數(shù)學(xué)自主練習(xí)：演繹推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1。下列推理正確的是（)A.如果不買彩票，那么就不能中獎，因為你買了彩票,所以你一定中獎。B.因為正方形的對角線互相平分且相等，所以對角線互相平分且相等的四邊形是正方形。C.因為a＞b，a＞c，所以a—b＞a—c。D.因為a＞b，c＞d，所以a-d＞b-c.思路解析:A、B都是歸納推理，結(jié)論不一定正確，而C、D都是演繹推理，但C是不正確的。答案：D2.（2006年陜西高考卷，12）為確保信息安全,信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密)，接收方由密文→明文（解密)。已知加密規(guī)則為：明文a、b、c、d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d，4d.例如明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16,當(dāng)接收方收到密文14，9,23，28時，則解密得到的明文為（）A。7，6，1,4B.6,4,1,7C.4,6,1，7解:本題是演繹推理，由一般到特殊的推理.由題意可得可求得答案:B3。（2006年福建高考卷,12)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A（x1,y1）,B（x2，y2)，定義它們之間的一種“距離”:｜｜AB｜|=｜x2—x1｜+｜y2-y1|。給出下列三個命題：①若點C在線段AB上，則｜｜AC｜｜+｜｜CB|｜=｜|AB｜|；②在△ABC中，若∠C=90°,則｜｜AC｜｜2+｜｜CB｜|2=｜|AB｜|2;③在△ABC中，｜｜AC｜｜+｜|CB｜｜=｜|AB｜|。其中真命題的個數(shù)為（）A.0B.1C思路解析：解：如上圖(1）|｜AB｜|=|AC|+｜BC｜∴在①中如圖（2），｜｜AC｜|+｜｜CB|｜=|AM|+|MC｜+|CP｜+｜PB｜=｜AN|+|BN|∴①正確.在②中如圖（1)，｜｜AC｜｜2=|AC｜2，｜|AB｜｜2=（|AC｜+|BC|）2，||BC|｜2=|BC|2，∴②不正確.在③中如圖（1）｜|AC｜|+||CB｜｜在△ABC為直角三角形且C為直角時其值等于｜｜AB|｜.答案:B4。在推理a＞b,b＞ca＞c中，前提是______________，結(jié)論是_______________________.思路解析:解：把命題a＞b，b＞ca＞c改成因為a＞b,b＞c所以a＞c。答案：前提是：a＞b，b＞c.結(jié)論是:a＞c。5。(2006年上海高考卷，文12）如圖2—1—6，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M,若p、q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對(p、q）是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2)的點的個數(shù)是__________________________.圖2-1—6思路解析：若pq≠0，則滿足題意的點有且僅有4個，這4個點分別在4個角的內(nèi)部：且兩兩關(guān)于O點對稱。答案:4個。6。如圖2—1—7所示已知A、B、C、D四點不共面,M，N分別是△ABD和△BCD的重心.求證：MN∥平面ACD。圖2—1-7證明:連結(jié)BM，BN并延長分別交AD，DC于P、Q兩點，連結(jié)PQ。因為M，N分別是△ABD和△BCD的重心，所以P、Q分別為AD、DC的中點，又有，所以MN∥PQ，又MN平面ADC，PQ平面ADC，∴MN∥面ACD。7.設(shè)a、b、c∈R+，求證：(a+b+c）證明：∵a2+b2≥2ab,a、b、c∈R＊,∴2（a2+b2）≥（a2+b2)+2ab=（a+b）2,∴a2+b2≥∴≥（a+b）。同理≥（a+c）,≥(b+c),∴有≥(2a+2b+2c)=(a+b+c）.即：≥(a+b+c）。我綜合我發(fā)展8.用三段論法表示，如果用M表示所有平行四邊形的集合，用F表示對角線互相平分的屬性，那么M的每一個元素x都具有屬性F為真.而所有矩形集合N是集合M的非空真子集，為真，即每一個矩形的對角線互相平分.解：用三段論法表示為：每一個平行四邊形的對角線互相平分；每一個矩形是平行四邊形；每一個矩形的對角線互相平分;或：∵平行四邊形的對角線互相平分（大前提）矩形是平行四邊形（小前提)∴矩形的對角線互相平行(結(jié)論）9求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時，(a+b+c）（）≥9。證明：首先，我們知道，≥.（a+b+c)（++)=（a+b)（+)+(a+b）+c(+）+c·=+(a+b）（+）+1≥4+（a+b）·+1=5+≥5+4=910。證明函數(shù)f（x）=x6—x3+x2-x+1的值恒為正數(shù)。解：當(dāng)x＜0時，f(x）各項都為正數(shù),因此，當(dāng)x＜0時,f(x）為正數(shù)；當(dāng)0≤x≤1時，f（x)=x6+x2（1—x）+（1-x)＞0；當(dāng)x＞1時,f(x）=x3(x3—1）+x（x—1）+1＞0.綜上所述，函數(shù)f(x)的值恒為正數(shù).11。證明函數(shù)f(x）=—x2+2x在(—∞，1］上是增函數(shù).思路分析：證明本例所依據(jù)的大前提是：增函數(shù)的定義,即函數(shù)y=f(x）滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值x1,x2，若x1＜x2,則有f(x1)＜f(x2).小前提是:f（x)=-x2+2x，x∈（—∞,1］滿足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵。證明：任取x1,x2∈(—∞，1］,且x1＜x2，f（x1）—f（x2)=（-+2x1）-（—+2x2)=(x2—x1)（x2+x1-2）因為x1＜x2，所以x2-x1＞0,因為x1,x2≤1，x1≠x2,所以x2+x1—2＜0，因此，f（x1）—f(x2)＜0，即f（x1)＜f(x2).于是，根據(jù)“三段論”，可知f(x）=-x2+2x在(-∞,1］上是增函數(shù)。12。如圖2-1-8,四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點，（1）求證：EF⊥面PAB;（2）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小。圖2-1-8(1）證明：連結(jié)EP.∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi).∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC,∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE又∵F為PB中點，∴EF⊥PB.由三垂線定理得PA⊥AB。∴在Rt△ABP中,PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.∵PB、FA為平面ABP內(nèi)的兩條相交直線,∴EF⊥面PAB.（2）解：設(shè)BC=1，則AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.∴△PAB為等腰直角三角形,且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF=1且AF⊥PB?！逷B與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直。∴PB⊥平