重難點(diǎn)04 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】 3【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】 3【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】 4【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】 5【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】 5【題型6洛必達(dá)法則】 7【題型7雙變量的恒（能）成立問題】 81、利用導(dǎo)數(shù)不等式恒（能）成立問題恒(能)成立問題是高考的?？伎键c(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度較大，解題時(shí)要學(xué)會靈活求解.【知識點(diǎn)1不等式恒（能）成立問題的解題策略】1．不等式恒（能）成立問題的求解方法解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)而解決問題．②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分類討論法解決恒（能）成立問題分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.【知識點(diǎn)2雙變量的恒（能）成立問題的解題策略】1．雙變量的恒（能）成立問題的求解方法“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見的等價(jià)變換有：對于某一區(qū)間I，(1).(2).(3).【知識點(diǎn)3洛必達(dá)法則】“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時(shí)，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達(dá)法則.1．洛必達(dá)法則法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；(3)，那么.法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；(3)，那么.2．用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.3．用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.【注意】：1．將上面公式中的換成，洛必達(dá)法則也成立.2．洛必達(dá)法則可處理型求極限問題.3．在著手求極限前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯，當(dāng)不滿足三個前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.4．若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】【例1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）若ex?ea≥e+lnax在x∈0,+∞上恒成立，則a的最大值為（

）A．e2?e2 B．2e12【變式1-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式lnx?2x?a?A．?∞,?12e B．?∞【變式1-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式e?1lna+x≥aex?1A．12e,e2 B．1e【變式1-3】（2024·甘肅蘭州·三模）已知函數(shù)f(x)=1ex+1?x3，對于任意的x∈(1,2]A．(1,+∞) B．[?1,1] C．(?∞【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】【例2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）已知a∈N?，函數(shù)fx=eA．2 B．3 C．6 D．7【變式2-1】（2024·四川宜賓·二模）已知不等式axex+x>1?A．?1e2,+∞ B．?1【變式2-2】（2024·四川成都·三模）若x∈0,+∞，x2+ax+1≤eA．e B．2 C．e?1 D．e?2【變式2-3】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)f(x)=13x3，g(x)=ex?12x2?x，A．(?∞,e?2] B．(?∞,【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】【例3】（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若fx≤gx【變式3-1】（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若?x∈?1,1，fx≥3【變式3-2】（2024·北京·三模）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若fx≤?1恒成立，求實(shí)數(shù)(3)求證：i=2nlnii+1<【變式3-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=axlnx?2x+b（a，b∈R）在點(diǎn)(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx=exxf1x【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例4】（2024·四川樂山·二模）若存在x0∈?1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e【變式4-1】（2024·甘肅蘭州·二模）若關(guān)于x的不等式ex+x+2ln1xA．12 B．e24 C．e【變式4-2】（2023·河南開封·模擬預(yù)測）若存在x∈1,+∞，使得關(guān)于x的不等式1+1xx+aA．2 B．1ln2 C．ln2?1【變式4-3】（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)fx=ekx+1，gx=A．0,e B．e,+∞ C．1e,+【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】【例5】（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時(shí)，證明：對任意x∈?π6(2)若x=0是函數(shù)fx的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a【變式5-1】（2024·青?！つM預(yù)測）已知函數(shù)fx=e(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)當(dāng)a∈?1,1時(shí)，證明：對任意的x1，x2【變式5-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ae(1)證明：當(dāng)a=1時(shí)，?x∈0,+(2)若fx與gx有兩條公切線，求【變式5-3】（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)fx在a,b上有定義，且對于任意不同的x1,x2∈a,b，都有f(1)若fx=x2，判斷(2)若fx=2eln(3)若fx為1,2上的“2類函數(shù)”且f1=f2，證明：?x1【題型6洛必達(dá)法則】【例6】（23-24高二下·全國·期末）若不等式sinx>x?ax3對于x∈(0,【變式6-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=12處取得極值，且曲線(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)若?x∈[1?,?+∞)，不等式【變式6-2】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)fx，gx的導(dǎo)函數(shù)分別為f′x，limx→a②設(shè)a>0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)fx滿足：對任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷fx=x(2)計(jì)算：limx→0(3)證明：sinxx?π【變式6-3】（23-24高二下·廣東珠海·期末）在研究函數(shù)問題時(shí)，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個區(qū)間上值域的問題，但函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)又恰好沒有意義的情況，此時(shí)我們就可以用函數(shù)在這點(diǎn)處的極限來刻畫該點(diǎn)附近數(shù)的走勢，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡單且好用的方法——洛必達(dá)法則該法則表述為：“設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：①limx→af(x)=0，②在點(diǎn)a處函數(shù)f(x)和g(x)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；③limx→af′(x)g′(x)則limx→a那么，假設(shè)有函數(shù)f(x)=ex，(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；(2)證明：ex【題型7雙變量的恒（能）成立問題】【例7】（2023·四川瀘州·一模）已知函數(shù)fx=ax+1?xlnx的圖像在(1)求函數(shù)fx(2)若?x1,x2∈0,+【變式7-1】（2023·四川自貢·二模）已知函數(shù)fx=aex?(1)求a的取值范圍；(2)若x2≥3x1時(shí)，不等式【變式7-2】（2024·全國·二模）已知函數(shù)fx=xlnx?a(1)當(dāng)a=12時(shí)，若gx=f′(x)(2)已知x1,x2是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，且x1【變式7-3】（2023·河南·二模）已知函數(shù)fx=1(1)討論fx(2)當(dāng)m>0時(shí)，若對于任意的x1∈0,+∞，總存在x2一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）當(dāng)x>0時(shí)，x2?e4x?2A．4e B．4 C．4e2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若存在x∈0,+∞，使得不等式a2x4A．12e,+∞ B．1e,+3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知λ>0，對任意的x>1，不等式e2λx?lne12λA．1e,+∞C．2e,+∞4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=aex+1nax+2?2A．0<a<e B．a(chǎn)>e2 C．a(chǎn)>5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式e?1lnx+ax≥xeax?1A．0,2+2ln2 B．1e,e 6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=1?elnx?3x,x>0(x?2)eA．?∞,3 C．6e?2,37．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnxx,gx=axeA．?∞,?2 B．?2,?1 C．?1,+∞8．（2023·上海崇明·一模）若存在實(shí)數(shù)a,?b，對任意實(shí)數(shù)x∈[0,1]，使得不等式x3??m≤ax+b≤A．39,?+∞ B．83二、多選題9．（2024·新疆·一模）設(shè)fx=1+xlnx,gx=a?1x，若fA．3?ln22 B．3 C．210．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xcosA．函數(shù)fx在x=πB．對于?x∈0,π，C．若0<x1D．若對于?x∈0,π2，不等式a<sinxx<b恒成立，則11．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)x1,x2(x1A．x1x2<eC．?a∈(0,1),x2?x三、填空題12．（2024·四川成都·三模）若不等式emxmx?ln2?xlnx13．（2024·廣西桂林·三模）若xk?exe．14．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)fx=x?2ex+lnx，gx=ax+b，對任意四、解答題15．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的x1,x2∈16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)