專題1.3 不等關(guān)系與不等式性質(zhì)（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題1.3不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 2【題型2比較數(shù)（式）的大小】 3【題型3證明不等式】 3【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】 4【題型5不等式的綜合問題】 5【題型6糖水不等式】 61、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)等式性質(zhì)

(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小

(3)理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用2022年Ⅱ卷：第12題，5分高考對(duì)不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解；單獨(dú)考查的題目雖然不多，但不等式的相關(guān)知識(shí)往往可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，是進(jìn)行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.【知識(shí)點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較或或【方法技巧與總結(jié)】1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：a>b>0>c>d，則下列不等式一定正確的是（

）A．a(chǎn)+d>b+c B．a(chǎn)d>bc C．a(chǎn)+c>b+d D．a(chǎn)c>bd【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）“x<0<y”是“x?y2>xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·上海楊浦·一模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)3>【變式1-3】（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（

）A．若a<b，則aB．若a<b，則2024C．若ax2024D．若a<b，則a【題型2比較數(shù)（式）的大小】【例2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x<y，設(shè)a=xex+y，b=yey+x，c=yex+x（其中e為自然對(duì)數(shù)：eA．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a【變式2-1】（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知log5a>logA．a(chǎn)<b C．5a?b>1 【變式2-2】（2023·北京東城·一模）已知x<?1，那么在下列不等式中，不成立的是A．x2?1>0 B．x+1x<?2 【變式2-3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若c>b>a>0，則（

）A．a(chǎn)bbcC．a(chǎn)?ca>b?【題型3證明不等式】【例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a,b為正實(shí)數(shù)．求證：a2【變式3-1】（22-23高一上·全國·課后作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知a>b，e>f(2)已知a>b>0,c<d<0，求證：3a【變式3-2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）證明命題：“若在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長，則c1+c【變式3-3】（22-23高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）若a>b>0，c<d<0,|b|>|c|（1）求證：b+c>0；（2）求證：b+c(a?c)（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足b+c(a?c)2<【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】【例4】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知a?b∈0,1,a+b∈2,4，則4a?2bA．1,5 B．2,7 C．1,6 D．0,9【變式4-1】（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知?1≤x+y≤1，1≤x?y≤3，則3x?2y的取值范圍是（

）A．2≤3x?2y≤8 B．3≤3x?2y≤8 C．2≤3x?2y≤7 D．5≤3x?2y≤10【變式4-2】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知a<b<c且a+2b+4c=0，則ba的取值范圍是（

）A．?∞,?16 B．?16【變式4-3】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2+bx+c，0<x1A．?2,?1 B．?2,1 C．?1,1 D．?1,2【題型5不等式的綜合問題】【例5】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）解決下列問題：(1)已知m,n∈R，設(shè)a=m2+1n2+4(2)已知a>b>0，c<d<0，e>0，求證：ea?c【變式5-1】（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）給定無理數(shù)θ∈(0,1)．若正整數(shù)a,b,c,d滿足ab(1)試比較三數(shù)a+cb+d，ab，(2)若bc?ad＝①θ?ab≥15【變式5-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）（1）當(dāng)p，q都為正數(shù)且p+q=1時(shí)，試比較代數(shù)式px+qy2與p（2）已知1≤x?y≤2,3≤2x+y≤4，求4x?y的取值范圍.【變式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）設(shè)t是不小于1的實(shí)數(shù).若對(duì)任意a,b∈?1,t，總存在c,d∈?1,t，使得a+cb+d(1)分別判斷t>2和1≤t<3(2)先證明:若u,v≥12，且u+v≥52，則uv≥1;并由此證明當(dāng)32(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t【題型6糖水不等式】【例6】（22-23高一上·貴州六盤水·期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加n克糖（n>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A．b+na+n>bC．b+na+n≥b【變式6-1】（23-24高一上·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知bg糖水中含有ag糖（b>a>0），若再添加A．a(chǎn)b<a+mC．a(chǎn)+2mb+m<a+m【變式6-2】（22-23高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）（1）已知b克糖水中含有a克糖b>a>0，再添加m（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：A種糖每千克p1元，B種糖每千克p2元（兩種糖價(jià)格不相等）.東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請(qǐng)問兩人買到糖的平均價(jià)格分別是多少？誰買的糖的平均價(jià)格比較高？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格=物品的總價(jià)錢【變式6-3】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知bg糖水中有ag糖（b>a>0），往糖水中加入mg(1)請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式.(2)利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長，則c1+c一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知x>y，則下列不等式正確的是（

）A．1?x<1?y B．x2>y2 C．2．（2024·北京豐臺(tái)·二模）若a,b∈R，且a>b，則（

）A．1a2+1C．a(chǎn)2>ab>b3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知1<a<3,3<b<6，則b2a的取值范圍為（

A．32,1 B．2,6 C．1,6 4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c∈R，則下列選項(xiàng)中是“a<b”的一個(gè)充分不必要條件的是（

）A．ca>cC．a(chǎn)3<b5．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（

）A．若a<b，則ac<bcB．若a<b，則a?c>b?cC．若ac>bD．若a>b，則26．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b．設(shè)甲：1a>1b，乙：A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件7．（2023·廣東·二模）若a=3+1A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a8．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知?1<a<5,?3<b<1，則以下錯(cuò)誤的是（

）A．?15<ab<5 B．?4<a+b<6C．?2<a?b<8 D．?二、多選題9．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若a<b<0，則aB．若a<b<0，則aC．若0<a<b<c，則cD．若0<a<b，則2a+10．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足1≤ab≤4,4≤ab≤9A．2≤a≤6 B．1≤b≤3 C．11．（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．a(chǎn)c>bcC．1a?b>1三、填空題12．（2023·北京房山·一模）能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c，則ac<bc”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為.13．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x?y+z=5，則M=4x+3y+5z的取值范圍是.14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設(shè)0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，則maxb?a,c?b,1?c的最小值為四、解答題15．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知-3<a<2，-4<b<-3，試求2a+3b與a-b的取值范圍.16．（23-24高一·全國·專題練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a17．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為三角形的三邊．(1)求證：a2(2)若c≥b≥a，求證：3a18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；(2)在銳角△ABC中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：AB+C19．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）港珠澳大