《角的概念的推廣》教材分析

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《角的概念的推廣》教材分析一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖任意角任意角正角負(fù)角零角象限角終邊相同的角：二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：將到范圍的角擴(kuò)充到任意角.難點(diǎn)：任意角概念的建構(gòu).三、教科書(shū)編寫(xiě)意圖及教學(xué)建議周期性變化現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，圓周運(yùn)動(dòng)是研究這種現(xiàn)象的變化規(guī)律的理想載體.教科書(shū)單刀直入地提出問(wèn)題：如何刻畫(huà)圓周上一點(diǎn)的位置變化？通過(guò)分析，得出“可以借助角的大小變化刻畫(huà)”.容易發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，角的范圍將超出～，就有必要推廣角的概念.利用幾何直觀有利于抽象概念的理解.教科書(shū)充分利用單位圓，引導(dǎo)學(xué)生了解任意角及弧度制概念，同時(shí)，還利用直角坐標(biāo)系建立象限角的概念，使任意角的討論有了一個(gè)統(tǒng)一的“標(biāo)準(zhǔn)”.教學(xué)中，要特別注意利用單位圓、直角坐標(biāo)系等工具，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地認(rèn)識(shí)與刻畫(huà)周期現(xiàn)象.使用信息技術(shù)可以動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，有利于學(xué)生觀察角的大小變化與終邊位置的關(guān)系，因此要注意用信息技術(shù)幫助學(xué)生了解任意角和弧度的概念.任意角教科書(shū)首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題（體操中的轉(zhuǎn)體、齒輪旋轉(zhuǎn)等）引出角的概念的推廣問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，將角的范圍推廣到任意角，在直角坐標(biāo)系中表示角——象限角，并研究象限角的性質(zhì)——終邊相同的角的代數(shù)特征.這樣可以使學(xué)生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景—定義—度量—運(yùn)算—性質(zhì)”的研究路徑.1.任意角的概念教科書(shū)通過(guò)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感受推廣角的概念的必要性，使他們認(rèn)識(shí)到要準(zhǔn)確地表達(dá)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，需要同時(shí)說(shuō)明旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向.教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生思考“怎樣才能準(zhǔn)確地描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)僅用～的角已經(jīng)難以回答當(dāng)前的問(wèn)題，進(jìn)而引出學(xué)習(xí)課題：推廣角的范圍，如何推廣？學(xué)生過(guò)去接觸的角都在～，關(guān)于角的認(rèn)識(shí)已形成一定的思維定勢(shì).為此，除了教科書(shū)中的例子，教學(xué)時(shí)還可以再舉一些實(shí)際例子，用以說(shuō)明引入新概念的必要性和實(shí)際意義.同時(shí)，還可以借助信息技術(shù)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中體會(huì)：角是轉(zhuǎn)出來(lái)的，在角的終邊“任意”旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，角的范圍不能限于～；要準(zhǔn)確地刻畫(huà)一個(gè)角，必須既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向.初中研究過(guò)平面圖形的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生已經(jīng)知道旋轉(zhuǎn)的“三要素”，這是對(duì)旋轉(zhuǎn)的定性刻畫(huà)，可以作為刻畫(huà)任意角的一個(gè)基礎(chǔ).如何用量化的方法刻畫(huà)任意角呢？旋轉(zhuǎn)量的大小可以在初中學(xué)過(guò)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，這里的關(guān)鍵是用符號(hào)表示“方向”，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?、順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù).可類(lèi)比正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定，說(shuō)明正角、負(fù)角是用來(lái)表示“具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量”.如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)（即旋轉(zhuǎn)量為0），那么說(shuō)它形成了一個(gè)零角，零角無(wú)正負(fù)，就像實(shí)數(shù)0無(wú)正負(fù)一樣.2.用符號(hào)代表方向的意義任意角是“既有大小又有方向”的角，與向量有很大的可比性，所以我們先來(lái)看看用符號(hào)代表方向?qū)τ谙蛄康囊饬x.用符號(hào)代表方向奠定了軸上向量數(shù)量化的基礎(chǔ).由此，就可以實(shí)現(xiàn)用實(shí)數(shù)表示向量：在軸（具有方向和長(zhǎng)度單位的直線）上取一點(diǎn)為原點(diǎn)，得數(shù)軸，并設(shè)它的基向量為，則上任意一點(diǎn)與向量一一對(duì)應(yīng)，而且.這里叫做向量的數(shù)量，實(shí)際上就是數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，這就是用實(shí)數(shù)表示向量的方法.接下來(lái)，我們可以把點(diǎn)在軸上的運(yùn)動(dòng)、軸上的向量加法、實(shí)數(shù)的代數(shù)和等統(tǒng)一起來(lái)：在軸上，一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，根據(jù)兩次運(yùn)動(dòng)的不同方向，可以區(qū)分出四種情況（圖5-3）：圖5-3但無(wú)論如何，從數(shù)量上看，最終結(jié)果都有.這一等式的代數(shù)意義實(shí)際上就是實(shí)數(shù)的代數(shù)和（表示了多次變化的結(jié)果），它給運(yùn)算帶來(lái)了極大方便，我們不必要再區(qū)分各種情況了.顯然，用符號(hào)表示方向才有.這是一個(gè)“常識(shí)”，但非常值得重視，而且它很重要.它叫沙爾定理，沙爾（MichelChasles，19世紀(jì)重要的法國(guó)數(shù)學(xué)家）稱(chēng)之為“幾何學(xué)的基本定理”，其實(shí)質(zhì)意義是讓幾何量帶上符號(hào).正如偉大的數(shù)學(xué)家F?克萊因指出的：“對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處.初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理就可以概括.”在角的擴(kuò)充過(guò)程中，我們讓角帶上符號(hào)而成為任意角，正角的符號(hào)為“+”，負(fù)角的符號(hào)為“-”，于是有：設(shè)任意角的始邊、終邊分別為，，讓旋轉(zhuǎn)任意角到，則由旋轉(zhuǎn)到的角是.顯然，如果，不帶有符號(hào)，那么我們就必須考慮：在旋轉(zhuǎn)到時(shí)，是按順時(shí)針還是按逆時(shí)針？由上所述可知，教科書(shū)對(duì)任意角加法的定義是基于用符號(hào)表示方向，其依據(jù)是沙爾定理，這是研究三角函數(shù)的基礎(chǔ).3.任意角的度量關(guān)于度量，初中學(xué)過(guò)兩類(lèi)，一是線段、平面圖形和空間圖形的大小度量，是十進(jìn)制，其中線段的長(zhǎng)度是基礎(chǔ)；二是“用角量角”的角度制，是六十進(jìn)制.這里把角的范圍從～（不超過(guò)一個(gè)周角）擴(kuò)展到任意角，如果記任意角，那么.為了定義三角函數(shù)的需要，還需要引入“用長(zhǎng)度量角”的弧度制.4．任意角的運(yùn)算角的范圍擴(kuò)展到任意角后，角的運(yùn)算的意義也隨之得到擴(kuò)展.初中學(xué)過(guò)角的和、差和倍角，角的運(yùn)算中不考慮方向，兩角差只考慮“大角減小角”.角的范圍擴(kuò)充后，不僅可以“小角減大角”，而且對(duì)兩角和也賦予了全新的意義.教科書(shū)定義的兩個(gè)任意角，的和是把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是.這個(gè)規(guī)定既符合人的直覺(jué)，也與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則一致，因此它是合理的.首先，字母，表示任意角，它們是帶有符號(hào)的，當(dāng)，的符號(hào)為正時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針；符號(hào)為負(fù)時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針.為了方便，我們用，表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)量.角“”是兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，可以分如下幾種情況：（1），；（2），；（3），；（4），.下面我們根據(jù)任意角的概念做一個(gè)分析：對(duì)于（1），角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為.對(duì)于（2），若，則角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為；若，則角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為.對(duì)于（3），若，則角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為；若，則角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為.對(duì)于（4），角“”的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，旋轉(zhuǎn)量為.于是有：同號(hào)兩角相加，取相同的方向，并把“絕對(duì)值”相加；“絕對(duì)值”不相等的異號(hào)兩角相加，取“絕對(duì)值”較大的角的方向，并用較大的“絕對(duì)值”減去較小的“絕對(duì)值”.顯然，旋轉(zhuǎn)量相同，旋轉(zhuǎn)方向相反的兩個(gè)角相加得零角，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為相反角，角的相反角記為.一個(gè)角與零角相加仍得這個(gè)角.綜上可知，兩角和的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算完全一致；同時(shí)，像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有，即“減去一個(gè)角等于加上這個(gè)角的相反角”.這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為加法.從幾何角度看，就是一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角后再旋轉(zhuǎn)任意角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是.5.象限角引入象限角概念，使角放在一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行討論，并進(jìn)而可以利用任意角、直角坐標(biāo)系刻畫(huà)周期性變化現(xiàn)象.在學(xué)習(xí)象限角時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系——角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合.在這個(gè)統(tǒng)一前提下，才能對(duì)象限角進(jìn)行定義.終邊落在坐標(biāo)軸上是一種“邊界”狀態(tài)，因此規(guī)定它不屬于任何一個(gè)象限更方便.教科書(shū)169頁(yè)邊空中提出的問(wèn)題，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處，是為了提醒學(xué)生，在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡(jiǎn)化，由此還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象得到有效表示.6.終邊相同的角這是研究具有特殊關(guān)系的象限角，可以看成是在定義象限角概念之后研究它的性質(zhì).有了終邊相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函數(shù)的公式一.一般而言，概念明確了研究對(duì)象的內(nèi)涵或組成要素，性質(zhì)研究的主題之一是內(nèi)涵或要素之間的關(guān)系.從概念出發(fā)研究性質(zhì)是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本之道.對(duì)于教科書(shū)170頁(yè)的“探究”，我們知道，象限角的始邊相同，以射線為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征.這一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)要研究這種聯(lián)系在數(shù)、形上如何表達(dá)，特別是要追求精確的量化表示，從定性到定量是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略.發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的方法：借助圖象，觀察幾個(gè)與終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，在“旋轉(zhuǎn)整數(shù)周”的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)共同特征：終邊相同的角相差的整數(shù)倍，并得出表達(dá)式；再將推廣到一般角.這里用到數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法.教學(xué)時(shí)，可以利用信息技術(shù)，在直角坐標(biāo)系畫(huà)出任意角，并測(cè)出角的大小，再觀察角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)周后，其大小與原角之間的關(guān)系，從而將數(shù)、形聯(lián)系起來(lái)，給出幾何意義的代數(shù)解釋.這里，從幾何角度看，“終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)周回到原來(lái)的位置”而形成“終邊相同的角”，用數(shù)量關(guān)系表示，就是“終邊相同的角相差的整數(shù)倍”，用符號(hào)形式表示就是“所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合”.教學(xué)中應(yīng)在教科書(shū)安排的“與終邊相同的角的表示”這個(gè)問(wèn)題上多用些時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考.應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：①；②是任意角；③終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)限多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍.7.例題例1實(shí)際上是利用終邊相同的角的表示，在～范圍內(nèi)找出與已知角終邊相同的角，并由此判定其為第幾象限角，事實(shí)上這是判定一個(gè)角為第幾象限角的一般方法.本例為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎(chǔ).可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)大致是的幾倍，然后再具體求解.例2是終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)，表示方式不唯一