19.2.3 證明舉例-證明平行與線段之間數(shù)量關(guān)系 同步練習(xí)

19.2.3證明舉例—證明平行與線段之間數(shù)量關(guān)系一、解答題1．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，，求證：．2．（2021·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求證：BC∥EF．3．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，是角平分線，在上截?。?）求證：；（2）若，求的度數(shù)．]4．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)、分別是、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．求證：．5．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求證：BC=DE；6．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，，，直線過(guò)點(diǎn)交于，交于點(diǎn)．求證：．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，是上的一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交于，又平分，求證：．8．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，使，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．9．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形中，，為，的上點(diǎn)且．求證：．10．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，已知是的中點(diǎn)，，求證：．11．（2020·四川·富順第三中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，已知是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．

19.2.3證明舉例—證明平行與線段之間數(shù)量關(guān)系（解析版）一、解答題1．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，，求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】在BC上取一點(diǎn)E使得，易證≌，可得，再根據(jù)三角形的外角可得，所以，可得，通過(guò)等量代換可得出.【詳解】解：如圖，在上找到點(diǎn)，使得，在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，，∴．∴．∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查利用截長(zhǎng)補(bǔ)短的輔助線結(jié)合全等解題；本題的解題關(guān)鍵是看到三條線段之間和或者差的關(guān)系，要利用截長(zhǎng)方法在較長(zhǎng)線段上截取與其中一條較短線段相等的線段，構(gòu)造全等三角形，或者利用補(bǔ)短的方法，將其中一條較短線段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形.2．（2021·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求證：BC∥EF．【答案】見(jiàn)解析【分析】由全等三角形的性質(zhì)判定，則對(duì)應(yīng)角，故證得結(jié)論．【詳解】解：證明：，，，．在與中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．3．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，是角平分線，在上截?。?）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）證明△ACD≌△FCD，得∠CDF=∠ADC=75°，AD=DF，再結(jié)合條件可求得∠BDF=30°=∠B可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可證得△ADE為等邊三角形，再結(jié)合條件可證明△EDF為等腰直角三角形，可求得∠CFE．【詳解】（1）∵，，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∴．∴．（2）∵，，∴為等邊三角形．∴．∴，．∵，∴為等腰直角三角形．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，充分利用條件找到可能全等的三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)、分別是、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可推出一組對(duì)應(yīng)角相等和一組邊相等，又因?yàn)镈B＝EC，即可證明△DBC≌△ECA，故即可證明．【詳解】∵是等邊三角形，∴，．∴．在與中，，∴≌．∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．5．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求證：BC=DE；【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件得出∠ACB=∠E，∠B=∠D，再利用AAS即可證明△ACB≌△CED，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】證明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠ACB=∠E，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠D，在△ACB和△ECD中，∴△ACB≌△CED(AAS).∴BC=DE.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是證明的關(guān)鍵.6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，，，，直線過(guò)點(diǎn)交于，交于點(diǎn)．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】在線段上取，連接，易證≌，可得，因?yàn)榈茫螪+∠C=180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可證≌，可得BC=BF，再進(jìn)行等量代換即可得出答案.【詳解】解：在線段上取，連接，在與中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形證明中輔助線其中一種截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在遇到兩條線段和等于第三條線段的時(shí)候可用截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形，即在較長(zhǎng)的線段上截取某條較短線段長(zhǎng)度，或者延長(zhǎng)一條較短線段長(zhǎng)度使之等于另一條線段長(zhǎng)度.7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，是上的一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交于，又平分，求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，進(jìn)而可證≌，可得，易證≌，可得，即，所以.【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，∵，，，∴．∵在和中，，∴≌（ASA）．∴．∵在和中，，∴≌（ASA）．∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形證明中與等腰三角形三線合一相關(guān)的輔助線，如果一個(gè)題目中一條線段既是高線又是角平分線，那么我們可以將這個(gè)高線和角平分線所在的三角形補(bǔ)全，即可證得等腰三角形，就可以利用這些條件構(gòu)造全等.8．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，使，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)得出，再根據(jù)，故，證明≌即可證明.【詳解】∵，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余以及三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余以及三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形中，，為，的上點(diǎn)且．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則有，；進(jìn)一步說(shuō)明，易證≌，得到，即可完成證明.【詳解】證明：如圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∴，．∵，∴．∴．在和中，∴≌（SAS）∴．即∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記并靈活應(yīng)用它們的性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)作輔助線、構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.10．（2019·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，已知是的中點(diǎn)，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)FD到M使MD=DF，連接BM，EM.構(gòu)造出兩三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分線，可得EM=EF，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可證明.【詳解】證明：延長(zhǎng)FD到M使MD=DF，連接BM，EM.∵是的中點(diǎn)，∴．在與中，，∴≌（SAS）∴．在中，．又∵，，∴．∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形和三角形三邊關(guān)系；做輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.11．（2020·四川·富順第三中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，已知是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得，連接，結(jié)合D是BC的中點(diǎn)，易證△ADC和