重難點(diǎn)28 圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)28圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓錐曲線的切線方程】 2【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問題】 3【題型3切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題】 3【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題】 5【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題】 6【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問題】 71、圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，切線與切點(diǎn)弦問題的考查頻率變高，考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，主要考查切線方程與切點(diǎn)弦方程，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，主要考查切點(diǎn)弦問題和以切線為載體的面積、最值、定值等問題，難度較大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦】1．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對(duì)于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過該點(diǎn)作切線得到的切線方程+=1.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為+=1.②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時(shí)，這條直線為過M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論(1)過橢圓+=1上一點(diǎn)Px0,y0(2)過橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過雙曲線?=1上一點(diǎn)Px0,y0(4)過雙曲線?=1外一點(diǎn)Px0,y0【題型1求圓錐曲線的切線方程】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓x24+3y24=1上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【變式1-1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若直線l與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線x24?y2【變式1-2】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓M:y2a2+(1)求M的離心率；(2)若直線l:y=x+m與M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求l的一般式方程.【變式1-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a,a>0交與(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問題】【例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）過M2,?2p引拋物線x2=2pyp>0的切線，切點(diǎn)分別為A，B.若AB的斜率等于2，則A．14 B．12 C．1【變式2-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，且滿足A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線x2?y22=1【變式2-3】（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Tm,n在橢圓C上（點(diǎn)T不在坐標(biāo)軸上），證明：直線mx2+ny=1(3)設(shè)點(diǎn)P在直線x=?1上（點(diǎn)P在橢圓C外），過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PAB和△OAB的面積之和為1，求直線AB的方程.【題型3切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題】【例3】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過l上一點(diǎn)P作E的兩條切線PM,PN，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式3-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)Q為直線x+y?2=0上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點(diǎn)分別為D、E），試證明動(dòng)直線DE恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式3-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)與橢圓C':x24+(1)求拋物線C的方程．(2)證明直線MN過定點(diǎn)，并且求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【變式3-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知橢圓E：x2a2+y(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一點(diǎn)Qx0,y0①證明：直線AB過定點(diǎn)；②求△ABM面積的最大值.【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題】【例4】（2024·江西新余·一模）過點(diǎn)P(2，－1)作拋物線x2=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PEF與△OAB的面積之比為（A．32 B．33 C．12 【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）拋物線Γ:x2=2y上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線AC，BD交于點(diǎn)P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．過A,B分別作ΓA．32 B．23 C．33【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C1：y2a2+x2b2=1a>b>0與拋物線C2(1)求橢圓C1與拋物線C(2)橢圓C1上一點(diǎn)P在x軸下方，過點(diǎn)P作拋物線C2的切線，切點(diǎn)分別為A,B，求【變式4-3】（2024·貴州黔東南·二模）已知拋物線E:y2=2x的焦點(diǎn)為F，A，B，C(1)若FA+FB+(2)過A，B兩點(diǎn)分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)D，過A，B兩點(diǎn)分別作l1，l2的垂線l3，l（i）若AB=4，求△ABD（ii）若直線AB過點(diǎn)1,0，求點(diǎn)M的軌跡方程.【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題】【例5】（2024·河北·三模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)圓O：x2+y2=a2+b2，過圓O上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為【變式5-1】（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0）過點(diǎn)Q3,2，且離心率為2，F(xiàn)2，F(xiàn)1為雙曲線E的上、下焦點(diǎn)，雙曲線E在點(diǎn)Q處的切線(1)求△F(2)點(diǎn)P為圓F2上一動(dòng)點(diǎn)，過P能作雙曲線E的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，記直線MF1和NF1的斜率分別為k【變式5-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:x2=2py(p>1)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P1,?1作拋物線(1)求拋物線E的方程；(2)過點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線l1,l2，直線l1交拋物線E于A,B兩點(diǎn)，直線l2交拋物線E于C,D兩點(diǎn)，連接AD,BC,AC,BD，設(shè)【變式5-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=r2有以下性質(zhì)：①過圓C上一點(diǎn)Mx0,y0的圓的切線方程是x0x+y0y=r2．②若Mx0,y0為圓C外一點(diǎn)，過M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓C′:x(2)過橢圓C′:x2a2+(3)若過橢圓C′:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn)【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問題】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓C：x2+2y2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點(diǎn)P，設(shè)A．2 B．3 C．5 D．6【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交Γ于點(diǎn)A,B，分別在點(diǎn)A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)PA．0,1 B．0,12 C．0,1【變式6-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知過點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l1，在B點(diǎn)處的切線為l2，直線l1與直線l2交于點(diǎn)M(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求|AB||MN|【變式6-3】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM與圓C1：x+12+y2=49和圓C2(1)求Γ的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則曲線上一點(diǎn)x0,y0處的切線方程為：Ax0x+Bx0y+y0x+Cy（?。┳C明：A1（ⅱ）點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′1，直線A′1A2交x軸于點(diǎn)N，直線PC2交曲線Γ于G，H兩點(diǎn).記△G一、單選題1．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）拋物線y2=9x在點(diǎn)1,3處的切線的斜率為（A．－1 B．?32 C．32．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知直線l與橢圓Γ，點(diǎn)F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點(diǎn)，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要4．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=05．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P3,?2作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若QFA．75 B．1252 C．752 6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）過橢圓C：x24+y23=1上的點(diǎn)Ax1,y1，A．?32 B．?94 7．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，過直線l：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過點(diǎn)0,?2 D．恒過點(diǎn)?1,?28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線E:y2=x的焦點(diǎn)為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A與PA．1 B．2 C．3 D．1二、多選題9．（23-24高二上·山西呂梁·期中）已知雙曲線E過點(diǎn)?2,32且與雙曲線x24?y29=1共漸近線，直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是xB．若AB的中點(diǎn)為1,4，則直線l的方程為9x?16y+55=0C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,y1D．若點(diǎn)P在直線3x?4y+6=0上運(yùn)動(dòng)，則直線l恒過點(diǎn)3,610．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且AF=6，點(diǎn)M是拋物線上BA間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)N，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)A．拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,3B．過點(diǎn)N作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為±C．在△FMN中，若MN=tMF，t∈R，則tD．TF11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x22+y2=1,O為原點(diǎn)，過第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)Px0,y0作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為AA．k3?k4為定值C．x0?y0的最大值為2三、填空題12．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)P為圓O：x2+y2=5上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓x23+y22=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)O，P到直線14．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，定點(diǎn)T1,0，M為直線y=12x?1上一點(diǎn)，過M作拋物線C的兩條切線MA，MB，A，B是切點(diǎn)，則四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求雙曲線x2?y（2）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線x2?y22=1的兩條切線PA,PB16．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F(1)求p；(2)已知點(diǎn)P(?1,?2)，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求AB．17．（2024·安徽·二模）已知點(diǎn)P在橢圓C：x24+y22=1的外部，過點(diǎn)P(1)①若點(diǎn)A坐標(biāo)為x1,y1，求證：直線PA的方程為x1x4+y(2)若點(diǎn)P