數(shù)學自主訓練：不等關系與不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.已知a＜0,-1＜b＜0，下列不等式成立的是()A。a＞ab＞ab2B。ab2＞ab＞aC。ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a思路解析：由于—1＜b＜0，所以0＜b2＜1a＜ab2＜0,且ab＞0,易得ab＞ab2本題也可以根據(jù)a,b的范圍取特殊值來比較,比如令a=—1，b=.答案：D2.“a＞0，b＞0”是“ab＞0"的…（)A。充分而不必要條件B.必要而不充分條件C。充分必要條件D.既不充分也不必要條件思路解析：由“a＞0,b＞0”可推出“ab＞0”，反之,不一定成立,選A.答案:A3.如果loga3＞logb3,且a+b=1，那么（)A。0＜a＜b＜1B.0＜b＜a＜1C.1＜a＜bD。1＜b＜a思路解析:∵a+b=1，a、b∈R，∴0＜a＜1,0＜b＜1.∵loga3＞logb3，∴.∴l(xiāng)ga＜lgb?！?＜a＜b＜1。答案：A4.若a=，b=，c=，則(）A.a＜b＜cB。c＜b＜aC。c＜a＜bD。b＜a＜c思路解析：易知a,b,c都是正值，==log89＞1，所以b＞a；=log2532＞1,所以a＞c.所以b＞a＞c。答案:C5。若f（x)=3x2-x+1，g（x)=2x2+x—1，則f(x）與g（x)的大小關系為_____________。思路解析:f（x）-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=（x—1)2+1,顯然大于0,所以f（x）＞g(x)。答案：f（x）＞g（x）6.日常生活中,在一杯糖水中，再加入糖，則這杯糖水變甜了,請根據(jù)這一事實提煉出一個不等式.解:設有糖水b克，其中含糖a克,再加入m克糖，則原來的糖水的濃度為×100%,加入m克糖后,糖水的濃度變?yōu)椤?00%。由事實可知糖水變甜，濃度增大,故×100%＜×100%，答：當0＜a＜b，m＞0時，有＜。7。若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求證：。思路分析:本題可以直接使用不等式的性質進行證明，首先根據(jù)c＜d＜0，得-c＞—d＞0,所以a—c＞b—d＞0，再由倒數(shù)的性質和e＜0即可得到結論,也可以直接作差進行比較。證明:.8。在等比數(shù)列{an｝和等差數(shù)列{bn｝中,a1=b1＞0，a3=b3＞0，且a1≠a3,試比較a2與b2的大小。思路分析：根據(jù)等比與等差的性質,求出a2、b2，再利用作差法比較。解:設｛an}的公比為q，｛bn}的公差為d，則a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.∵a3=b3,∴a1q2=a1+2d，即2d=a1（q2—1）.∵a1≠a3=a1q2,∴q2≠1.∴q≠±1?！遖2—b2=a1q-（a1+d)=a1q-a1a1（q2-1）=a1（q-1)2＜0，∴a2＜b2。我綜合我發(fā)展9。如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正確的是（）A.B.C.a2＜b2D.｜a|＞|b|思路解析:如果a＜0,b＞0，那么＜0，＞0,∴，選A。其余三個選項可以舉反例排除.答案：A10.若a、b、c∈R,a＞b，則下列不等式成立的是（）A.B。a2＞b2C.D。a|c｜＞b|c｜思路解析:應用間接排除法。取a=1,b=-1，排除A.取a=0，b=-1，排除B；取c=0,排除D.故應該選C。顯然＞0,對不等式a＞b的兩邊同時乘以,得成立.答案:C11。已知a＞b＞0，試比較與的大小。思路分析:本題用作差法及作商法都可比較大小.解法一：作差法：∴。解法二：作商法:∴。12.如果用記號min｛p，q｝表示p，q中的較小者，max{p,q}表示p，q中的較大者.設f（x)=min｛x2-2x+6,x2+6x+5}，g（x)=max｛x2—x+2，x｝,試比較f(x)和g（x)的大小.思路分析:首先根據(jù)兩個定義寫出f(x)和g（x)的函數(shù)表達式，由于其中含有未知量x,可能要對x的范圍進行討論,然后再作差比較大小.解：由于x2—2x+6-(x2+6x+5)=—8x+1,由此可知，當x＜時,x2—2x+6＞x2+6x+5。當x≥時，x2-2x+6≤x2+6x+5。所以而x2—x+2—x=x2—2x+2=（x-1)2+1＞0，所以x2-x+2＞x.所以g(x)=x2—x+2。（1)當x＜時,f(x）-g(x)=x2+6x+5—(x2—x+2)=7x+3，所以當x=時，f（x）=g（x）.當x＜時,f（x）-g(x)＜0，f(x）＜g(x）。當＜x＜時，f（x）-g（x)＞0,f（x）＞g（x).(2)當x≥時,f(x）—g（x)=x2-2x+6—(x2—x+2）=—x+4，所以當x=4時,f(x）=g(x）.當x＞4時，f(x)-g(x)＜0,f（x）＜g（x）。當≤x＜4時，f（x）—g(x)＞0，f(x）＞g(x)。13。已知a＞0，b＞0,且m,n∈N+，求證:am+n+bm+n≥ambn+anbm。思路分析:根據(jù)所求證的式子的特點，適合比差，也有利于分解因式，最后討論因式的符號.證明:（am+n+bm+n）-（ambn+anbm）=am(an—bn）+bm(bn—an)=(an-bn）(am—bm).（1)當a＞b＞0時