﹣1．∴該拋物線表達式為y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）如圖，連接∵A（3，0），B（-1，0），∴OC＝OA＝3，OB＝1，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，BC＝．∵點D與點M關(guān)于直線AC對稱，∴AM=AD，∠MAC＝∠DAC．同理：AN=AD，∠BAN＝∠BAD，∴AM=AN=AD．∠MAN＝2∠OAC＝2×45°＝90°．∴△MAN為等腰直角三角形．∴∠AMN＝∠ANM＝45°．∵∠AEN為△AEM的外角，∴∠AEN＝∠AME+∠MAE＝45°+∠MAE，∵∠MAO＝∠CAO+∠MAE＝45°+∠MAE，∴∠AEN＝∠MAO．∴△AEN～△FAM．∴，即MF?NE＝AN?AM＝AD2．∵點D在線段BC上，∴當AD⊥BC時，AD最小，此時，∵∴∴AD＝．即MF?NE的最小值為＝．（3）∵拋物線解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3，∴當時，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點J（1，4）．∵A（3，0）、C（0，3），∴JC2＝CA2＝32+32＝18，AJ2＝4+16＝20，∴AJ2＝CA2+JC2，故△JCA為直角三角形，∠JCA＝90°．若△JQP與△JCA相似，則△JQP也為直角三角形．設(shè)直線AJ的解析式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得，，解得：．故直線AJ解析式為y＝﹣2x+6．同理可得直線AC的解析式為y＝﹣x+3．①當H在直線AC上時，此時作為一個臨界條件（若H在AC下方，則過點H的直線必有一邊不與CJ或JA相交）．∵拋物線對稱軸為x＝1，點H在AC上，∴當x=1時，y=-1+3=2．∴H（1，2）．此時m＝2；②當H在直線AC的上方時，過點C作CR⊥AJ于點R，交直線x=1于點H，過點R作直線RF⊥y軸于點F，過點A作AE⊥RF于點E．如圖（為了避免干擾，略去了拋物線圖象）．∴∠REA＝90°．∵點R在直線AJ：y=-2x+6上，∴設(shè)點R坐標為（a，﹣2a+6）．∵∠CRA＝90°＝∠RFC，∴∠FRC+∠ERA＝90°．又∠EAR+∠ERA＝90°∴∠FRC＝∠EAR．∴△RFC～△AER．∴，即，整理得，5a2﹣21a+18＝0，解得：，a2＝3（不合題意，舍去）．∴∴點R（，）．設(shè)直線CR解析式為y＝px+q，根據(jù)題意，得，，解得，．∴直線CR解析式為y＝．令x＝1，得y＝．∴點H的縱坐標m＝．此時m的值為另一臨界值，若H再向上（包含此點（1，）），則不存在唯一的△JQP與△JCA相似．∴符合條件的m的取值范圍為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱、最值、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，求函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)，而第（2）題求的最小值，將解題目標鎖定在證明上是關(guān)鍵；第（3）題求m的取值范圍，將目標鎖定在求m的兩個臨界值上是關(guān)鍵．14．（2021·江蘇新吳九年級二模）在矩形中，已知，，E為上一點，若沿直線翻折，使點A落在邊上點F處，折痕為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，矩形的一邊落在平面直角坐標系的x軸上，軸，且點C坐標為，點P為平面內(nèi)一點，若以O(shè)、B、F、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出n的值；（3）如圖3，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、F兩點，其頂點為，連接，若，求此二次函數(shù)的表達式．

【答案】（1）見解析；（2）或或；（3）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和等角的余角相等可證得，進而可證得結(jié)論；（2）分當OB、BF為菱形的邊；當OB、OF為菱形的邊；當BF、OF為菱形的邊三種情況討論求解即可；（3）設(shè)拋物線的表達式為，將點A、F坐標代入求出a、h，過M作，交的延長線于點G，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于n的方程，求出n值，即可得出拋物線的表達式．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，由折疊得，，∴，，∴，∴；（2）解：連接OF，由折疊性質(zhì)得BF=15，∵C點坐標為（n，0）（n＜0），∴OC=﹣n，即OB=9﹣n，當OB、BF為菱形的邊時，OB=BF，即9﹣n=15，解得：n=﹣6；當OB、OF為菱形的邊時，OB=OF，∵BC=9，BF=15，∴CF=12，在Rt△OCF中，由勾股定理得：OF2=122+（﹣n）2=144+n2，∴（9﹣n）2=144+n2，解得：n=﹣3.5；當BF、OF為菱形的邊時，BF=OF，由152=144+n2得：n=﹣9或n=9（不符題意，舍去），綜上，滿足題意的n的值為或或（3）設(shè)二次函數(shù)表達式為，由題意得，將A、F坐標代入拋物線得解得：，，過M作，交的延長線于點G，如圖所示∵，∴∵，∴∵，∴，∴，即，解得，∴二次函數(shù)表達式，即．．【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、坐標與圖形、菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、解方程等知識，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識的性質(zhì)與運用，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法進行推理、探究和計算．14．（2021·遼寧丹東中考真題）如圖，已知點，點，直線過點B交y軸于點C，交x軸于點D，拋物線經(jīng)過點A、C、D，連接、．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）E為直線上方的拋物線