22人教版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊(cè)-第二章-直線和圓的方程章末總結(jié)

第二章直線和圓的方程章末總結(jié)體系構(gòu)建題型整合題型1直線的傾斜角與斜率例1已知直線l過(guò)P(?2,?1)，且與以A(?4,2)，B(1,3)為端點(diǎn)的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為.答案：(?∞,?3解析：根據(jù)題中的條件可畫出圖形，如圖所示，由已知得直線PA的斜率kPA=?32，直線PB的斜率kPB=43，由圖可知，當(dāng)直線l由PB變化到與y軸平行的位置時(shí)，它的傾斜角逐漸增大到90°，故斜率的取值范圍是[43,+∞)；當(dāng)直線綜上可知，直線l的斜率的取值范圍是(?∞,?3方法歸納求直線的傾斜角與斜率的注意點(diǎn)：（1）求直線的傾斜角，關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何的知識(shí)判斷傾斜角的取值范圍.（2）當(dāng)直線的傾斜角α∈[0,π2)時(shí)，隨著α的增大，直線的斜率k為非負(fù)值且逐漸變大；當(dāng)直線的傾斜角α∈(π2遷移應(yīng)用1.（2021四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,?1)作直線l，若直線l與以A(1,?2)，B(2,1)為端點(diǎn)的線段AB相交，則l的傾斜角的取值范圍是()A.[0,π4]C.[3?π4答案：D解析：設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為α，由題意知kPA=?1?(?2)由圖可知，?1≤k≤1，所以0≤α≤π4或題型2直線的方程及其應(yīng)用例2（2021重慶十八中高二期中）已知點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B關(guān)于直線l：x+y?1=0對(duì)稱.（1）若直線l1過(guò)點(diǎn)B，且使得點(diǎn)A到直線l1的距離最大，求直線（2）若直線l2過(guò)點(diǎn)A，且與直線l交于點(diǎn)C，△ABC的面積為2，求直線l答案：（1）設(shè)點(diǎn)B(m,n)，則?1+m2+n所以點(diǎn)A(?1,0)關(guān)于直線l：x+y?1=0對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).若直線l1過(guò)點(diǎn)B，且使得點(diǎn)A到直線l1的距離最大，則直線l1與過(guò)點(diǎn)A所以直線l1的斜率k=?1kAB=?1，故直線l（2）|AB|=(2?0)2所以△ABC的AB邊上的高?=2×222=2，又點(diǎn)C在直線l所以點(diǎn)C到直線AB的距離為2.易知直線AB的方程為y=x+1，設(shè)C(a,b)，則|a?b+1|2=2，即b=a?1或b=a+3，又b=1?a，解得a=1,則直線l2的方程為y=0或x=?1方法歸納求直線方程的兩種方法：（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時(shí)，應(yīng)注意各種形式的方程的適用范圍，必要時(shí)要分類討論.（2）待定系數(shù)法：設(shè)出含有參數(shù)的直線方程，由已知條件求出參數(shù)的值，即可得到所求直線方程.遷移應(yīng)用2.（2021安徽宿州十三所重點(diǎn)中學(xué)高二期中）已知直線l：2x+3y+6=0.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,?1)且與直線l平行的直線的方程；（2）求與直線l垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3的直線方程.答案：（1）由題意可設(shè)所求直線的方程為2x+3y+λ=0(λ≠6).把點(diǎn)P(2,?1)代入得4?3+λ=0，即λ=?1，故所求直線的方程為2x+3y?1=0.（2）由題意可設(shè)所求直線的方程為3x?2y+m=0.令y=0，則x=?m令x=0，則y=m由題意知，12解得m=±6，故所求直線的方程為3x?2y?6=0或3x?2y+6=0.題型3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例3已知M(m,n)為圓C：x2（1）求n?3m+2（2）求m2答案：（1）由題意知圓C的圓心為C(2,7)，半徑r=22.記點(diǎn)Q(?2,3)∵n?3m+2表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y?3=k(x+2)，即∵直線MQ與圓C有公共點(diǎn)，∴|2k?7+2k+3|解得2?3∴n?3m+2的最大值為2+3（2）設(shè)μ=(m?0)則該式等價(jià)于點(diǎn)M(m,n)與原點(diǎn)的距離的平方，∴μμmin∴m2+n2方法歸納（1）求x?ay?b型的最大值和最小值可轉(zhuǎn)化為求過(guò)點(diǎn)(x,y)和(a,b)的直線斜率的最大值和最小值；（2）求(x?a)2+(y?b)遷移應(yīng)用3.（2021四川宜賓敘州二中高二月考）已知點(diǎn)(x,y)滿足x2+yA.[?2,2C.[1,2]D.答案：A解析：設(shè)x+y=b，則圓心(0,0)到直線x+y=b的距離小于或等于半徑，即|b|1解得?2故?2題型4直線與圓的綜合問(wèn)題例4（2021浙江湖州高二期中）如圖，已知圓O:x2+y2=1，點(diǎn)P(t,4)為直線y=4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（1）已知t=1，求切線方程；（2）直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)t＞1時(shí)，兩條切線分別交y軸于點(diǎn)A，B，連接OM，ON，記四邊形PMON的面積為S1，三角形PAB的面積為S2，求答案：（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1，符合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?4=k(x?1)，即kx?y?k+4=0.由d=r得|4?k|k2+1=1，解得綜上，切線方程為x=1或y=15（2）由題意得M，N在以點(diǎn)P為圓心，切線長(zhǎng)PM為半徑的圓上，則圓P：(x?t)聯(lián)立得(x?t)2+(y?4)2=t所以直線MN過(guò)定點(diǎn)(0,1（3）連接PO，易知S1設(shè)lPM:y?4=k則A(0,4?k1t)，B(0,4?k2過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線方程記為y?4=k(x?t)，即kx?y?kt+4=0，由d=r得|4?kt|k2+1=1，整理得(t所以k1+k則|k所以S2=t令m=t2?1當(dāng)且僅當(dāng)m=4，即t=5所以(S方法歸納解決平面幾何中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決；二是將曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用配方法、判別式法、函數(shù)單調(diào)性法以及基本不等式法求解.遷移應(yīng)用4.已知圓O:x2+（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB=π2，求（2）若k=12，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，試問(wèn)：直線答案：（1）根據(jù)題意，圓O的圓心為O(0,0)，半徑r=2若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB=π2，則點(diǎn)O到l的距離d=22r=1（2）由題意可知O、P、C、D四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)P(t,12t?2)，則以O(shè)P即x2+y2?tx?(12t?2)y=0，又C、D在圓O：x2令x+y2=0,y+1=0,可得x=1題型5直線與圓的方程的應(yīng)用例5（2021江蘇南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二檢測(cè)）如圖，某海面上有O、A、B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向且距O島402千米處，B島在O島的正東方向且距O島20千米處.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.圓C經(jīng)過(guò)（1）求圓C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在O島的南偏西30°方向且距O島40千米的D處，正沿著北偏東45答案：（1）由題意得A(40,40)、B(20,0)，設(shè)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓C的方程為x2則F=0,40解得D=?20，E=?60，F(xiàn)=0，所以圓C的方程為x2（2）由題意得D(?20,?203)，且該船的航線所在的直線故該船的航線為直線l：x?y+20?203由（1）知圓心為C(10,30)，半徑r=1010因?yàn)閳A心C到直線l的距離d=|10?30+20?20方法歸納直線與圓的方程的應(yīng)用，一般先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把直線和圓看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，再用直線和圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程表示直線和圓，通過(guò)研究方程，解決實(shí)際問(wèn)題.遷移應(yīng)用5.樹林的邊界是直線l（如圖CD所在的直線），一只兔子在河邊喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處，|AB|=|BC|=a（a為正常數(shù)），若兔子沿AD方向以速度2μ向樹林逃跑，同時(shí)狼沿BM(M∈AD)方向以速度μ進(jìn)行追擊（μ為正常數(shù)），如果狼到達(dá)M處的時(shí)間不多于兔子到達(dá)M處的時(shí)間，那么狼就會(huì)吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的點(diǎn)）的區(qū)域面積S(a)；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范圍.答案：（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,2a)，B(0,a)，設(shè)M(x,y)，由|BM|μ≤|AM|∴M在以(0,2a3)∴S(a)=4（2）設(shè)lAD由兔子要想不被狼吃掉得|2a?2a解得k∈(?3∴0<∠ADC<π3，高考鏈接1.（2020課標(biāo)Ⅰ文，6，5分）已知圓x2A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根據(jù)題意，將圓的方程化為(x?3)2+y2=9，所以圓心為C(3,0)，半徑為3，設(shè)P(1,2)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)2.（2020北京，5，4分）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.4B.5C.6D.7答案：A解析：設(shè)圓心為C(x,y)，則(x?3)2+(y?4)2=1，化簡(jiǎn)得(x?3)2+(y?4)2=1，所以圓心C的軌跡是以3.（2020課標(biāo)Ⅱ理，5，5分）若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x?y?3=0的距離為()A.55B.255C.3答案：B解析：由題意可知該圓的圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)，則圓的半徑為a，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)由題意可得(2?a)整理得a2解得a=1或a=5，所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5)，則圓心(1,1)到直線2x?y?3=0的距離d1=|2×1?1?3|5=所以圓心到直線2x?y?3=0的距離為254.（2020天津，12，5分）已知直線x?3y+8=0和圓x2+y2=r2(r＞0)相交于答案：5解析：圓心(0,0)到直線x?3y+8=0的距離由|AB|=2r2?d25.（2018江蘇，12，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若AB?CD=0，則點(diǎn)A答案：3解析：設(shè)A(a,2a)(a＞0)，則由圓心C為AB的中點(diǎn)得C(a+5易得圓C：(x?5)(x?a)+y(y?2a)=0，與y=2x聯(lián)立解得點(diǎn)D