14.1 勾股定理 同步練習(xí)

第14章勾股定理14.1勾股定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1勾股定理1.(2023廣東廣州越秀十六中期中)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是()A.5B.7C.25D.25或72.現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40cm和50cm，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，則所需要最短的木棒長(zhǎng)是()A.50cmB.40cmC.30cmD.以上都不對(duì)3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c為Rt△ABC的三邊長(zhǎng)，若a+b=10，c=8，則Rt△ABC的面積為()A.9B.18C.24D.364.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的高，BD=4，CD=2，則AD的長(zhǎng)度是()A.2.5B.3C.3.5D.45.(2023廣東佛山南海期中)如圖，三個(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形A的面積為()A.9B.16C.25D.56.(2023河南洛陽(yáng)伊川期末)已知a、b為直角三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足(a-3)2+|b-4|=0，則第三邊長(zhǎng)為.

7.(2022廣東河源和平期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a∶b=3∶4，則a=，b=.

8.(2022陜西西安月考)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)-1的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)-4的點(diǎn)重合，AB=1，以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為.

9.如圖，在△OAB中，OA=OB=5.以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，連結(jié)OF并延長(zhǎng)交AB于C，10.(2023遼寧沈陽(yáng)虹橋中學(xué)期中)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=8，S△ABE=40.求BC的長(zhǎng)度.知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定——勾股定理的逆定理11.(2023山東煙臺(tái)萊陽(yáng)期末)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c且a2-b2=c2，則下列說(shuō)法正確的是()A.∠A是直角B.∠B是直角C.∠C是直角D.∠A是銳角12.(2023福建三明大田期中)下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A.4，5，6B.1，2，3C.1.5，2，2.5D.9，40，4113.(2022江蘇鹽城東臺(tái)期中)如圖，在4×7的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則三角形ABC的外角∠ACD的度數(shù)等于()A.130°B.135°C.140°D.145°14.△ABC的三邊長(zhǎng)之比為3∶4∶5，且最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為10cm，則△ABC的面積為cm2.

15.王師傅在操場(chǎng)上安裝幾副單杠，要求單杠與地面平行，杠與兩撐腳垂直，如圖所示，撐腳AB，DC的長(zhǎng)為3m，兩撐腳間的距離BC為4m，則AC=m就符合要求.

16.如圖，以△ABC的三邊為直徑分別向三角形外側(cè)作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積和等于另一個(gè)半圓的面積，則此三角形的形狀為.

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CF=14CD.求證：∠知識(shí)點(diǎn)3反證法18.(2022吉林長(zhǎng)春寬城期末)用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45°”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中()A.有一個(gè)內(nèi)角小于45°B.每一個(gè)內(nèi)角都小于45°C.有一個(gè)內(nèi)角大于或等于45°D.每一個(gè)內(nèi)角都大于或等于45°19.(2022山西臨汾襄汾期末)用反證法證明：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)(填空).已知：如圖，l1∥l2，l1，l2都被l3所截.求證：∠1+∠2=180°.證明：假設(shè)∠1+∠2180°，

∵l1∥l2，∴∠1∠3.

∵∠1+∠2180°，

∴∠3+∠2≠180°，這與矛盾，

∴假設(shè)∠1+∠2180°不成立，即∠1+∠2=180°.

能力提升全練20.(2021山東濱州中考)在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，則點(diǎn)C到直線AB的距離為()A.3B.4C.5D.2.421.(2022四川成都中考)如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交邊AB于點(diǎn)E.若AC=5，BE=4，∠B=45°，則AB的長(zhǎng)為.22.(2022湖北咸寧中考)勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》中：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五.”觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是勾為奇數(shù)，弦與股相差1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；……，若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m為正整數(shù))，則其弦是.(結(jié)果用含m的式子表示)

23.(2021四川攀枝花中考)下圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c.請(qǐng)你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2=c2.素養(yǎng)探究全練24.【閱讀理解】我國(guó)古代運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖1，用四個(gè)全等直角三角形拼成正方形，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形.其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2，也可表示為c2+4×12ab，即(a+b)2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖2所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C=∠D=90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理.【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c.求證：a2c2+a2b2=c4-b4.圖1圖2

第14章勾股定理14.1勾股定理答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D當(dāng)b為直角邊長(zhǎng)時(shí)，c2=a2+b2=25，當(dāng)b為斜邊長(zhǎng)時(shí)，c2=b2-a2=7，故選D.2.C解答此題時(shí)，易因在沒(méi)有明確斜邊、直角邊的情況下直接認(rèn)為50cm是斜邊長(zhǎng)致錯(cuò).分兩種情況：①當(dāng)40cm和50cm為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)時(shí)，所需要的木棒長(zhǎng)=502②當(dāng)50cm為直角三角形的斜邊長(zhǎng)時(shí)，所需要的木棒長(zhǎng)=50∵302=900，900<4100，∴900=30<∴所需要最短的木棒長(zhǎng)為30cm，故選C.3.A∵a+b=10，∴(a+b)2=100，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2=64，∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=100-64=36，∴ab=18，∴Rt△ABC的面積為12ab=9，4.B設(shè)AD=a，∵AB=AC，CD=2，∴AB=AC=AD+DC=a+2，∵BD是AC邊上的高，∴在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即(a+2)2=a2+42，解得a=3，故選B.5.C如圖，在Rt△DEF中，由勾股定理得，DE2=DF2+EF2，即DE2=9+16=25，∴正方形A的面積為25，故選C.6.答案5或7解析∵(a-3)2+|b-4|=0，∴a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，當(dāng)a，b為直角邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為32+當(dāng)b為斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為42綜上，第三邊長(zhǎng)為5或7.7.答案6；8解析∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2，∵a∶b=3∶4，c=10，∴a2+43a又∵a>0，∴a=6，∴b=8.8.答案-1-10解析由題意可得，AD=|-4-(-1)|=3，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴CD=AB=1，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=CD∵以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，∴AE=AC=10，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為-1-10.9.解析由作圖痕跡知OC平分∠AOB，∵OA=OB，∴△OAB為等腰三角形，∴OC⊥AB，AC=BC.在Rt△AOC中，由勾股定理得OA2=OC2+AC2，∴AC=OA∴AB=2AC=8.10.解析∵在△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=8，S△ABE=40，∴AB·DE2=40，即AB×82=40，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∴BC=AB11.A由a2-b2=c2，可得c2+b2=a2，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，故選A.12.DA.42+52=41≠62=36，故不是勾股數(shù)；B.12+22=5≠32=9，故不是勾股數(shù)；C.存在小數(shù)，故不是勾股數(shù)；D.92+402=1681=412，且9，40，41都是整數(shù)，故是勾股數(shù).故選D.13.B∵AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB=BC，AC2=AB2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=45°+90°=135°.故選B.14.答案24解析∵△ABC的三邊長(zhǎng)之比為3∶4∶5，且最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為10cm，∴另兩邊的長(zhǎng)分別為10×35=6(cm)，10×45∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積為12×6×8=24(cm215.答案5解析由題意可知AB為3m，BC=4m，∠ABC=90°，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52，所以AC=5m.16.答案直角三角形解析由題意得S1+S2=S3，即12π12BC2+∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC為直角三角形.17.證明設(shè)AB=a，則BC=CD=DA=AB=a，∵E是BC的中點(diǎn)，CF=14CD∴BE=EC=12a,CF=在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=54a2同理可得EF2=516a2∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF為直角三角形，∠AEF=90°.18.D用反證法證明“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于45°，即每一個(gè)內(nèi)角都大于或等于45°.故選D.19.證明假設(shè)∠1+∠2≠180°，∵l1∥l2，∴∠1=∠3.∵∠1+∠2≠180°，∴∠3+∠2≠180°，這與平角為180°矛盾，∴假設(shè)∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2=180°.故答案為≠；=；≠；平角為180°；≠.能力提升全練20.D如圖所示，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2∵AC\5BC2∴3×42=5CD故選D.21.答案7解析連結(jié)EC，如圖.由作圖可知直線MN是線段BC的垂直平分線，∴CE=BE=4，∴∠ECB=∠B=45°，∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中，AE=AC2∴AB=AE+BE=3+4=7.22.答案m2+1解析∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴其弦是a+2=m2-1+2=m2+1.23.證明由題圖可知S大正方形=4×12ab+(b