重難點(diǎn)23 與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)23與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1斜率型最值（范圍）問(wèn)題】 2【題型2直線型最值（范圍）問(wèn)題】 5【題型3定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】 7【題型4圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）】 9【題型5過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值（范圍）問(wèn)題】 12【題型6圓的切線長(zhǎng)度最值（范圍）問(wèn)題】 14【題型7周長(zhǎng)面積型最值（范圍）問(wèn)題】 16【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問(wèn)題】 18【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問(wèn)題】 21【題型10長(zhǎng)度型最值（范圍）問(wèn)題】 241、與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題從近幾年的高考情況來(lái)看，與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，由于圓既能與平面幾何相聯(lián)系，又能與圓錐曲線相結(jié)合，命題方式比較靈活，故與圓相關(guān)的最值與范圍問(wèn)題備受命題者的青睞.此類問(wèn)題考查形式多樣，對(duì)應(yīng)的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】在運(yùn)動(dòng)變化中，動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化，在變化過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)一些最值問(wèn)題，如距離最小、最大、范圍等.這些問(wèn)題常常聯(lián)系到平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解得到相關(guān)結(jié)論.1．圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.2．圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問(wèn)題已知圓C和圓外的一條直線l，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為：，距離的最大值為：.【知識(shí)點(diǎn)2利用代數(shù)法的幾何意義求最值】1．利用代數(shù)法的幾何意義求最值(1)形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.(2)形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)3切線長(zhǎng)度最值問(wèn)題】1．圓的切線長(zhǎng)度最值問(wèn)題(1)代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)幾何法：把切線長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)4弦長(zhǎng)最值問(wèn)題】1．過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值問(wèn)題已知圓C及圓內(nèi)一定點(diǎn)P，則過(guò)P點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.【知識(shí)點(diǎn)5解決與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題的常用方法】1．與圓有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題的解題方法(1)數(shù)形結(jié)合法：處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)建立函數(shù)關(guān)系求最值：根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點(diǎn)選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進(jìn)行求解.(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表達(dá)式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如a·b或者a+b的表達(dá)式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個(gè)變量的等量關(guān)系，進(jìn)而求解最值.同時(shí)需要注意，“一正二定三相等”的驗(yàn)證.(4)多與圓心聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為圓心問(wèn)題.(5)參數(shù)方程：進(jìn)行三角換元，通過(guò)參數(shù)方程，進(jìn)行求解.【題型1斜率型最值（范圍）問(wèn)題】【例1】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知P(m,n)為圓C:(x?1)2+(y?1)2=1上任意一點(diǎn)，則m+nm+1的最大值為（

）A．33 B．?33 C．1+【解題思路】根據(jù)圓上任意一點(diǎn)P(m,n)到定點(diǎn)A?1,1【解答過(guò)程】m+nm+1由于P(m,n)為圓C:(x?1)故n?1m+1可看作圓上任意一點(diǎn)P(m,n)到定點(diǎn)A當(dāng)直線PA與圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最大，由于相切時(shí)，AC=2,CP=1故PA故m+nm+1的最大值為1+故選：C.【變式1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)Px,y在圓x?12+y?12A．?6?30 B．6+30 C．?6+30【解題思路】將y?4x?3看作時(shí)圓上的點(diǎn)Px,y到點(diǎn)【解答過(guò)程】4?yx?3看作圓上的點(diǎn)Px,y到點(diǎn)當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,4設(shè)切線方程為y=kx?3+4，所以圓心到切線的距離等于半徑，故?2k+31+k2=3，解得k=6±故選：C.【變式1-2】（2024·陜西商洛·三模）已知Px0,y0是圓C:A．?2 B．?12 C．?4?7【解題思路】y0+1x【解答過(guò)程】設(shè)k=y0+1則y0+1x圓C:x2+所以圓C的圓心為1,1，半徑為1.因?yàn)镻x0,所以圓C與直線kx?3?y?1=0有公共點(diǎn)，即圓的圓心C1,1到直線k所以k1?3?1?1k即y0+1x故選:D.【變式1-3】（2024·福建南平·三模）已知Pm,n為圓C：x?12+y?12=1上任意一點(diǎn)，則【解題思路】將n?1m+1轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Pm,n和?1,1連線的斜率，由圖像可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得最大值，由【解答過(guò)程】由于n?1m+1=n?1m?(?1)，故n?1m+1表示Pm,n和?1,1連線的斜率，設(shè)設(shè)此時(shí)MP:y?1=k(x+1)，即kx?y+k+1=0，又圓心1,1，半徑為1，故k?1+k+1k2+1故n?1m+1的最大值為3故答案為：33【題型2直線型最值（范圍）問(wèn)題】【例2】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px,y是圓C：x?a2+y2=3a>0上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓CA．4 B．26 C．?4 D．【解題思路】由圓所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)求得a，y?x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距，直線與圓相切時(shí)，b取得最大值或最小值，由此可得．【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC：x?a2+y(1?a)2+2=3．又a>0，所以y?x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)2?0+b2=3所以y?x的最大值為?2+6，最小值為?2?6，故y?x的最大值與最小值之和為故選：C．【變式2-1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式x2+y2+4x?2y?4=0，那么x2+y2的最大值是【解題思路】畫出圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，以及直線與圓的位置關(guān)系、所求代數(shù)式的幾何意義逐一求解即可.【解答過(guò)程】由x2+y2+4x?2y?4=0因?yàn)閳A心?2,1到原點(diǎn)的距離為5，所以圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為5+3則x2+y令2x?y=t，則?t是直線2x?y=t在y軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線2x?y=t在y軸上的截距，一個(gè)是最大值，一個(gè)是最小值，此時(shí)，圓心?2,1到直線2x?y=t的距離d=?4?1?t5=3所以2x?y的最大值為35故答案為：14+65；3【變式2-2】（23-24高二上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知x，y是實(shí)數(shù)，且x?12(1)求3x+4y的最值；(2)求yx(3)求x2【解題思路】（1）首先設(shè)3x+4y=z，利用直線與圓有交點(diǎn)，列式求z的最值；（2）首先設(shè)k=yx，轉(zhuǎn)化為直線kx?y=0與圓有交點(diǎn)，列不等式求（3）根據(jù)x2【解答過(guò)程】（1）設(shè)3x+4y=z，化為3x+4y?z=0，可知直線3x+4y?z=0與圓x?12+y?2有3+8?z5≤2，解得可得3x+4y的最小值為1，最大值為21；（2）設(shè)k=yx，化為可知直線kx?y=0與圓x?12有k?2k2+1≤2，解得故yx的取值范圍為?（3）x2+y圓x?12+y?2故x2+y2的最小值為【變式2-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【解題思路】（1）令yx＝t，進(jìn)行求解即可（2）令y＋x＝m，得其縱截距在兩相切位置對(duì)應(yīng)的縱截距之間，進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)x2＋y2的幾何意義，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】（1）如圖，令yx＝t，則x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－3≤t≤3所以yx的最小值為－3，最大值為3（2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直線y＝－x＋m與圓x2＋y2－4x＋1＝0有公共點(diǎn)時(shí)，其縱截距在兩相切位置對(duì)應(yīng)的縱截距之間，而相切時(shí)有＝3，|m－2|＝6，m＝2±6.所以y＋x的最大值為2＋6，最小值為2－6.（3）如圖，x2＋y2是圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故連接OC，與圓交于點(diǎn)B，并延長(zhǎng)交圓于C′，可知B到原點(diǎn)的距離最近，點(diǎn)C′到原點(diǎn)的距離最大，此時(shí)有OB＝x2+y2＝2－3，OC′＝則（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋43，（x2＋y2）min＝OB2＝7－43.【題型3\t"/gzsx/zsd29136/_blank"\o"定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）"定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】【例3】（2024·陜西銅川·三模）已知圓C:(x?a)2+(y?b)2A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】由題意及圓的定義得圓心所在的軌跡方程，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解最大值即可.【解答過(guò)程】由圓C:(x?a)2+(x?b)2即(a?3)2+(b?4)2=1又AO=32故選：C.【變式3-1】（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）已知P是圓O:x2+y2=9上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足PQ=A．8 B．9 C．29+3 D．【解題思路】首先求點(diǎn)Q的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，求AQ的最大值.【解答過(guò)程】設(shè)Qx,y，P由PQ=x?x0,y?因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，即x0則x?32所以點(diǎn)Q的軌跡是以3,?4為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)锳1,1，1?32+所以AQ的最大值為1?32故選：C.【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）M點(diǎn)是圓C:(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn)，AB為圓C1:(x?2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【解題思路】根據(jù)弦長(zhǎng)公式先求出C1N=1，然后可知點(diǎn)N在以C【解答過(guò)程】圓C:(x+2)2+y2圓C1:(x?2)2+如圖所示，由弦長(zhǎng)公式知|AB|=2r解得C1所以點(diǎn)N在以C1由圖可知，|MN|的最小值為CC故選：B．【變式3-3】（2024·四川樂(lè)山·三模）已知圓O:x2+y2=16，點(diǎn)F?2,12+19，點(diǎn)E是l:2x?y+16=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A，BA．32 B．352 C．5【解題思路】設(shè)M(x,y)，由△AOE～△MOA表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，代入直線方程得出點(diǎn)M的軌跡，根據(jù)點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離最小值求法計(jì)算即可．【解答過(guò)程】設(shè)M(x,y)，由題可知△AOE～△MOA，則|OA||OE|=|OM|所以|OE||OM|=|OA將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入l:2x?y+16=0，化簡(jiǎn)得(x+1)2+y?故點(diǎn)M的軌跡是以?1,12為圓心，又(?2+1)2+1所以MF的最小值為(?1+2)2故選：B．【題型4\t"/gzsx/zsd29137/_blank"\o"圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）"圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）】【例4】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）已知M，N是圓C：x2+y2?2y?3=0上的兩個(gè)點(diǎn)，且MN=22，P為MN的中點(diǎn)，Q為直線lA．22 B．2 C．2?2 【解題思路】先根據(jù)弦長(zhǎng)得出點(diǎn)P的軌跡，利用直線與圓的位置關(guān)系即可解決.【解答過(guò)程】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+(y?1)2由MN=22，可得所以點(diǎn)P在以C(0,1)為圓心，2為半徑的圓上，又點(diǎn)C到直線l：x?y?3=0的距離d=0?1?3所以PQ的最小值為22故選：B.【變式4-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知直線l:x?y?2=0，點(diǎn)C在圓x?12+y2=2上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)CA．322+1 B．522 【解題思路】確定圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，加上圓的半徑，即可得答案.【解答過(guò)程】圓x?12+y2=2則圓心1,0到直線l：x?y?2=0的距離為：d=1?0?2所以圓上的點(diǎn)C到直線l：x?y?2=0距離的最大值為：22故選：C.【變式4-2】（2024·河北·二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圓x2+y2=9A．43 B．33 C．23【解題思路】連接OM、OA、OB，根據(jù)已知可得OA?OB=x1【解答過(guò)程】如圖，連接OM、OA、OB，由Ax1,y1，B即OA?又AM=2MB，則OM?所以O(shè)M=則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2且圓心O到直線x+3y?43所以MP的最小值為23故選：D.【變式4-3】（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）已知點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,A．16 B．12 C．8 D．4【解題思路】題目轉(zhuǎn)化為A、B到直線x+y?2=0的距離之和，變換得到|AC|+|BD|=2|EF|，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過(guò)程】因?yàn)锳(x1，y1)、B(x2，因?yàn)閨OA|=|OB|=4，則△AOB是等腰直角三角形，|x1+y1?2|+|x2+原點(diǎn)O到直線x+y?2=0的距離為d=2AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中點(diǎn)，作EF⊥CD于F，且OE⊥AB，|AC|+|BD|=2|EF|，|OE|=1|EF|≤OE+d=32，當(dāng)且僅當(dāng)O,E,F三點(diǎn)共線，且E,F又|EF|=12|BD|+|AC|，故|x1+故選：B．【題型5\t"/gzsx/zsd29138/_blank"\o"過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值（范圍）"過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值（范圍）問(wèn)題】【例5】（23-24高二上·重慶·期末）已知圓的方程為x2+y2?8x=0A．10 B．11 C．210 D．【解題思路】利用幾何法求弦長(zhǎng).【解答過(guò)程】如圖：x2+y2?8x=0?

由圖可知，當(dāng)弦AB⊥CP時(shí)，弦長(zhǎng)最短.此時(shí)，Rt△ACP中，CP=4?2所以：AP=所以弦長(zhǎng)AB=2故選：D.【變式5-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:tx+y?2t?3=0(t∈R)與圓C:x?12+A．[23,8] B．[43,8] C．【解題思路】根據(jù)題意，求得直線恒過(guò)點(diǎn)P(2,3【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€tx+y?2t?3=0(t∈R由x?2=0y?3=0，解得x=2,y=可得點(diǎn)P(2,3)在圓又由圓x?12+y2=16當(dāng)直線l過(guò)圓心C(1,0)時(shí)，截得弦長(zhǎng)AB最長(zhǎng)，此時(shí)ABmax當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)AB最短，又由PC=可得ABmin所以弦長(zhǎng)AB的取值范圍是[43故選：B.【變式5-2】（23-24高二上·廣東珠?！て谀┮阎本€l：mx?y?3m+1=0恒過(guò)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【解題思路】寫出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定|AB|最小時(shí)直線與直線CP的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由m(x?3)?y+1=0恒過(guò)P(3,1)，又(3?1)2+(1?2)2=5<25要使|AB|最小，只需圓心C(1,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，由|CP|=5所以ABmin故選：A.【變式5-3】（2024·江西贛州·二模）已知直線l:m+nx+m?ny?2m=0mn≠0A．l過(guò)定點(diǎn)1,?1 B．l與C一定相交C．若l平分C的周長(zhǎng)，則m=1 D．l被C截得的最短弦的長(zhǎng)度為4【解題思路】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程x+y?2=0x?y=0【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：l:m+n聯(lián)立x+y?2=0x?y=0，解得x=1y=1，所以l過(guò)定點(diǎn)選項(xiàng)B：因l過(guò)定點(diǎn)1,1，且1?22所以定點(diǎn)1,1在圓內(nèi)，即l與C一定相交，故B正確；選項(xiàng)C：若l平分C的周長(zhǎng)，則直線過(guò)圓心2,2，所以m+n×2+即m=0，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)定點(diǎn)1,1為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)圓心2,2到弦所在直線的距離d=2?1則弦長(zhǎng)22故選：B.【題型6圓的切線長(zhǎng)度最值（范圍）問(wèn)題】【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線l:x?y+1=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】連接CA，則PA=而PC的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離d=1?0+1所以PAmin故選：A.【變式6-1】（2024·新疆·二模）從直線x?y+2=0上的點(diǎn)向圓x2+yA．22 B．1 C．24 【解題思路】先求出圓心和半徑，再將切線長(zhǎng)的最小轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心的距離最小來(lái)求解即可.【解答過(guò)程】圓x2+y2?4x?4y+7=0直線x?y+2=0上的點(diǎn)P向圓x2+y則PA2要使切線長(zhǎng)的最小，則PC最小，即直線上的點(diǎn)與圓心的距離最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，|PC|所以切線長(zhǎng)的最小值為(2故選：B.【變式6-2】（2024·四川宜賓·二模）已知點(diǎn)P是直線x+y+3=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:(x+1)2+y2A．23 B．22 C．2【解題思路】由題意可得PA=PC2?r2，則當(dāng)【解答過(guò)程】圓C:(x+1)2+y2由題意可得PA⊥AC，則PA=則當(dāng)PC取得最小值時(shí)，線段PA長(zhǎng)度的最小，PCmin所以PAmin故選：D.【變式6-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為直線l:3x?4y+12=0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:x?32+y?22=1的切線PM，切點(diǎn)為A．125 B．135 C．1705【解題思路】分析可知CM⊥PM，由勾股定理可得PM=PC2?1，當(dāng)PM取小值時(shí)，PC⊥l，求出圓心到直線【解答過(guò)程】由題意可知，圓C的圓心為C2,3，半徑為CM由圓的幾何性質(zhì)可知，CM⊥PM，由勾股定理可得PM=所以要使切線長(zhǎng)PM取最小值，只需PC取最小值即可.當(dāng)直線PC與直線l:3x?4y+12=0垂直時(shí)，PC取最小值d=9?8+12則PM的最小值是135故選：A.【題型7周長(zhǎng)面積型最值（范圍）問(wèn)題】【例7】（2024·上海普陀·二模）直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,1)，且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓M在△OAB的外部，且與直線l及兩坐標(biāo)軸的正半軸均相切，則△OAB周長(zhǎng)的最小值是（

）A．3 B．5 C．10 D．12【解題思路】先設(shè)動(dòng)圓M的圓心M坐標(biāo)為(m,m)，|OA|=a，|OB|=b，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得|OA|+|OB|+|AB|=|2m，當(dāng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)P(2,1)處時(shí)，圓M半徑最小，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可求解．【解答過(guò)程】設(shè)動(dòng)圓M的圓心M坐標(biāo)為(m,m)，即圓M半徑r=m，由題意m>0，設(shè)|OA|=a，|OB|=b，圓M與直線AB相切于點(diǎn)N，則|AN|=m?a，|BN|=m?b，所以|OA|+|OB|+|AB|=|OA|+|OB|+|AN|+|BN|=a+b+m?a+m?b=2m，即△OAB的周長(zhǎng)為2m，所以△OAB的周長(zhǎng)最小即為圓M半徑m最小，因?yàn)镻M≥r=m則m?22+m?1解得m≥5或m≤1,當(dāng)m≤1時(shí)，圓心M在△OAB內(nèi)，不合題意；當(dāng)m≥5時(shí)，符合題意，即圓M半徑的最小值為5，△OAB周長(zhǎng)的最小值為2m=10．故選：C．【變式7-1】（2024·山西呂梁·一模）已知圓Q:(x?4)2+(y?2)2=4，點(diǎn)P為直線x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與圓Q相交于A．27 B．47 C．2【解題思路】寫出面積表達(dá)式，從而得到當(dāng)PQ與直線垂直時(shí)面積最小，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意得PA⊥AQ，PB⊥AQ，Q4,2S四邊形當(dāng)PQ垂直直線x+y+2=0時(shí)，PQmin∴(故選：B.【變式7-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)P為直線x?y=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB為圓C：(x?2)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，BA．3 B．2+3 C．4 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長(zhǎng)定理將四邊形周長(zhǎng)表示為|PC|的函數(shù)求解.【解答過(guò)程】依題意，圓(x?2)2+y2=1AC⊥PA，|PB|=|PA|=|PC因此四邊形APBC的周長(zhǎng)l=2|PA|+2|AC|=2|PC而|PC|min=21所以四邊形APBC的周長(zhǎng)的最小值為4.故選：C.【變式7-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A(?3,0)，B(0,3)，設(shè)C是圓M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【解題思路】求出C到直線AB的距離的最大值與最小值，結(jié)合面積公式做差即可得.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€AB與圓M:(x?1)設(shè)圓心M(1,0)到直線AB:y=x+3的距離為d，則d=42=2所以C到直線AB的距離的最小值為d?r=22C到直線AB的距離的最大值為d+r=22因此△ABC面積的最大值與最小值之差等于：|AB|22故選：B．【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問(wèn)題】【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=x2?4x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，AB為圓C的直徑，點(diǎn)P是直線3x+4y+10=0上任意一點(diǎn)；則PAA．4 B．12 C．16 D．18【解題思路】由題意求出圓C的方程，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得PA?PB的表達(dá)式PC?2?4，確定當(dāng)|【解答過(guò)程】對(duì)于曲線y=x2?4x+1，令x=0，則y=1；令y=0曲線y=x2?4x+1設(shè)圓心C2,t，由(0?2)2+則圓心為C2,1，半徑為2，所以圓C方程為(x?2)

PA?當(dāng)|PC|最小，即為圓心到直線3x+4y+10=0的距離時(shí)，圓心C2,1到直線l:3x+4y+10=0的距離設(shè)為d，則d=所以PC最小值為4，則PA?PB的最小值為故選：B．【變式8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓O是圓心為原點(diǎn)的單位圓，A,B是圓O上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，M2,0，則MA+MBA．1,2 B．1,3 C．2,4 D．2,6【解題思路】設(shè)C為弦AB的中點(diǎn)，則MA+MB=2【解答過(guò)程】設(shè)C為弦AB的中點(diǎn)，則MA+MB=2MC．因?yàn)锳,B兩點(diǎn)不重合，則直線AB與圓O相交，所以點(diǎn)考慮點(diǎn)D為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線時(shí)，DM最長(zhǎng)為MO+OD=3，因C考慮點(diǎn)E為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)O，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，EM最短為MO?OE=1，因C綜上，當(dāng)點(diǎn)C在圓O內(nèi)時(shí)，MC∈1,3，則故選：D．【變式8-2】（2024·河南開封·二模）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且|PA|=1，則PB?A．?32,92 B．?1【解題思路】首先建立平面直角坐標(biāo)系且A(?32,0)，B(32【解答過(guò)程】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且A(?32,0)，B(所以P(x,y)在以A為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為(x+3而PB=(32綜上，只需求出定點(diǎn)(34,而圓心A與(34,34)的距離所以PB?故選：B.【變式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圓C：x2+y?32=4，過(guò)點(diǎn)0,4的直線l與x軸交于點(diǎn)P，與圓C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【解題思路】作出線段AB的中點(diǎn)D，將CA+CB轉(zhuǎn)化為2CD，利用垂徑定理，由圖化簡(jiǎn)得CP?CA+CB【解答過(guò)程】

如圖，取線段AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB，由CP?CA+因直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,4)，考慮臨界情況，當(dāng)線段AB中點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)（此時(shí)CM⊥AB），弦長(zhǎng)AB最小，此時(shí)CD最長(zhǎng)，為|CD|max=|CM|=4?3=1，（但此時(shí)直線l與x當(dāng)線段AB中點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，CD最短為0（此時(shí)符合題意）.故CP?CA+故選：D.【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問(wèn)題】【例9】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M是圓x2+y2=1上一點(diǎn)，點(diǎn)N是圓C:A．π2 B．π3 C．π4【解題思路】利用圓的最值問(wèn)題和正弦定理即可求解.【解答過(guò)程】圓x2+y2=1圓C:x?32+y2在三角形CMN中，CN=根據(jù)正弦定理可得，CNsin∠CMN=所以sin∠CMN=因?yàn)镃M≥CO?所以sin∠CMN≤因?yàn)镃N<CM，所以所以∠CMN的最大值為π3故選：B.【變式9-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:x?y+2=0與圓O:x2+y2=1，過(guò)直線l上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，A．3π4 B．2π3 C．【解題思路】由題意可得cos∠AOP=1OP，可知當(dāng)OP【解答過(guò)程】由題意可知：圓O:x2+則圓心O到直線l的距離為|2|2=2>1，可知直線因?yàn)椤螦OB=2∠AOP，且cos∠AOP=當(dāng)OP最小時(shí)，則cos∠AOP最大，可得∠AOP最小，即∠AOB又因?yàn)镺P的最小值即為圓心O到直線l的距離為2，此時(shí)cos∠AOP=22,∠AOP=π故選：C．【變式9-2】（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知O0,0,A154,0，曲線C上任一點(diǎn)M滿足OM=4AM，點(diǎn)P在直線y=2x?1上，如果曲線C上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)PA．1<t<3 B．1<t<4 C．2<t<3 D．2<t<4【解題思路】根據(jù)OM=4AM可求出曲線C的方程，根據(jù)曲線C上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為2，可得到點(diǎn)P到圓心4,0的距離小于【解答過(guò)程】設(shè)Mx，y，因?yàn)閤化簡(jiǎn)得：(x?4)∴曲線C的方程：(x?4)2+y2=1圓心4,0到直線y=2x?1的距離所以直線與圓相離，如圖所示：設(shè)點(diǎn)Pt,2t?1，只需點(diǎn)P到圓心4,0此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)P1與點(diǎn)P∴(t?4)2解得：1<t<3．故選：A.【變式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知點(diǎn)P在直線l:3x+4y+3=0上，過(guò)P作圓M:x2+y2?6x?4y+9=0的兩條切線，切點(diǎn)為A．30° B．45° C．60°【解題思路】由圓的方程求得其圓心和半徑，求出圓心到直線l的距離，確定當(dāng)MP⊥l時(shí)，∠APB取最大值，結(jié)合sin∠MPA=2|PM|【解答過(guò)程】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2+(y?2)2=4圓心M到直線l的距離為d=3×3+4×2+333由于MA⊥AP，故sin∠MPA=

故當(dāng)MP⊥l時(shí)，|MP|最小，此時(shí)∠MPA最大，則∠APB=2∠APM也取最大值，此時(shí)sin∠MPA=24故選：C.【題型10長(zhǎng)度型最值（范圍）問(wèn)題】【例10】（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A?3,0,B1,0,P為圓C:(x?3)A．34 B．40 C．44 D．48【解題思路】借助點(diǎn)到直線的距離公式與圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】設(shè)Px,y，則=2x+1即PA2+PB2等價(jià)于點(diǎn)又PQ≥即PA2故選：B.【變式10-1】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知圓C:x2+y2=4上兩點(diǎn)AxA．32?2 C．62?4 【解題思路】根據(jù)題意，由x1x2+y1y2=0發(fā)現(xiàn)OA⊥OB【解答過(guò)程】由x1x2+y1y因?yàn)閤1所以，由點(diǎn)到直線的距離公式可知x1+3y1+6+

設(shè)AB,DF的中點(diǎn)分別為M,E，易知，由梯形ADFB的中位線可得AD+則x1+3y1因?yàn)椤鰽OB是直角三角形，所以O(shè)M=則點(diǎn)M在圓x2顯然，最小值為原點(diǎn)O到直線x+3y+6=0距離與圓原點(diǎn)O到直線x+3y+6=0距離d=0+61+3所以x1+3故選：D.【變式10-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線l:x+y=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M:(x?1)2+(y?1)2=1的切線PA（A點(diǎn)為切點(diǎn)），B為圓A．31?2 B．32?1 C．31【解題思路】連接MN，可得MN⊥l，得到(PA+PB)min=(PA+【解答過(guò)程】如圖所示，連接MN，可得MN⊥l，且垂足為O要使得PA+即(PA又由PN2PA2顯然，當(dāng)OP2最小時(shí)，PN所以，當(dāng)OP2=0時(shí)，PNmin所以(PA故選：B.【變式10-3】（23-24高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知圓C1:(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2:x?32+y?42A．52?2 B．17?1 C．6+2【解題思路】利用圓的性質(zhì)及“將軍飲馬”模型計(jì)算最值即可.【解答過(guò)程】

如圖所示，易知C12,3,取點(diǎn)C1關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)A，則A2,?3，在橫軸上任取一點(diǎn)P′連接AC2交橫軸于P，交圓C2于E(圓上靠近橫軸一點(diǎn))，連接PC1則P′M+當(dāng)且僅當(dāng)P′、P，E、N，此時(shí)PM+PN的最小值為故選：D.一、單選題1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=a?bA．2 B．2 C．322【解題思路】利用點(diǎn)a,b即在圓C:x?122+【解答過(guò)程】由題意知點(diǎn)a,b在曲線C:x?則圓心C12,?12即?4≤c≤?2，又|a+b?3|=|c|∈[2,4]，所以a+b?3的最小值2．故選：B.2．（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點(diǎn)P向圓x?42+y2=4引切線，切點(diǎn)為QA．2 B．2 C．6 D．2【解題思路】根據(jù)已知條件，求得PQ=d2?r【解答過(guò)程】由已知有：圓的圓心4,0，半徑為r=2，直線的一般方程為x?y=0，設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有PQ⊥CQ，所以PQ=所以d取最小值時(shí)，PQ取得最小值，因?yàn)橹本€上點(diǎn)P到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以d=4?01+1=22，故故選：B.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）直線y=kx+2被圓x2+yA．2 B．3 C．22 D．【解題思路】由恒過(guò)定點(diǎn)A0,2可得，過(guò)點(diǎn)A【解答過(guò)程】直線y=kx+2恒過(guò)定點(diǎn)A0,2x2+y設(shè)其圓心為B，半徑為r，則B3,0，r=4又AB=32則當(dāng)直線AB與直線y=kx+2垂直時(shí)所截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2r故選：D．4．（2024·山東濟(jì)南·三模）圓(x?1)2+(y+1)2=4A．3 B．4 C．5 D．9【解題思路】求出圓心到直線的距離加上圓的半徑即可得答案.【解答過(guò)程】圓(x?1)2+(y+1)2=4則圓心C(1,?1)到直線3x+4y?14=0的距離為d=3?4?14所以圓(x?1)2+(y+1)2=4故選：C.5．（2024·陜西漢中·二模）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，A，B為A．?255 B．?45 【解題思路】根據(jù)題意分析得當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時(shí)，∠APB最大，此時(shí)cos∠APB【解答過(guò)程】由題意得⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?1)所以圓心M到直線l的距離為|2+1+2|4+1=5>2，所以直線所以當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時(shí)，sin∠APM=AMPM=2所以∠APB=2∠APM最大，此時(shí)cos∠APB此時(shí)cos∠APB=故選：D.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M是直線l1:ax+y?2a=0和l2:x?ay+2=0（a∈R）的交點(diǎn)，A?1,0，Bm,0，且點(diǎn)M滿足MA=A．6 B．26 C．10 D．【解題思路】根據(jù)題意，得到點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=4(x≠2)，結(jié)合MA=12MB恒成立，求得點(diǎn)B(?4,0)，再由2MA+MC=【解答過(guò)程】將直線l1:ax+y?2a=0化為a(x?2)+y=0，可得直線l1同理可得直線l2:x?ay+2=0恒過(guò)定點(diǎn)(?2,0)，當(dāng)可得kl1=?a,kl2=1a，則k因?yàn)辄c(diǎn)M是直線l1和l2的交點(diǎn)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為又因?yàn)镸A=12即8x+20=?2mx+m2+4恒成立，所以m=?4又由2MA+MC=MB可得原點(diǎn)O(0,0)到直線BC的距離為41所以在直線BC上存在兩個(gè)點(diǎn)P,Q滿足B,P,C或B,Q,C三點(diǎn)共線，如圖所示，可得2MA所以2MA+MC故選：D.7．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知直線y=kx+2k∈R交圓O:x2+y2=9A．9 B．16 C．27 D．30【解題思路】根據(jù)題中條件，先求得弦PQ的中點(diǎn)Ex,y的軌跡方程，則3x1+4y1+165+【解答過(guò)程】由題設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為A0,2，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為E連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，所以O(shè)E?即x,y?所以點(diǎn)E的軌跡方程為x2即E的軌跡是以0,1為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線l為3x+4y+16=0，則E到l的最小距離為4+165過(guò)P?E?Q分別作直線則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點(diǎn)，則ER是直角梯形的中位線，所以MP+NQ=2即3x所以3x故選：D.8．（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點(diǎn)A2,0，B0,2，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說(shuō)法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合，將面積PCOD的最值轉(zhuǎn)化為求OP的最值，即可判斷①②；利用數(shù)量積和三角函數(shù)表示PC?【解答過(guò)程】如圖，當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)OP⊥AB，OP最短，最小值為2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)OP最長(zhǎng)，最大值為2，因?yàn)镻C,PD是圓O的切線，所以PC⊥OC，PD⊥OD，則四邊形PCOD的面積為PCOC所以四邊形PCOD的面積的最小值為2?1=1，最大值為4?1PC?PD=PC=PO2+設(shè)y=t+2t?3,t∈故選：B.

二、多選題9．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2+y2?4x?5=0，點(diǎn)A．圓C關(guān)于直線x?3y?2=0對(duì)稱B．已知A1,?2，B5,0，則PAC．2a+b的最小值為2?3D．a(chǎn)+2b+9a+3的最大值為【解題思路】對(duì)于A，由直線穿過(guò)圓心即可判斷，對(duì)于BCD，分別將問(wèn)題理解成圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離平方和、在y軸上的截距和圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，在數(shù)形結(jié)合即可求得最值情況，進(jìn)而求解即可判斷.【解答過(guò)程】由題圓C的圓心為C2,0，半徑為r=3對(duì)于A，顯然圓心C2,0滿足x?3y?2=0，故直線x?3y?2=0所以圓C關(guān)于直線x?3y?2=0對(duì)稱，A對(duì)；對(duì)于B，PA2+PB設(shè)D3,?1所以根據(jù)代數(shù)式的幾何意義可知PA2+PB對(duì)于C，設(shè)z=2x+y，即y=?2x+z，動(dòng)點(diǎn)x,y在圓C上，則z取得最小值時(shí)，即為直線y=?2x+z在y軸上截距最小，如圖，過(guò)圓C所在平面作直線y=?2x，直線y=?2x+z與直線y=?2x平行，由圖可知，當(dāng)直線y=?2x+z與圓C相切時(shí)其在y軸上截距取得最大值或最小值，此時(shí)圓心C到直線y=?2x+z的距離等于半徑，即?2×2+z?2?z=4+35或z=4?35，故2a+b的最小值為對(duì)于D，因?yàn)閍+2b+9a+3=1+2×b+3則根據(jù)代數(shù)幾何意義可知當(dāng)圓上的點(diǎn)Pa,b與定點(diǎn)Ta+2b+9a+3如圖，顯然當(dāng)過(guò)T的直線與圓相切時(shí)斜率最大，設(shè)切線為y=kx+3?3，則有圓心到切線距離d=5k?3k2+1=3a+2b+9a+3故選：ABD.10．（2024·吉林延邊·一模）已知Ax1,y1A．若點(diǎn)O到直線AB的距離為2，則ABB．若AB=23C．若∠AOB=π2，則D．x1x【解題思路】對(duì)于A選項(xiàng)：利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求解；對(duì)于B選項(xiàng)：運(yùn)用余弦定理即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)：將x1+y1?1+x【解答過(guò)程】依題意，圓O:x2+y如圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離為2，所以AB=2對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)锳B=23，且所以在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠AOB=所以∠AOB=2π對(duì)于C選項(xiàng)：由x1其幾何意義為Ax1,y1設(shè)A,B的中點(diǎn)為Cx則有x1因?yàn)椤螦OB=π2，所以在直角三角形△OAB中，OC=所以點(diǎn)C的軌跡為以原點(diǎn)0,0為圓心，2為半徑的圓.因?yàn)?,0到x+y?1=0的距離為d=0+0?1所以x0所以x1對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)閤1所以當(dāng)OA,OB所成的角為π時(shí)，故選項(xiàng)D正確;故選：ACD.11．（2024·遼寧丹東·一模）已知圓C:(x?2)2+(y?1)2=9，直線l:kx?y+1=0與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦A．弦AB有最小值為25 B．OM有最小值為C．△OCM面積的最大值為5+12 D．【解題思路】易得直線l:kx?y+1=0過(guò)定點(diǎn)Q0,1，根據(jù)點(diǎn)Q為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，AB最小，即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，可得CM⊥MQ，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的軌跡是以CQ為直徑的圓，即可判斷B；要使△OCM面積取得最大值，只要點(diǎn)M到直線OC的距離最大即可，進(jìn)而可判斷C；設(shè)Ax1,y1,B【解答過(guò)程】圓C:(x?2)2+(y?1)2直線l:kx?y+1=0過(guò)定點(diǎn)Q0,1因?yàn)?0?2)2+(1?1)所以直線l與圓C一定相交，當(dāng)點(diǎn)Q為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，AB有最小值，此時(shí)直線l的斜率不存在，而直線l的斜率一定存在，所以AB>2因?yàn)辄c(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB，即CM⊥MQ，所以點(diǎn)M的軌跡是以CQ為直徑的圓(去除0,1），圓心為N1,1，半徑為1所以軌跡方程為x?12因?yàn)??12+0?1所以O(shè)M的最小值為0?12對(duì)于C，OC=要使△OCM面積取得最大值，只要點(diǎn)M到直線OC的距離最大即可，直線OC的方程為y=12x圓心N1,1到直線OC的距離d=所以點(diǎn)M到直線OC的距離最大值為55所以△OCM面積的最大值為12對(duì)于D，設(shè)Ax聯(lián)立x?22+y?1則x1+x所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為2k則PO?當(dāng)k=0時(shí)，PO?當(dāng)k>0時(shí)，PO?當(dāng)k<0時(shí)，PO?當(dāng)且僅當(dāng)?k=1?k，即綜上所述PO?

故選：BCD.三、填空題12．（2024·四川瀘州·三模）動(dòng)直線l：mx+y?2m?1=0被圓C：x2+y【解題思路】求出直線所過(guò)定點(diǎn)A，判斷定點(diǎn)A在圓內(nèi)，數(shù)形結(jié)合知直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)CA⊥l，即可由勾股定理求出此時(shí)的弦長(zhǎng).【解答過(guò)程】直線l:mx+y?2m?1=0，即y?1=m2?x所以直線l過(guò)定點(diǎn)A2,1，又圓C:x+12所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)部，AC=當(dāng)CA垂直于直線l時(shí)，C到直線l的距離最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最小，所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為226故答案為：8.13．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）直線l:ax+y?2a?2=0(a∈R)，與圓C:x2+y2?4x?4y=1相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線【解題思路】計(jì)算直線l的恒過(guò)點(diǎn)，圓的圓心和半徑，可得直線l恒過(guò)圓心，由向量線性運(yùn)算BA=PA?PB，2PC【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l:ax+y?2a?2=0，則直線恒過(guò)點(diǎn)(2,2)，由C:x2+y2?4x?4y=1可得圓C的圓心C因?yàn)锽A=PA?所以BA2=PA②?①得PA因?yàn)辄c(diǎn)C到直線m的距離為：4+2+65=12PA?PB的最小值是故答案為：99514．（23-24高二上·北京·期末）已知Ax1,y1、Bx2,y2滿足：x1【解題思路】分析可知，Ax1,y1、Bx2,y2在圓x2+y2=1上，且∠AOB=2π3，記d【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1、Bx2故Ax1,y1且cos∠AOB=OA?因?yàn)?≤∠AOB≤π，則∠AOB=因?yàn)镺A=OB=1，則△AOB是腰長(zhǎng)為1（1）當(dāng)點(diǎn)A、B在直線3x?4y=0的同側(cè)時(shí)，設(shè)直線3x?4y=0交圓x2+y2=1

記d1=3x1?4y15則d1=sin所以，3=5sin因?yàn)?<θ<π3，則π3則3x（2）當(dāng)點(diǎn)A、B在直線3x?4y=0的異側(cè)時(shí)，設(shè)直線3x?4y=0交圓x2+y2=1

記d1=3x1?4y15則d1=sin所以，3=5sin因?yàn)?<θ<2π3，則π6則3x（3）當(dāng)點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在直線3x?4y=0上時(shí)，

則3x綜上所述，代數(shù)式3x1?4故答案為：53四、解