重難點19 立體幾何中的截面、交線問題（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點19立體幾何中的截面、交線問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1截面作圖】 2【題型2截面圖形的形狀判斷】 4【題型3截面圖形的周長或面積問題】 5【題型4球的截面問題】 6【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】 6【題型6交線長度、軌跡問題】 7【題型7截面的范圍與最值問題】 81、立體幾何中的截面、交線問題“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.【知識點1立體幾何中的截面問題】1．作截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.2．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.【知識點2立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】1．立體幾何截面問題的求解方法(1)坐標法：所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進行求解.(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而得到過三點的完整截面，再進行求解.2．截面、交線問題的解題策略(1)作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.【題型1截面作圖】【例1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）在如圖所示的幾何體中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC=2DE=4，BC=2，DC=1，∠BCD=60°.

（1）證明：BD⊥平面ACDE；（2）過點D作一平行于平面ABE的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面ABE之間的幾何體的體積.【變式1-1】（2024高一下·廣東佛山·競賽）如圖，在正方體ABCD?A1B1C

(1)請在正方體的表面完整作出過點E?(2)請求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.【變式1-2】（2023·貴州·模擬預測）矩形ABCD中，AB=3,AD=1（如圖1），將△DAC沿AC折到△D1AC的位置，點D1在平面ABC上的射影(1)證明：AD(2)過D1E的平面與BC平行，作出該平面截三棱錐D1?ABC所得截面（不要求寫作法）.記截面分三棱錐所得兩部分的體積分別為【變式1-3】（23-24高一下·河北廊坊·階段練習）如圖正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，(1)畫出平面α截正方體所得的截面，并簡要敘述理由或作圖步驟；(2)求（1）中截面多邊形的面積；(3)平面α截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.【題型2截面圖形的形狀判斷】【例2】（2024·四川達州·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AB中點，

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【變式2-1】（2024·河南·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【變式2-3】（2024·江西·模擬預測）已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，點P，Q，T分別在棱BB1，CA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【題型3截面圖形的周長或面積問題】【例3】（2024·云南曲靖·模擬預測）正方體ABCD?A1B1C1D1外接球的體積為43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，用過點

A．32+25 B．9 C．2【變式3-2】（2024·江蘇南通·二模）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分別為棱BC，CD，A．53π B．83π C．【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4,M為棱DC的中點，N為側(cè)面BC1的中心，過點M的平面A．45+2C．53 D．【題型4球的截面問題】【例4】（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為500π3，點A到球心O的距離為3，則過點A的平面α被球O所截的截面面積的最小值是（A．9π B．12π C．16π【變式4-1】（2024·四川自貢·三模）已知球O半徑為4，圓O1與圓O2為球體的兩個截面圓，它們的公共弦長為4，若OO1=3，OA．3 B．433 C．3+3【變式4-2】（2024·陜西榆林·一模）已知H是球O的直徑AB上一點，AH:HB=1:2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，M為α上的一點，且MH=24，過點M作球O的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（A．142 B．114 C．144【變式4-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，某同學制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為8的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長為4π，則球的體積為（

A．405π3 B．805π3【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】【例5】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖所示，圓臺的上、下底面半徑分別為4cm和6cm，AA1，BB1為圓臺的兩條母線，截面ABB1A1與下底面所成的夾角大小為60°，且A．193cm3 B．103cm3【變式5-1】（2024·上海普陀·二模）若一個圓錐的體積為22π3，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為πA．2π B．2π C．22【變式5-2】（2024·河南開封·二模）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A．1:8 B．1:9 C．1:26 D．1:27【變式5-3】（2024·江西贛州·一模）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱A．62 B．54 C．6 【題型6交線長度、軌跡問題】【例6】（2025·廣東廣州·模擬預測）在正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，A．(3+3)π B．(6+3)π【變式6-1】（2023·河南·模擬預測）如圖，在三棱錐A?BCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，且AB=AC=AD=3，以A為球心，6為半徑作球，則球面與底面BCD的交線長度的和為（

）

A．23π B．3π C．3【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）已知正四棱錐P?ABCD的體積為423，底面ABCD的四個頂點在經(jīng)過球心的截面圓上，頂點P在球O的球面上，點E為底面ABCD上一動點，PE與PO所成角為π6，則點EA．2π B．43π C．6【變式6-3】（2024·河南·二模）已知四面體ABCD的各個面均為全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.設E為空間內(nèi)一點，且A,B,C,D,E五點在同一個球面上，若AE=23，則點E的軌跡長度為（

A．π B．2π C．3π 【題型7截面的范圍與最值問題】【例7】（2024·江蘇南京·模擬預測）已知SO1=2，底面半徑O1A=4的圓錐內(nèi)接于球O，則經(jīng)過S和OA．252π B．253π C．【變式7-1】（2024·重慶渝中·模擬預測）在三棱錐P?ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC,PC⊥平面ABC，過點P作截面分別交AC,BC于點E,F，且二面角P?EF?C的平面角為60°，則所得截面PEF的面積最小值為（

A．43 B．83 C．2【變式7-2】（2024·四川·模擬預測）設正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，與直線A1A．383 B．343 C．【變式7-3】（2024·四川·一模）設正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，與直線A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值一、單選題1．（2024·河北·模擬預測）過圓錐PO高的中點O′作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上部分圓錐與下部分圓臺體積比為（

A．12 B．13 C．152．（2024·全國·模擬預測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E是線段BB1上靠近B1的三等分點，點FA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知正三棱錐A?BCD的外接球是球O，正三棱錐底邊BC=3，側(cè)棱AB=23，點E在線段BD上，且BE=DE，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的最大值是（

A．2π B．9π4 C．34．（2024·廣東江門·模擬預測）沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.沙漏由兩個完全一樣的圓錐和一個狹窄的連接管道組成，通過充滿了沙子的玻璃圓錐從上面穿過狹窄的管道流入底部玻璃圓錐所需要的時間來對時間進行測量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國的沙漏出現(xiàn)要晚．時鐘問世之后，沙漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來助眠．經(jīng)科學認證，人類的健康入睡時間是15分鐘，沙漏式伴睡燈便是一個15分鐘的計時器．它將古老的計時沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑下，下部的燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋．就這樣，寧靜的夜晚，聽著沙粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看成完全一樣的圓錐，測得圓錐底面圓的直徑為10cm，沙漏的高（下底面圓心的距離）為8cm，通過圓錐的頂點作沙漏截面，則截面面積最大為（

）A．40cm2 B．41cm2 C．5．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

A．該截面是四邊形B．A1C⊥C．平面AB1D．該截面與棱BB1的交點是棱6．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，AC⊥BC，AC=BC=CC1，D為B1C1

A．3,92 B．3,92 C．7．（2024·全國·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DA．62 B．32 C．3058．（2024·山東棗莊·一模）在側(cè)棱長為2的正三棱錐A?BCD中，點E為線段BC上一點，且AD⊥AE，則以A為球心，2為半徑的球面與該三棱錐三個側(cè)面交線長的和為（

）A．32π4 B．2π C．二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐P?ABC中，△ABC與△PAC是全等的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC,AC=2,D為線段AC的中點．過點D作平面截該三棱錐的外接球所得的截面面積可能是（

）A．π B．2π C．4π 10．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知正四面體P?ABC，過點P的平面將四面體的體積平分，則下列命題正確的是（

）A．截面一定是銳角三角形 B．截面可以是等邊三角形C．截面可能為直角三角形 D．截面為等腰三角形的有6個11．（2024·湖北荊州·三模）如圖，正八面體E?ABCD?F棱長為2．下列說法正確的是（

）A．BE//平面ADFB．當P為棱EC的中點時，正八面體表面從F點到P點的最短距離為7C．若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值4D．以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個面所截得的交線總長度為16三、填空題12．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AD，BC的中點，O為線段MN的中點，球O的表面與線段AD相切于點M，則球O被正四面體ABCD表面截得的截面周長為．13．（2024·山東日照·一模）已知正四棱錐S?ABCD的所有棱長都為2；點E在側(cè)棱SC上，過點E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為，H的面積的最大值為．14．（2024·陜西安康·模擬預測）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C①存在平面α，使B1②若平面α與平面BB1C1C的交線為l③若平面α截正方體所得的截面為三角形，則該截面三角形面積的最大值為24④若平面α過點B1，點P在線段BC1上運動，則點P到平面A其中真命題的序號為．四、解答題15．（2024·陜西榆林·三模）如圖是一個半圓柱，DC,AB分別是上?下底面圓的直徑，O為AB的中點，且AB=AD=2,E是半圓AB上任一點（不與A?(1)證明：平面DEA⊥平面CEB，并在圖中畫出平面DE