重難點(diǎn)26 巧解圓錐曲線的離心率問題（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)26巧解圓錐曲線的離心率問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】 2【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】 4【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】 7【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】 10【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】 13【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】 16【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】 18【題型8坐標(biāo)法求離心率或其范圍】 211、巧解圓錐曲線的離心率問題從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線的離心率或其取值范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，主要以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.【知識點(diǎn)1圓錐曲線的離心率】1．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.2．求橢圓離心率或其取值范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.3．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.4．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.5．拋物線的離心率拋物線的離心率e=1.【知識點(diǎn)2離心率的范圍問題的求解方法】1．不等式法求離心率的范圍

(1)利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍：利用圓錐曲線的定義建立不等關(guān)系，結(jié)合離心率公式求解.

(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍：利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、雙曲線漸近線的斜率、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

(3)利用題目條件中的不等關(guān)系，建立不等式(不等式組)求解.

(4)利用基本不等式求離心率的范圍：把離心率的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等關(guān)系進(jìn)行求解.

2．函數(shù)法求離心率的范圍(1)根據(jù)題干條件，如圓錐曲線的定義、性質(zhì)、其他等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關(guān)系式；(2)結(jié)合圓錐曲線的離心率的范圍，來確定所得函數(shù)的定義域；(3)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域，進(jìn)而求解離心率的最值或取值范圍.3．坐標(biāo)法求離心率的范圍根據(jù)所給條件，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，結(jié)合相關(guān)知識，進(jìn)行求解即可.【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】【例1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為4,0,?4,0，點(diǎn)4,?6在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．3 B．3 C．2 D．2【解題思路】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c，結(jié)合雙曲線定義計算可得2a，即可得離心率.【解答過程】由題意，設(shè)F1?4，0、則F1F2=2c=8，則2a=PF1故選：C.【變式1-1】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為邊AD和BC的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（

）A．22 B．3?12 C．5【解題思路】設(shè)正方形的邊長為2，邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E,F，則2c=EF，2a=DE+DF，從而可求出離心率.【解答過程】設(shè)正方形的邊長為2，邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E,F，橢圓的長半軸長為a（a>0），半焦距為c（c>0），連接EF,DF，則2c=EF=2，2a=DE+DF=1+1所以離心率e=c故選：C.【變式1-2】（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2A．33 B．32 C．12【解題思路】根據(jù)△MF1F2的內(nèi)心和重心重合，判斷【解答過程】如圖所示，M為橢圓C：且△MF所以△MF又因為|MF所以a=2c，即e=c故選：C.【變式1-3】（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．2,+∞ B．1,2 C．2,+【解題思路】根據(jù)雙曲線定義和PF1=3PF【解答過程】因為PF1=3PF所以a≥c?a，所以離心率e=ca≤2故選：D．【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩點(diǎn)A．2,+∞ B．3,+∞ C．【解題思路】設(shè)點(diǎn)Ax,y，則可取C?3【解答過程】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為y=±b設(shè)點(diǎn)Ax,y，則可取C則x2a2解得b2>a2，即c2所以該雙曲線離心率的取值范圍是2,+故選：A.【變式2-1】（23-24高二下·山西運(yùn)城·期中）已知F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y26=1(a>0)A．33 B．32 C．63【解題思路】橢圓定義有AB+AF【解答過程】由橢圓的定義，可知AB+

所以當(dāng)AB最小時，AF由橢圓的性質(zhì)得，過橢圓焦點(diǎn)的弦中垂直于長軸的弦最短，當(dāng)直線AB垂直于x軸時，AB取得最小值2b2a由a>0解得a=3，此時C的離心率e=c故選：A.【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)M?2,3A．3 B．2 C．62 D．【解題思路】根據(jù)S△AMF=92、點(diǎn)M?2,3【解答過程】由題設(shè)知，AF=a+c，則S所以a+c=3，且c>a，易知0<a<3又因為點(diǎn)M?2,3在E上，所以4a2因為a2+b2=則a4a3解得a=1或a=1±7（舍去）．所以a=1,c=2故E的離心率為ca故選：B．【變式2-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知F1,F2是橢圓E:x2a2+y2A．0,2?1 B．0,2?1 C．【解題思路】利用向量關(guān)系結(jié)合橢圓的對稱性，找到當(dāng)A1,A分別位于E的左、右頂點(diǎn)時，【解答過程】如圖，延長AF1交橢圓于A1，根據(jù)橢圓的對稱性，得F當(dāng)A1,A分別位于E的左、右頂點(diǎn)時，又因為A,B不重合，所以a+ca?c>2解得e>3?2所以E的離心率的取值范圍為3?22故選：C．【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】【例3】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C的兩個焦點(diǎn)，PF1?PA．12 B．33 C．63【解題思路】設(shè)PF1=m，PF2【解答過程】如圖，設(shè)PF1=m，PF2=n，延長由題意知OQ∥PF1，O為F1又PF1?PF又由∠QPA=π4，則故有m+n=2am2+n2代入m2+n即a2+b2=2所以e2=2故選：C.【變式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.過F2作直線l與雙曲線CA．52,5 B．32,3【解題思路】由雙曲線的定義可得△F1AB的周長為4a+2【解答過程】由雙曲線的定義可得AF兩式相加可得AF則△F1AB的周長為A再由AB≥2b2a由e=c故選：A.【變式3-2】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且A．2 B．3 C．2 D．2【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合條件可得PM垂直平分NF2，從而可得OM//F1N，再結(jié)合△O【解答過程】如圖所示，不妨設(shè)P在第一象限，延長F1P與F2因為PF2⊥x軸，F(xiàn)2c,0解得y=±b2a，且P因為M在∠F2P則F2M⊥PM，故PM垂直平分NF2，所以PF2=PN=因為O,M分別為F1F2則OM為△F1FOM=由雙曲線的定義可得F1P?所以O(shè)M=又因為OM//F1N因為OF2=F2則∠MOF故△OF2M～△又因為NF則cb2a因為b2=c整理可得c2=3a2，則故選：B.【變式3-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直線l:y=12x+a與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)上方），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OBA．13 B．12 C．22【解題思路】首先得到A?a,0，由∠BDA>∠BAD得到?kBD≥kBA，即只要?kBD≥12，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由BD⊥OB【解答過程】橢圓C:x2a2+y2且直線l:y=12x+a與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A因為∠BDA>∠BAD，只要?kBD≥聯(lián)立x2得b2x2注意到x1=?a為方程（*）的一個根，故則y2所以點(diǎn)B?a3由于OB⊥BD，故kBD令?kBD≥即0<e≤22，所以離心率的取值范圍是0,22，則故選：C.【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】【例4】（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知F1、F2是雙曲線C:x2a2?y2A．53 B．54 C．23【解題思路】先根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求出PF2=b，在△POF2和△PO【解答過程】F2c,0，點(diǎn)F2到漸近線bx?ay=0的距離為bc因為PF12+P在△POF2中，由余弦定理得：在△POF1中，由余弦定理得：因為∠POF2+∠PO所以a2+c2?所以e=c故選：D.【變式4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）設(shè)A,B分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右頂點(diǎn)，A．35 B．37 C．1511【解題思路】由題意，根據(jù)余弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系可得tan∠MAB=5311=kMA，tan【解答過程】在△MAB中，由cos∠MAB=得sin∠MAB=1?cos由cos∠MBA=52所以tan∠MBA=設(shè)M(x0,又x0又kMA∴e=1?故選：D.【變式4-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)AA．175 B．135 C．855【解題思路】由題意畫出圖形，設(shè)F1B=6F1A=6m，則AB【解答過程】∵F1B=6F1A，∴設(shè)F1B=6F1所以AB=6m?m=5m，∵AF2⊥BF即5m2=6m?2a2+由AF2>BF2，則∴cos∠ABF2故選：D.【變式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．2 B．2 C．5 D．3【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出DF1，利用勾股定理求出OD，由銳角三角函數(shù)得出cos∠DOF1=ac，在△DOF2利用余弦定理可得出【解答過程】如下圖所示，雙曲線C的左焦點(diǎn)F1?c,0，漸近線l1

由點(diǎn)到直線的距離公式可得DF由勾股定理得OD=在Rt△DOF1中，∠OD在△DOF2中，則OD=a，D可得cos∠DO由余弦定理得cos∠DO整理得c2=4a所以雙曲線C的離心率為e=c故選：B．【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】【例5】（23-24高二上·安徽黃山·期末）已知點(diǎn)F1是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線l交橢圓于A、BA．14 B．34 C．12【解題思路】令橢圓右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)給定條件，判斷四邊形A【解答過程】令橢圓右焦點(diǎn)為F2，半焦距為c，連接AF2,BF2，因為M、N分別是AF

則OM//AF2,ON//BF2，而∠MON=90°，則有∠A即四邊形AF1BF2為平行四邊形，且是矩形，于是∠因此(|AF1|+|A即有4a2≤4c2+2a2，c2所以橢圓離心率的最小值為22故選：D.【變式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2，分別為雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0A．1,72 C．1,3 D．3,5【解題思路】由雙曲線定義MF22MF1【解答過程】F1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，則MF2?代入MF22當(dāng)且僅當(dāng)MF1=2a又點(diǎn)M是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以MF1≥c?a，即2a≥c?a所以雙曲線離心率e的取值范圍是1,3.故選：C．【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1A．1,2 B．1,3 C．1,3 D．2,4【解題思路】設(shè)PF2=m，則m≥c?a，根據(jù)雙曲線的定義PF1【解答過程】解：設(shè)PF2=m，則m≥c?a∴PF1=m+2a，PF1∴當(dāng)PF12PF2的最小值為8a時，PF1=4a，P故選：C．【變式5-3】（2024·河南·二模）從橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn)Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則直線AB稱作點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的極線，其方程為x0xa2+y0yb2

A．12 B．13 C．15【解題思路】根據(jù)定義寫出極線的方程，由距離公式列出一個方程，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓C1上找到e【解答過程】設(shè)Mx0,y0，橢圓C1方程：x2由極線的定義得直線l的方程為x0原點(diǎn)O到直線l的距離d=1x0對比①②式得出a12=所以e1當(dāng)且僅當(dāng)e22=1?e2故選：D.【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】【例6】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知橢圓C1：x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線C2：x2nA．e1e2C．0<e1e【解題思路】由題意可得m2?1=n【解答過程】由已知得m2?1=n由1e12+1當(dāng)e1=32，當(dāng)e1=23015，e故選：B.【變式6-1】（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出e2e1=a【解答過程】由橢圓x2a2雙曲線x2a2?y令k=ba，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過25則0<k2≤45則e2e1故選：B.【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)與雙曲線C2:xA．2+34 B．2+32 C．【解題思路】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點(diǎn)三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造1e【解答過程】設(shè)兩曲線的半焦距為c，由余弦定理得F1在橢圓中，F(xiàn)1得PF1?在雙曲線中，F(xiàn)1得PF1?PF則m2=n即1e所以e1當(dāng)且僅當(dāng)e2故選：B.【變式6-3】（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2A．8 B．6 C．4 D．2【解題思路】由于線段PF1的垂直平分線過F2，所以有F【解答過程】設(shè)橢圓對應(yīng)的參數(shù)為a1,b由于線段PF1的垂直平分線過F2根據(jù)雙曲線和橢圓的定義有PF兩式相減得到4c=2a1?a2所以2e1+當(dāng)且僅當(dāng)2a2c=c故選：B.【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】【例7】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．23,1 B．22,104【解題思路】設(shè)PF1=m,PF2=n，由已知及橢圓概念，可得mn=2b2【解答過程】因為PF1?PF2=0在Rt△F1PF即mn=2b2．則令mn=t，由PF1P由于函數(shù)y=t+1t在則2c2b即a2b2故離心率e=c故選：B．【變式7-1】（2024·河北邯鄲·二模）已知直線l：abx?(4a?1)y+m=0(a＞14)與雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線交于AA．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】當(dāng)∠AOB=π2時，e=2；當(dāng)∠OAB=π2再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即得解.【解答過程】解：當(dāng)∠AOB=π2時，雙曲線是等軸雙曲線時，e當(dāng)∠OAB=π2或∠OBA=π所以ab4a?1∴b2所以e2=c當(dāng)a=1∴e≤5所以雙曲線的離心率e的最大值為5．故選：D．【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知Q是橢圓M:x29+y2b2=1(0<b<3)上的動點(diǎn)，若動點(diǎn)QA．23,1 B．0,22 C．【解題思路】設(shè)Q3cosθ,bsinθ【解答過程】由題意可設(shè)：Q3則PQ=9?令t=cosθ∈?1,1注意到0<b<3，則9?b可知ft=9?當(dāng)69?b2<1，即0<b2<3則f6整理得b4?6b當(dāng)69?b2≥1，即3≤b2<9綜上所述：3≤b可得橢圓M的離心率e=c所以橢圓M的離心率的取值范圍是0,6故選：D.【變式7-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，BA．5 B．2 C．22 D．【解題思路】由題意可得F2c,0，由BPPF2=λλ≥1，得P【解答過程】由雙曲線C:x2a由BPPF2=λλ≥1設(shè)Px0,y0又Px0,y0即λλ+12?整理，得e2令t=1λ，0<t≤1，則因為函數(shù)y=17t2+2t+1對稱軸為t=?所以t=1時，17t2+2t+1所以emax故選：D.【題型8坐標(biāo)法求離心率或其范圍】【例8】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知A,F分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，直線y=kx與橢圓交于B,CA．23 B．12 C．154【解題思路】設(shè)B(x1,y1),C(?x1,?y1【解答過程】由題意得A(?a,0),F(?c,0)，設(shè)B(x1,所以xM+a=1即M(1又由C,F,M三點(diǎn)共線可知當(dāng)CF斜率不存在時，由對稱性可知BF2垂直于所以△AMF~△ABF2，所以即a?ca+c=13，整理得當(dāng)kFC所以?y1?所以e=故選：B.【變式8-1】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2?y2b2=1(b>0)，點(diǎn)P2,0,Q3,0A．(1,153) B．(1,303)【解題思路】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程，再與雙曲線方程聯(lián)立求解，建立不等式即可求得答案.【解答過程】設(shè)M(x,y)，由點(diǎn)P2,0,Q3,0，MQ整理得x2+y2?103即(x?1)[(b2+1)x+b2依題意，73?b2b2+1所以C的離心率的取值范圍是(1,15故選：A.【變式8-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P0,mm>b，線段PF1，A．12 B．22 C．32【解題思路】設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1【解答過程】設(shè)橢圓E：x2點(diǎn)P0,mm>b，且PB?則有(x0,由BC?PF1=0，所以k又橢圓E：x2a2所以2cx3a2+my所以b2a2=1所以橢圓E的離心率為22故選：B.【變式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，過點(diǎn)F1的直線l①B的坐標(biāo)為a,b；②BF1?BF2>2aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【解題思路】按題意利用雙曲線的定義或進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算逐個判斷即可【解答過程】對于①：由題意可知直線OB:y=b設(shè)Bx0,b即Ba,b對于②：設(shè)直線l與雙曲線的右支交于點(diǎn)M，由雙曲線的定義可得：MF在△MBF2中可得MB>所以MF1?對于③：設(shè)Ax1,y1x1因為AB=3F1A，則即Aa?3c4,b4整理得3c?a=17a，解得故選：C.一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)為F1,A．57 B．63 C．2?2【解題思路】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得△F1PF2的面積為S=b2，結(jié)合12×2c?【解答過程】由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)P(x1,因為∠F1PF2可得4a2?2所以△F1PF2的面積為S=又因為a?xP=yP將點(diǎn)P代入橢圓的方程，可得(a?b2c因為b2=a2?解得e=3?1和e=?3?1（舍去），即橢圓故選：D.2．（2024·四川雅安·三模）設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)MA．3+12 B．3+1 C．2【解題思路】設(shè)M(x,y)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系得M(2c,y)，從而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式列式求得y2=3c2，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線上列方程求解即可【解答過程】由題意，F(xiàn)1?c,0,F2因為F2為線段MN的中點(diǎn)，所以x=2c，即M(2c,y)，則F因為F1M⊥F1又M在C:x2a結(jié)合b2=c2?解得e2=1+32或e2故選：A.3．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2A．32 B．53 C．34【解題思路】由AF2=2F2B，設(shè)出AF2=2F2【解答過程】因為AF2=2

由過F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，由橢圓的定義可得，AF1則BF1=2a?m又因為AF1?AF2=0由勾股定理可得，AF即2a?2m2+9m所以AF1=又F1F2所以16a29所以橢圓E的離心率為ca故選：B.4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，F(xiàn)1(?c,0)、F2(c,0)分別為左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上有一點(diǎn)P使得線段PFA．32+102 B．32?【解題思路】由PO=PF2，設(shè)P(c2,y0)，表示出【解答過程】由PO=PF2，得P的橫坐標(biāo)為則直線PF1的方程為y=2y03c(x+c)所以線段EF2的中點(diǎn)H(c由F1H?PF即P(c2,±即c24a由e>1，解得e=3故選：A.5．（2024·廣東·一模）已知點(diǎn)F，A分別是橢圓x2a2+y2bA．3+12 B．5?12 C．【解題思路】首先根據(jù)FB?AB=0推斷出FB⊥AB，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知FB|2+AB|2【解答過程】

∵FB?AB∴FB|2整理得2ac?2b2=0等號兩邊同時除以a2得c2a2+∵0<e<1，∴e=?1+故選：B.6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)F1,F2,P是橢圓C1與雙曲線C2A．3 B．4 C．6 D．12【解題思路】根據(jù)橢圓以及雙曲線定義利用余弦定理和基本不等式計算可得當(dāng)e12=【解答過程】設(shè)PF1=m>PF在橢圓C1中，m+n等于橢圓的長軸長，因此e在雙曲線C2中，m?n等于雙曲線的實軸長，因此e則1e所以3e當(dāng)且僅當(dāng)e1故選：A.7．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）點(diǎn)M是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F，圓A．2?3,1 C．6?22【解題思路】根據(jù)MF⊥x軸可設(shè)Mc,y，代入橢圓方程可求得圓M的半徑，根據(jù)△PMQ為銳角三角形，可構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次不等式，進(jìn)而配湊出離心率e【解答過程】∵圓M與x軸相切于焦點(diǎn)F，∴MF⊥x軸，可設(shè)Mc,y∵M(jìn)在橢圓上，∴c2a2+y2b2作MN⊥y軸，垂足為N，∵M(jìn)P=MQ∵△PMQ為銳角三角形，∴∠NMQ<π4，∴ac<a2?c2即橢圓離心率的取值范圍為6?故選：D.8．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與EA．2332 B．2333 【解題思路】首先求出S△AOB=ab，再結(jié)合題干中的條件可知ab≥3【解答過程】由題意得Aa,0，漸近線y=±將x=a代入得M,N坐標(biāo)為a,±b,所以MN=2b因為MN⊥x軸，所以S△AOB由已知可得ab≥3兩邊同時除以a2得b所以3ba2解得33≤b而雙曲線的離心率e=1+故選：A.二、多選題9．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．12 B．35 C．56【解題思路】根據(jù)橢圓的定義得到PF1，PF【解答過程】因為PF1+PF2=2a又PF1?所以6a5≤2c，則e=ca≥故選：BCD.10．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,FA．若NF1⊥NF2，則e=2C．若NF2=2MF2，則【解題思路】根據(jù)題意分析可知：直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，求點(diǎn)Nc2,bc2a.對于A：根據(jù)向量垂直分析運(yùn)算；對于B：可得MF1=2b,M【解答過程】由題意可知：雙曲線C的漸近線為F1因為直線l的斜率k=?ba，則直線l與雙曲線可知∠NOF聯(lián)立方程y=baxbx+ay?bc=0，解得對于選項A：因為F1若NF1⊥N解得c2=4a2，即對于選項B：若MF1⊥M且MF1?所以e=c對于選項C：若NF2=2MF2，可知且M在雙曲線C上，則3c4即9c216a2對于選項D：因為MF1?且cos∠NF2解得MF若MF1≥5MF所以e=c故選：ACD.11．（2024·貴州貴陽·三模）雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2，斜率為正的漸近線為l1，過點(diǎn)FA．雙曲線C的離心率為5B．雙曲線C的共軛雙曲線方程為yC．當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線C右支時，MD．點(diǎn)M到兩漸近線的距離之積為4【解題思路】利用三角形面積公式得ab=2，再利用余弦定理得b=2a，則解出雙曲線方程，再利用離心率定義和共軛雙曲線方程的含義即可判斷AB；對C，計算得MF1MF2【解答過程】如圖，因為AF2=byP則S△PF1F2在△PF2F化簡得b=2a，所以a=1,b=2,c=5，雙曲線C方程為x對于A，雙曲線C的離心率為ca對于B，雙曲線C的共軛雙曲線方程為y2對于C，MF1M則1<1+2MF對于D，漸近線方程為y=±2x，設(shè)Mx點(diǎn)M到兩漸近線的距離之積為2x故選：ACD.三、填空題12．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b【解題思路】由題可知等邊三角形的邊長，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，易知△F【解答過程】依題意|PO|=|PF不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則點(diǎn)Pc易知|PF由橢圓的定義知：|PF所以3c+c=2a所以e=c故答案為：3?113．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過F1做斜率為正的直線交雙曲線左支于A【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義分析可知△ABF2為等腰直角三角形，且AB=【解答過程】因為AF1=2a，則A且∠ABF2=90°

則AB=BF且BF12整理可得c2a2故答案為：5?2214．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知P、Q為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，F(xiàn)1、F2【解題思路】結(jié)合題目條件可得四邊形PF1QF2是矩形，設(shè)∠PF1【解答過程】如圖，OP=顯然四邊形PF1Q由題意，QF1P設(shè)∠PF1F2=α又點(diǎn)P在第一象限，所以PF故tanα<1，即α<45°，所以30°≤α<45°橢圓C的離心率e==1由30°≤α<45°可得75°≤α+45°<90°，又sin75°=所以6+故22故答案為：22四、解答題15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與橢圓x225+y(1)求雙曲線的離心率；(2)求△OMN的面積.【解題思路】（1）由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓O的方程，通過聯(lián)立方程組求出M,N兩點(diǎn)，由ME⊥ON，求出a,b的值得雙曲線的離心率；（2）由M,N的坐標(biāo)，可求出△OMN的面積.【解答過程】（1）橢圓x225+y25=1橢圓焦點(diǎn)為(±25,0)，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為雙曲線C:x2a⊙O的方程：x2由y=±baxx2+y由題意知，M、N分別為第一、二象限的交點(diǎn)，∴M25a∴ME=?2∵M(jìn)E⊥ON，∴ME?ON=0化簡整理得20a又∵c=25=a2+∴雙曲線方程：x2離心率e=c（2）由（1）知M(2,4)，N(?2,4)，∴MN=2?(?2)=4∴S△16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a(1)若橢圓E的離心率e∈0,12(2)已知橢圓E的離心率e=32，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的直線與圓x2【解題思路】（1）把點(diǎn)A1,32代入橢圓方程，可得b2=（2）由離心