2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)提練第10招等腰三角形“三線合一”的七種常見題型習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第10招等腰三角形“三線合一”的七種常見題型01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS

等腰三角形中的“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的

中線”，只要知道其中“一線”，就可以說明這條線同時(shí)也

是其他“兩線”.運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明

角相等、線段相等或垂直關(guān)系，可減少證全等的次數(shù)，簡(jiǎn)化

解題過程.返回

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證線段或角的倍

分關(guān)系或相等關(guān)系常用的性質(zhì)之一，解答含等腰三角形的問

題時(shí)，常常要考慮構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖

形.本例通過作垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)

證角的倍分關(guān)系.證明：如圖，過點(diǎn)

A

作

AF

⊥

BC

于點(diǎn)

F

.

∵

AB

＝

AC

，

AF

⊥

BC

，

返回

利用“三線合一”求角的度數(shù)1.

如圖，房屋屋架的頂角∠

BAC

＝100°，立柱

AD

⊥

BC

，斜梁

AB

＝

AC

.

求∠

B

，∠

C

，∠

BAD

，∠

CAD

的度數(shù).12345678

返回

利用“三線合一”求線段長(zhǎng)

BA.2B.3C.4D.5【點(diǎn)撥】

12345678返回3.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

＝

DB

，

DE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

.

若

BC

＝10，且△

BDC

的周長(zhǎng)為24.求

AE

的長(zhǎng).

12345678【點(diǎn)方法】

先根據(jù)△

BDC

的周長(zhǎng)求出

AB

的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角

形“三線合一”的性質(zhì)求出

AE

的長(zhǎng).12345678返回

利用“三線合一”證角相等

求證：∠

ACE

＝∠

B

.

12345678【證明】過點(diǎn)

A

作

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，如圖所示.

∴Rt△

ABD

≌Rt△

ACE

(HL).∴∠

ACE

＝∠

B

.

12345678返回

利用“三線合一”證線段相等5.

如圖，

AB

＝

AE

，

BC

＝

DE

，∠

B

＝∠

E

，

AM

⊥

CD

，垂足為

M

.

求證：

CM

＝

MD

.

12345678【證明】如圖，連接

AC

，

AD

.

∴△

ABC

≌△

AED

(SAS).∴

AC

＝

AD

.

又∵

AM

⊥

CD

，∴

CM

＝

MD

.

12345678返回

利用“三線合一”判斷三角形的形狀6.

已知在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

D

為

BC

邊的中點(diǎn).(1)如圖①，

E

，

F

分別是

AB

，

AC

上的點(diǎn)，且

BE

＝

AF

，試判斷△

DEF

的形狀，并說明理由；12345678【解】△

DEF

為等腰直角三角形.理由：連接

AD

，易證△

BDE

≌△

ADF

.

∴

DE

＝

DF

，∠

BDE

＝∠

ADF

.

∵

AB

＝

AC

，

D

為

BC

的中點(diǎn)，∴

AD

⊥

BC

.

∴∠

ADB

＝90°.∴∠

EDF

＝∠

EDA

＋∠

ADF

＝∠

EDA

＋∠

BDE

＝∠

ADB

＝90°.∴△

DEF

為等腰直角三角形.12345678(2)如圖②，若

E

，

F

分別為

AB

，

CA

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且

仍有

BE

＝

AF

.

請(qǐng)判斷△

DEF

是否仍是(1)中的形狀，

并說明理由.【解】是.理由略.12345678返回

利用“三線合一”證線段的倍分關(guān)系(構(gòu)造三線法)7.

如圖，已知在等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BF

交

BF

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D

.

求證：

BF

＝2

CD

.

12345678【證明】如圖，延長(zhǎng)

BA

，

CD

交于點(diǎn)

E

.

∵

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

BDE

＝∠

BDC

＝90°.又∵

BD

＝

BD

，∴△

BDC

≌△

BDE

(ASA).∴

BC

＝

BE

.

又∵

BD

⊥

CE

，∴

CE

＝2

CD

.

∵∠

BAC

＝90°，∠

BDC

＝90°，∠

AFB

＝∠

DFC

，12345678∴∠

ABF

＝∠

ACE

.

又∵

AB

＝

AC

，∠

BAF

＝∠

CAE

＝90°，∴△

ABF

≌△

ACE

(ASA)，∴

BF

＝

CE

，∴

BF

＝2

CD

.

12345678返回

利用“三線合一”證線段的和差關(guān)系(構(gòu)造三線法)8.

如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，且∠

ABC

＝2∠

C

.

求證：

CD

＝

AB

＋

BD

.

12345678【證明】如圖，以點(diǎn)

A

為圓心，

AB

長(zhǎng)為半徑畫弧交

CD

于點(diǎn)

E

，連接

AE

，則

AE

＝

AB

，∴∠

AEB

＝∠

ABC

.

∵

AD

⊥

BC

，∴

DE

＝

BD

.

∵∠

ABC

＝2∠

C

，∴∠

A